电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx
《电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
电大高等数学基础期末考试复习试题及答案
高等数学
（1）学习辅导
（一）
第一章函数
⒈理解函数的概念；掌握函数yf（x）中符号f（）的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。
⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意x，有f（x）f（x），则f（x）称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。
若对任意x，有f（x）f（x），则f（x）称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。
掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
基本初等函数是指以下几种类型：
①常数函数：
yc
②幂函数：
yx（为实数）
③指数函数：
yax（a0,a1）
④对数函数：
ylogax（a0,a1）
⑤三角函数：
sinx,cosx,tanx,cotx
⑥反三角函数：
arcsinx,arccosx,arctanx⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。
如函数
可以分解yeu，uv2，varctanw，w1x。
分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。
例题选解
一、填空题
⒈设f
（1）x1x2（x0），则f（x）x
1t，得
1
解：
故f（x）
设t1，则x
x
2
11x
。
x
解：
对函数的第一项，要求x20且ln（x2）0，即x2且x3；对函数的第二项，要求5x0，即x5。
取公共部分，得函数定义域为（2,3）（3,5］。
⒊函数f（x）的定义域为[0,1]，则f（lnx）的定义域是解：
要使
解：
A中两函数的对应关系不同,x2xx，B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以AB,D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。
D.坐标原点
⒉设函数f（x）的定义域为（,），则函数f（x）－f（x）的图形关于（）对称。
＝x；轴；轴；
解：
设F（x）f（x）f（x），则对任意x有
即F（x）是奇函数，故图形关于原点对称。
选项D正确。
3．设函数的定义域是全体实数，则函数f（x）f（x）是（）
A.单调减函数；B.有界函数；
C.偶函数；D.周期函数
解：
A,B,D三个选项都不一定满足。
设F（x）f（x）f（x），则对任意x有
即F（x）是偶函数，故选项C正确。
⒋函数f（x）
x
xax1（a0,a1）（）
ax1
A.是奇函数；
B.是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数
解：
利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B正确。
⒌若函数f（x1）
x212，则f（x）（）
x
x
A.x2；
B.x22；
2
C.（x1）2；
2
x
D.x2
解：
因为
1。
1
2
x
（x1）22
x
所以f（x
则f（x）
1x）
x
2
x
1x）2
x
2，故选项
（x
B正确。
第二章极限与连续
N”定义；了解函数极限的描述性定义。
⒈知道数列极限的“
⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有：
①有限个无穷小量的代数和是无穷小量；
②有限个无穷小量的乘积是无穷小量；
③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量
⒊熟练掌握极限的计算方法：
因子，利用无穷小量的运算性质，法。
求极限有几种典型的类型
包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定
有理化根式，两个重要极限，
函数的连续性等方
1）
2k
axa
lim
x0
2）
k
x
2
xaxblimxx0x
x0
（a2xka）（a2xka）xk（a2lim（xx0）（xx1）xx0
lxim0
x0
a）
x1
xx0
3）
na0xlim0mxx0b0xm
n1
a1x
m1
b1x
an1xanbm1x
bm
a0
b0
1
2a
⒋熟练掌握两个重要极限：
1lim（11）xx重要极限的一般形式：
或lim（1
1
x）x
e）
1
（1g（x））g（x）e）
）f（x）
f（x））
利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如
⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类：
已知点xx0是的间断点，
若f（x）在点xx0的左、右极限都存在，则xx0称为f（x）的第一类间断点；
lim（1f（x）
e（或gl（ixm）0
若f（x）在点xx0的左、右极限有一个不存在，则xx0称为f（x）的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
一、填空题
21
xsin
x
21
xsin
解：
limxlim（xsin）limxsinlim010
x0sinxx0xsinxx0xx0sinx
sinx
注意：
limxsin1x0x
0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
解：
由f（x）是分段函数，x0是f（x）的分段点，考虑函数在x0处的连续性。
1因为limxsin0lim（x1）1f（0）1
x0xx0所以函数f（x）在x0处是间断的，又f（x）在（,0）和（0,）都是连续的，故函数f（x）的间断点是x0。
⒊⒋⒌⒍设f（x）x23x2，则f[f（x）]。
解：
f（x）2x3，故
⒎函数yln（1x2）的单调增加区间是。
二、单项选择题
）是无穷小量。
sinx
B.,（x）；
C.有定义但无极限；D.无定义且无极限
解：
f（x）在点处没有定义，但
1
limxsin10（无穷小量有界变量=无穷小量）x0
故选项B正确。
⒉下列函数在指定的变化过程中，1
A.ex,（x）；
x11
D.,（xx解：
无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确
三、计算应用题
x0处有极限存在？
a,b为何值时，f（x）在x0处连续？
1）要f（x）在x0处有极限存在，即要limf（x）limf（x）成立。
x0x0
limf（x）成立，即b1时，函数在x0处有极x0
0，所以不能用极限的除法法则。
求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
x13x1
=limlimlim
x0sin3x（1x1）3x0sin3xx01x1
2.设函数
问
（1）a,b为何值时，f（x）在
（2）
解：
因为
limf（x）lim（xsin1b）x0x0x
sinx
limf（x）lim1
x0x0x所以，当b1时，有limf（x）
x0限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有b1f（0）a，即ab1时函数在x0处连续。
第三章导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：
⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
f（x）在点xx0处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限函数f（x）在点xx0处的导数f（x0）的几何意义是曲线yf（x）上点（x0,f（x0））处切线的斜率。
曲线yf（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程为
函数yf（x）在x0点可导，则在x0点连续。
反之则不然，函数yf（x）在x0点连续，在x0点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法
（1）导数的四则运算法则
（2）复合函数求导法则
（3）隐函数求导方法
（4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数y（x1），求y。
x在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即再用导数的加法法则计算其导数，于是有这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数yx1，求y。
3x2显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得两端求导得整理后便可得
若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
⒋熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似一阶微分形式的不变性微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
⒍了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。
由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。
要求函数的n阶导数就要先求函数的n1阶导数。
第三章导数与微分典型例题选解
一、填空题
⒈设函数f（x）在x0邻近有定义，且f（0）0,f（0）1，则
limf（x）
x0x
解：
limf（x）
x0
故应填1。
limf（x）f（0）f（0）1x0
x0
1
x
解：
由导数的几何意义知，曲线
⒉曲线y
在点（1，1）处切线的斜率是
数在该点处的导数，于是
f（x）在xx0处切线的斜率是f（x0），即为函
3
2,y
（1）
故应填1。
2
⒊设f（x）解：
f（x）故应填4x2
2x24x2x4，24x37
5，
故
f[f（x）]
二、单项选择题
⒈设函数f（x）x2
A.2x；解：
因为lim
x所以f
（2）⒉设f
（1）
x
A.1；
x
f（x）2x2xx2
x，则
，则lim
x2x
D不存在f
（2）f
（2），24，即C正确
f（x）f
（2）
f（x）（
f（x）
）。
B.1x；
x解：
先要求出f（x），再求f（x）。
因为f
（1）x
x
11，由此得
f（x）
C.12；x
D.
1，所以f（x）
x
（1）
x
即选项D正确
3．设函数f（x）
（x1）x（x
1）（x
2），则f（0）
）．
解：
因为f（x）其中的三项当x故选项C正确。
x（x1）（x
0时为0，
D.2
2）（x1）（x1）（x所以
2）
（x1）x（x2）
（x1）x（x1），
4．曲线yxex在点（
）处的切线斜率等于
0。
A.（0,1）；B.（1,0）；C.（0,1）；D.（1,0）
解：
y1ex，令y0得x0。
而y（0）1，故选项C正确。
5．ysinx2，则y
（）。
cosx2；
2
2xcosx
C.2xcosx2；
D.2xcosx2
2
A.cosx；解：
ycosx2故选项C正确。
三、计算应用题
B.
（x2）
⒈设ytan2x
sinx
2，
求dyx
2
解：
⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
由此得
⒉设yf（ex）ef（x），其中f（x）为可微函数，求y。
解y[f（ex）]ef（x）f（ex）[ef（x）]
=f（ex）[ex]ef（x）f（ex）ef（x）[f（x）]
=f（ex）exef（x）f（ex）ef（x）f（x）
=ef（x）[f（ex）exf（ex）f（x）]
求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。
3.设函数yy（x）由方程xyeylnx确定，求dy。
ydx解：
方法一：
等式两端对x求导得
整理得
方法二：
由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得
左端d（xyey）d（xy）d（ey）ydxxdyeydy右端d（lnx）yd（x）yydx2xdy
yxyxy
由此得
整理得
4.设函数yy（x）由参数方程确定，求dy。
dx
解：
由参数求导法
5．设y（1x2）arctanx，求y。
21
解y2xarctanx（1x2）22xarctanx1
1x2
第四章导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数yln（1x2）的单调增加区间是.
2x
解：
y2x2，当x0时y0.故函数的单调增加区间是（,0）.
1x
2.
lnx
极限limx11x解：
由洛必达法则
1
3.函数f（x）1（exex）的极小值点为。
2
1xx
解：
f（x）（exex），令f（x）0，解得驻点x0，又x0时，f（x）0；2
x0时，f（x）0，所以x0是函数f（x）1（exex）的极小值点。
2
二、单选题
1.函数yx21在区间[2,2]上是（）A）单调增加B）单调减少
C）先单调增加再单调减少D）先单调减少再单调增加解：
选择D
y2x，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；所以在区间[2,2]上函数yx21先单调减少再单调增加。
2.若函数yf（x）满足条件（），则在（a,b）内至少存在一点（ab），使得
成立。
A）在（a,b）内连续；B）在（a,b）内可导；
C）在（a,b）内连续，在（a,b）内可导；D）在[a,b]内连续，在（a,b）内可导。
解：
选择D。
由拉格朗日定理条件，函数f（x）在[a,b]内连续，在（a,b）内可导，所以选择D正确。
3.满足方程f（x）0的点是函数yf（x）的（）。
A）极值点B）拐点C）驻点D）间断点解：
选择C。
依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数f（x）在（a,b）内连续，x0（a,b），且f（x0）f（x0）0，则函数在xx0处（）。
A）取得极大值B）取得极小值C）一定有拐点（x0,f（x0））D）可能有极值，也可能有拐点解：
选择D函数的一阶导数为零，说明x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明x0可能是函数的拐点，所以选择D。
三、解答题
1.计算题求函数yxln（1x）的单调区间。
解：
函数yxln（1x）的定义区间为（1,），由于
令y0，解得x0，这样可以将定义区间分成（1,0）和（0,）两个区间来讨论。
当1x0时，y0；当0x是，y0。
由此得出，函数yxln（1x）在（1,0）内单调递减，在（0,）内单调增加。
2.应用题
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
解：
设底边边长为x，高为h，所用材料为y
且x2h108,h1028
x
令y0得2（x3216）0x6，
且因为x6,y0;x6,y0，所以x6,y108为最小值.此时h3。
于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
3．证明题：
当x1时，证明不等式
证设函数f（x）lnx，因为f（x）在（0,）上连续可导，所以f（x）在［1,x］上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得其中1cx，即
1
又由于c1，有11
c
故有lnxx1两边同时取以e为底的指数，有elnxex1
x
即xe
e
所以当x1时，有不等式成立.
第5章学习辅导
（2）
典型例题解析
一、填空题
⒈曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点（2,5），则曲线方程为。
解：
2xdxx2c，即曲线方程为yx2c。
将点（2,5）代入得c1，所求曲线方程为
⒉已知函数f（x）的一个原函数是arctanx2，则f（x）。
22x
解：
f（x）（arctanx2）4
1x
⒊已知F（x）是f（x）的一个原函数，那么f（axb）dx解：
用凑微分法
二、单项选择题
⒈设f（x）dxxlnxc，则f（x）（）。
A.lnx1；B.lnx；
C.x；D.xlnx
解：
因
故选项A正确．
⒉设F（x）是f（x）的一个原函数，则等式（）成立。
d
A.（f（x）dx）F（x）；dx
C.F（x）dxF（x）；
解：
正确的等式关系是故选项D正确．
⒊设F（x）是f（x）的一个原函数，则
B.F（x）dxf（x）c；
D.ddx（f（x）dx）f（x）
xf（1x2）dx（）。
A.F（1x2）c；B.F（1x2）c；
D.F（x）c
12
C.F（1x2）c；
2解：
由复合函数求导法则得故选项C正确．
三、计算题
⒈计算下列积分：
⑴xdx
1x2解：
⑴利用第一换元法⑵利用第二换元法，设x⒉计算下列积分：
1x2
2
x
dx
sint，dxcostdt
lnx
⑴arcsinxdx⑵2dx
x2解：
⑴利用分部积分法⑵利用分部积分法高等数学
（1）第六章学习辅导
综合练习题
一）单项选择题
1）．下列式子中，正确的是（）
（2）.下列式子中，正确的是（）
costdt
cosx.
x
costdt
0
0.
x
costdt
0
cosx
/
2costdtcosx
0
（4）
（5）
x1
0exdx.11xdx
cosxdx.12dx
01x
若f（x）是[a,a]上的连续偶函数，则
0
f（x）dx．0
a
0a
C．2f（x）dxD．f（x）dxa0
若f（x）与g（x）是[a,b]上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线xa,xb所围图形的面积（）.
bbf（x）g（x）dx.a（f（x）g（x））dx
ba（f（x）g（x））dxa
2）D；（3）D；
a
af（x）dx（）。
a
b
a（g（x）答案：
解：
（1）根据定积分定义及性质可知ab
而f（x）dxf（x）dxB不正确。
ba
212在（0，1）区间内x2xx2dx
0
f（x））dx.
1）A；（
4）C；（5）A。
A正确。
1
xdxC不正确。
0
根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。
故D不正确。
（2）由变上限的定积分的概念知
xcostdt0由定积分定义知B不正确D正确。
（3）exdx
0
cosx
0
costdt
x
cosx∴A、C不正确。
11xdx
blim
cosxdx
0
bx
lim0edxb
b1
dx
1x
b
blim
b
（eb
0
e0）
∴A不正确
blim
limlnxb
cosxdx
0
blim
（lnbln1）
∴B
不正确。
lim（sinb
b
sin0）不存在。
∴C。
不正确。
D正确
（4）由课本344页
（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数∴
（二）填空题
6—4—2）和345页（6—4—3）知
C。
正确。
A正确。
x
costdt
（1）lxim00
x0x
（2）设F（x）
x2etdt,
x
则F（x）
（3）在区间0,2上，曲线ysinx和x轴所围图形的面积为。
22
（4）4x2dx
0
1
（5）p,无穷积分1pdx发散（a>0p>0）
axp
答案：
3）由定积分的几何意义知:
定积分的值等于
2
（4）y=所围4图x形2的面积∴4x2dx122
（5）p≤1时无穷积分发散。
（三）计算下列定积分
（1）02xdx
（2）x（1x）dx
lnx
dxx
（
升级会员 