实验一低通采样定理和内插与抽取实现a.docx
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实验一低通采样定理和内插与抽取实现a
实验一：
低通采样定理和内插与抽取实现
1.实验目的
1.连续信号和系统的表示方法，以及坊真方法。
2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，
3.采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。
4.用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。
5.用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。
2.原理
1、时域抽样定理
令连续信号xa（t）的傅里叶变换为Xa（ji」）,抽样脉冲序列p（t）傅里叶变换为Pj」）,抽样后的信号xA（t）的傅里叶变换为XV1）若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为门s=2二fs,由前面分析可知：
抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p（t）与连续信号xa（t）相乘来完成，即满足:
xA（t）=xa（t）p（t），又周期信号f（t）傅里叶变换为：
m
I'lf（i）/=二心可\（Wf
jn=—-oa
故可以推得p（t）的傅里叶变换为：
P（5^）=2nc-"dH
J>=-—
其中：
pn=月zpDlat
根据卷积定理可知：
X（g=p（jo）
得到抽样信号x（t）的傅里叶变换为：
严W
X（jQ）=。
一«Qj/
n=—e
其表明:
信号在时域被抽样后，他的频谱X（j门）是连续信号频谱X（j门）的形状以抽样频率门为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p（t）的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数，所以Xj」）在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x（t）的频谱限制在亠m~+「m的范围内,若以间隔Ts对xa（t）进行抽样,可知抽样信号XA（t）的频谱XW"）是以门s为周期重复。
显然，若在抽样的过程中门s<2im,则XT门）将发生频谱混叠现象，只有在抽样的过程中满足11s>=2「m条件,XW门）才不会产生频谱的混叠，接收端完全可以由xA（t）恢复原连续信号xa（t）,这就是低通信号抽样定理的核心内容。
2、信号的重建
从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率
Xa（j门）=Xa（j门）『s/2
Xa『」）=0p|>门s/2
则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有：
■90-
Ar（j=J,2ZA：
.
■«—
jtijII£^/2
让取样信号xA（t）通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器
H（j"）=T|门s/2
H（j「）=0|门|>「s/2
滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故：
Y（j门）=XA（j门）H（j门）=Xa（j门）
因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号：
y（t）=xa（t）
从时域上看，上述理想的低通滤波器的脉冲响应为
JT
mu于*
□n:
根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为
y（t）—nT）ha（t—nT）
由上式显然可得
ha（t-nT）=sin（nT）/（^/T）（t-nT）
上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率，连续时间函数xa（t）就可用他的取样值xa（nT）来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa（t）,在每一取样点上，由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零，所以各个取样点上的信号值不变。
1•设计连续时间信号线性滤波器分离信号组份
99
已知信号xt[=為（m1）cos2二（100m50）t，试设计滤波器，分离出如下信号:
m^0
（1）m=1,2,3……50
（2）m=51,52,53……100
（3）m=40,41,42……60
（4）m=1,2,3……40,61,62……100
据以下采样频率：
（a）fs=20000Hz（b）f^10000Hz（c）f^30000Hz
求信号频谱及相应的滤波器。
参考程序如下:
设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：
通带频率：
1000-
2000Hz,两侧过渡带宽500Hz,通带波纹1dB,阻带衰减100dB假设一个信号,其中f1=100Hz,f2=1500Hz,f3=2900Hz。
信号的采样频率为10000Hz=试将原信号与通过该滤波器的模拟信号进行比较。
参考程序如下：
wp=[10002000]*2*pi;ws=[5002500]*2*pi;Rp=1;Rs=100;%滤波器设计参数，对于给
定Hz应乘以2
[N,Wn]=buttord（wp,ws,Rp,Rs,'s'）;%求得滤波器的最小阶数和截止频率
w=linspace（1,3000,1000）*2*pi;%设置绘制频率响应的频率点
[b,a]=butter（N,Wn,'s'）;%设计模拟Butterworth滤波器
H=freqs（b,a,w）;%计算给定频率点的复数频率响应
magH=abs（H）;phaH=unwrap（angle（H））;%计算幅频响应和相频响应
plot（w/（2*pi）,20*log10（magH））;%以频率为横坐标绘制幅频响应
xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅/dB'）;
title（'Butterworth模拟带通滤波器'）;
holdon;plot（[10001000],ylim,'r'）;plot（[20002000],ylim,'r'）;%绘带边界
gridon
figure
（2）
dt=1/1OOOO;%模拟信号采样间隔
f1=100;f2=1500;f3=2900;%输入信号的三个频率成分
t=O:
dt:
O.O4;%给定模拟时间段
x=sin（2*pi*f1*t）+0.5*cos（2*pi*f2*t）+0.5*sin（2*pi*f3*t）;%输入信号
H=[tf（b,a）];%滤波器在MATLAB系统中的表示
[y,t1]=lsim（H,x,t）;%模拟输出
subplot（2,1,1）,plot（t,x）,title（'输入信号'）%绘出输入信号
subplot（2,1,2）,plot（t1,y）%绘制输出信号
title（'输出信号'）,xlabel（'时间/s'）
2.连续时间信号的采样和重建
99
已知信号xt（m1）cos2二（100m-50）t，试以f^20000Hz采样频率对该
mzQ
信号采样，并用插值公式重建该信号。
参考程序：
1、分别用150HZ及300HZ对信号采样
源信号为：
fa=5*sin（2*pi*40*t1）+1.8*sin（4*pi*40*t1）+0.8*sin（5*pi*40*t1），用150Hz的频率
对f（t）进行采样，其采样图如图1所示；用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样图如图2所示。
程序如下：
fs仁150;
t1=-0.1:
1/fs1:
0.1;
fa=5*sin（2*pi*40*t1）+1.8*sin（4*pi*40*t1）+0.8*sin（5*pi*40*t1）;figure
（1）;plot（t1,fa）,xlabel（'fs1=150Hz时,fa采样时域图'）;
holdoff;
fs2=300;
t2=-0.1:
1/fs2:
0.1;
fb=5*sin（2*pi*40*t2）+1.8*sin（4*pi*40*t2）+0.8*sin（5*pi*40*t2）;
figure
（2）;plot（t2,fb）,xlabel（'fs2=300Hz时,fb采样时域图'）;
图1150HZ采样频率对信号采样图
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1
fs2=300Hz时,fb采样时域图
图2300HZ采样频率对信号采样图
2、对信号进行快速离散傅里叶变换
将两个采样信号进行快速离散傅里叶变换（FFT）,用150Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图3所示；用300Hz的频率对f（t）进行
采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图4所示。
程序如下：
f=40;fs=150;
N=300;k=0:
N-1;
t=-0.1:
1/fs:
0.1;
w1=150*k/N;
fa=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）;
xfa=fft（fa,N）;xf1=abs（xfa）;
figure
（1）;plot（w1,xf1）,xlabel（'fs=150Hz时,fa经fft后频谱图.单位：
Hz'）;
f=40;fs=300;
N=300;k=0:
N-1;
t=-0.1:
1/fs:
0.1;
w2=300*k/N
fb=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）;
xfb=fft（fb,N）;xf2=abs（xfb）;
figure
（2）;plot（w2,xf2）,xlabel（'fs=300Hz时,fb经fft后频谱图.单位：
Hz'）;
80
70
60
50
40
30
20
10
0
图4300HZ采样后经FFT后频谱图
3、信号的重建
我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复为原信号，图5和图6分别为恢复后的原信号
程序如下：
Wm=180*pi;Wc=Wm;
fs仁150;Ws=2*pi*fs1;
n=-800:
800;nTs1=n/fsl;
fa=5.1*sin（2*pi*40*nTs1）+1.8*sin（4*pi*40*nTs1）+0.8*sin（5*pi*40*nTs1）;Dt=1/fs1;t1=-0.1:
Dt:
0.1;
fa仁fa/fs1*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs1）,1）*t1-nTs1'*ones（1,length（t1）））;
figure
（1）;plot（t1,fa1）;
axis（[-0.10.1-88]）;
xlabel（'fs=150Hz时,fa利用内插由样本重建原信号图.'）;
Wm=180*pi;Wc=Wm;
fs2=300;Ws=2*pi*fs2;
n=-800:
800;nTs2=n/fs2;
fb=5.1*sin（2*pi*40*nTs2）+1.8*sin（4*pi*40*nTs2）+0.8*sin（5*pi*40*nTs2）;
Dt=1/fs2;t1=-0.1:
Dt:
0.1;
fb仁fb/fs2*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs2）,1）*t1-nTs2'*ones（1,length（t1）））;
figure
（2）;plot（t1,fb1）;
axis（[-0.10.1-88]）;
xlabel（'fs=300Hz时,fb利用内插由样本重建原信号图.'）;
grid;
图5150HZ采样后的信号的重建信号
图6300HZ采样后的信号的重建信号
3•采样信号的抽取和插值
99
⑴•已知信号xt（m1）cos2：
（100m50）t，以f^20000Hz采样频率采样
m=0
后，设计抽取因子D和滤波器，分离出如下信号m=1,2,3……50信号组分。
参考程序如下：
求信号频谱及相应的滤波器。
t=0:
.00025:
1;%Timevector
x=sin（2*pi*30*t）+sin（2*pi*60*t）;
figure
（1）
subplot（211）
stem（t（1:
120）,x（1:
120））;holdon
y=decimate（x,4）;
%Viewtheoriginalanddecimatedsignals:
stem（x（1:
120））,axis（[0120
-22]）%Originalsignal
title（'OriginalSignal'）
subplot（212）
stem（y（1:
30））%Decimatedsignal
title（'DecimatedSignal'）
4999
⑵•已知信号X1（t（m+1）coS2兀（100n+31））,X2（t）=E（m+1）coS2兀（100n+37）t）,以
mzfim^O
fs“0000Hz采样频率采样后，设计插值因子I和滤波器，合成信号X,tX2t
参考程序如下：
%File_C3:
UpSampl.m
%该程序仿真通过零阶保持内插对信号进行上抽样，分析上抽样对信号频谱的影响
clearall
clc
f0=0.06;%信号数字频率
N=256;
dt=1;%抽样时间
t=[0:
N-1]*dt;
sig=sin（2*pi*f0*t）;
I=4;%内插因子
N仁N*l;
Addsig（1:
N1）=0;
fork=1:
N
fori=1:
l
Addsig（l*k-l+i）=sig（k）;%对原始数字信号补零内插，抽样时间
变为dL『I
end
end
figure
（1）
subplot（2,1,1）
t2=[0:
N1-1];
stem（t,sig）;
title（'Original'）
xlabel（'Sampletime/n'）
axis（[019-1.21.2]）
subplot（2,1,2）
stem（Addsig）;axis（[080-1.21.2]）xlabel（'Sampletime/n'）title（'SignaloutputofZero-orderholdinterpolator'）
Am=fft（sig）;
AddAm=fft（Addsig）;f1=[0:
2/N:
2-1/N];
f2=[0:
2/N1:
2-1/N1];
figure
（2）subplot（2,1,1）plot（f1,20*log10（abs（Am）））;
axis（[01-2060]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）title（'AmplitudeSpectrum'）subplot（2,1,2）
plot（f2,20*log10（abs（AddAm）））axis（[01-2060]）;
ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）
title（'AmplitudeSpectrumofZero-orderholdinterpolationsignal'）[b,a]=butter（20,1/I）;%设计截止频率为pi/l，阶数为10的低通巴特沃思滤波器y=filter（b,a,Addsig）;%对补零后的信号进行低通滤波，完成上抽样过程
UpAm=fft（y）;
figure（3）subplot（2,1,1）plot（y）;
axis（[01023-1.21.2]）
title（'outputsignaloutofInterpolator'）xlabel（'Sampletime/n'）subplot（2,1,2）
plot（f2,20*log10（abs（UpAm）））axis（[01-3050]）;
ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）
%File_C3:
UpSampl.m
%该程序仿真通过零阶保持内插对信号进行上抽样，分析上抽样对信号频谱的影响
clearall
clc
f0=0.06;%信号数字频率
N=256;
dt=1;%抽样时间
t=[0:
N-1]*dt;
sig=sin（2*pi*f0*t）;
I=4;%内插因子
N1=N*I;Addsig（1:
N1）=0;
fork=1:
Nfori=1:
I
Addsig（I*k-I+i）=sig（k）;%对原始数字信号补零内插，抽样时间
变为dL『I
endendfigure
（1）subplot（2,1,1）t2=[0:
N1-1];stem（t,sig）;title（'Original'）xlabel（'Sampletime/n'）axis（[019-1.21.2]）subplot（2,1,2）stem（Addsig）;axis（[080-1.21.2]）xlabel（'Sampletime/n'）title（'SignaloutputofZero-orderholdinterpolator'）Am=fft（sig）;
AddAm=fft（Addsig）;f1=[0:
2/N:
2-1/N];
f2=[0:
2/N1:
2-1/N1];
figure
（2）subplot（2,1,1）plot（f1,20*log10（abs（Am）））;
axis（[01-2060]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）title（'AmplitudeSpectrum'）subplot（2,1,2）plot（f2,20*log10（abs（AddAm）））
axis（[01-2060]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）title（'AmplitudeSpectrumofZero-orderholdinterpolationsignal'）[b,a]=butter（20,1/I）;%设计截止频率为pi/l，阶数为10的低通巴特沃思滤波器y=filter（b,a,Addsig）;%对补零后的信号进行低通滤波，完成上抽样过程
UpAm=fft（y）;
figure（3）subplot（2,1,1）plot（y）;
axis（[01023-1.21.2]）title（'outputsignaloutofInterpolator'）xlabel（'Sampletime/n'）subplot（2,1,2）plot（f2,20*log10（abs（UpAm）））axis（[01-3050]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）
四．设计结果及分析
五．结论
六．参考文献
重要参考设计.
理想矩形滤波器的时域表示
clear;clc;fh=100;forI=1:
4k=I;fs=k*2*fh;N=10*k;n=-N:
N;dt=1/fs;T=N*dt;t=-T:
dt:
T;
%h=2*fh/fs*sinc（n/k）;
%h=sinc（n/k）;subplot（2,2,I）plot（t,h）;holdon；stem（t,h）;holdon;plot（t,zeros（length（t））,'linewidth',3）;title（['fs/2fh=k,k=',num2str（k）],'fontsize',28）;axis（'off'）end
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