电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx

1、电大高等数学基础期末考试复习试题及答案高等数学(1)学习辅导(一)第一章函数理解函数的概念；掌握函数 y f ( x)中符号 f()的含义；了解函数的两要素； 会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。若对任意 x，有 f ( x) f (x)，则 f (x) 称为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对 称。若对任意 x，有 f ( x) f (x)，则 f (x) 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对 称。掌握奇偶函数的判别方法。 掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。熟练掌

2、握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： 常数函数： y c 幂函数： y x ( 为实数 ) 指数函数： y a x (a 0, a 1) 对数函数： y loga x (a 0,a 1) 三角函数： sin x, cosx, tanx, cotx 反三角函数： arcsin x, arccos x, arctan x 了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数可以分解 y eu，u v2，v arctanw ， w 1 x 。分解后的函数前三个都是基 本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。会列简单的应用问

3、题的函数关系式。 例题选解一、填空题设 f (1) x 1 x2 (x 0) ，则 f (x) x1t，得1解：故 f (x)设 t 1 ，则 xx21 1 x。x解：对函数的第一项，要求 x 2 0且ln(x 2) 0，即 x 2且x 3；对函数的 第二项，要求 5 x 0，即 x 5 。取公共部分，得函数定义域为 (2,3) (3,5。函数 f (x) 的定义域为 0,1 ，则 f(ln x) 的定义域是 解：要使解：A 中两函数的对应关系不同 , x2 x x，B,D 三个选项中的每对函数的定 义域都不同，所以 AB,D 都不是正确的选项；而选项 C 中的函数定义域相等，且对应 关系相同

4、，故选项 C 正确。D.坐标原点设函数 f ( x)的定义域为 ( , )，则函数 f (x)f ( x)的图形关于( )对 称。x； 轴； 轴；解：设 F(x) f (x) f ( x) ，则对任意 x有即F (x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项 D 正确。3设函数 的定义域是全体实数，则函数 f (x) f ( x) 是( )A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数； D.周期函数解： A,B,D 三个选项都不一定满足。设F(x) f (x) f( x) ，则对任意 x有即F (x)是偶函数，故选项 C 正确。函数 f (x )xx ax 1(a 0,a 1) ()a x 1A.是奇

5、函数；B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D. 是非奇非偶函数解：利用奇偶函数的定义进行验证。所以 B 正确。若函数 f ( x 1)x2 12 ，则 f ( x) ()xxA. x 2；B. x 2 2 ；2C.(x 1)2 ；2xD.x2解：因为1。12x( x 1) 2 2x所以 f (x则 f ( x)1x)x2x1x)2x2 ，故选项(xB 正确。 第二章极限与连续N ”定义；了解函数极限的描述性定义。知道数列极限的“理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知 道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有： 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； 有限个无穷小量

6、的乘积是无穷小量； 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量熟练掌握极限的计算方法： 因子，利用无穷小量的运算性质， 法。求极限有几种典型的类型包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方1)2kaxalimx02)kx2x ax b lim x x 0 xx0( a 2 xk a)( a 2 xk a ) xk ( a2 lim (x x0)( x x1) x x0lxim0x0a)x1x x03)n a0x lim 0 m x x0 b0 xmn1a1xm1b1xan 1 x an bm 1xbma0b012a熟练掌握两个重要极限：1 lim( 1 1)

7、xx 重要极限的一般形式：或 lim( 11x)xe)1(1 g(x) g(x) e) f ( x)f(x)利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为 重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则， 如理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区 间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。间断点的分类：已知点 x x0 是的间断点，若 f(x) 在点 x x0的左、右极限都存在，则 x x0称为 f (x) 的第一类间断点；lim (1 f ( x)e (或 gl(ixm) 0若 f(x) 在点 x x0的左、右

8、极限有一个不存在，则 x x0称为 f(x) 的第二类间 断点。理解连续函数的和、差、积、商(分母不为 0)及复合仍是连续函数，初等函 数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。典型例题解析一、填空题21x sinx21x sin解：lim x lim (xsin ) lim xsin lim 0 1 0x 0 sin x x 0 x sin x x 0 x x 0 sin xsinx注意：lim x sin 1 x 0 x0(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)解：由 f (x) 是分段函数， x 0是 f ( x) 的分段点，考虑函数在 x 0处的连续 性。1 因为 lim

9、x sin 0 lim (x 1) 1 f (0) 1x 0 x x 0 所以函数 f(x)在 x 0处是间断的， 又 f(x) 在 ( ,0)和 (0, )都是连续的，故函数 f(x)的间断点是 x 0。 设 f (x) x 2 3x 2，则 f f (x) 。解： f (x) 2 x 3 ，故函数 y ln(1 x2 )的单调增加区间是 。二、单项选择题)是无穷小量。sin xB. , (x ) ；C.有定义但无极限； D. 无定义且无极限解： f (x) 在点 处没有定义，但1lim xsin 1 0 (无穷小量 有界变量 =无穷小量) x0故选项 B 正确。下列函数在指定的变化过程中，

10、 1A. ex, (x ) ；x11D., (x x 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 而 A,C,D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确三、计算应用题x 0 处有极限存在？a,b为何值时， f (x) 在x 0处连续？1)要 f (x) 在 x 0处有极限存在，即要 lim f (x) lim f (x) 成立。x 0 x 0lim f (x) 成立，即 b 1时，函数在 x 0处有极 x00，所以不能用极限的除法法则。求解时先 有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。x 1 3x 1= lim lim limx 0 sin 3x( 1 x 1) 3 x 0 sin

11、 3x x 0 1 x 12.设函数问( 1) a, b为何值时， f(x) 在(2)解：因为lim f ( x) lim (x sin 1 b) x 0 x 0 xsin xlim f (x) lim 1x 0 x 0 x 所以，当 b 1 时，有 lim f ( x)x0 限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时 a 可以 取任意值。(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有 b 1 f (0) a ，即 a b 1时函数在 x 0处连续。第三章导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：理解导数的概念；了

12、解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义 计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。f (x) 在点 x x0 处可导是指极限 存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 函数 f(x)在点 x x0 处的导数 f (x0)的几何意义是曲线 y f(x)上点 (x0, f(x0)处 切线的斜率。曲线 y f (x)在点 (x0, f(x0) 处的切线方程为函数 y f (x)在x0点可导，则在 x0点连续。反之则不然，函数 y f (x)在x0点 连续，在 x0 点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法(1)导数

13、的四则运算法则(2)复合函数求导法则(3)隐函数求导方法(4)对数求导方法(5)参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数 y ( x 1) ，求 y 。x 在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易 出错。如果我们把函数先进行变形，即 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数 y x 1 ，求 y 。3 x 2 显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 两端求导得 整理后便可得若函数由参数方程 的形式给出，则有导

14、数公式能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计 算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数 的导数。熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 一阶微分形式的不变性 微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的 微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。 函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函 数的一阶导数。要求函数的 n 阶导数就要先求函数的 n 1阶导数。第三章导数与微分典型例题选解一、填空题设函数 f(x)在 x 0邻近有

15、定义，且 f(0) 0, f (0) 1，则lim f (x)x 0 x解：lim f (x)x0故应填 1。lim f(x) f(0) f (0) 1 x0x01x解：由导数的几何意义知，曲线曲线 y在点( 1，1)处切线的斜率是数在该点处的导数，于是f(x) 在 x x0 处切线的斜率是 f (x0) ，即为函32,y (1)故应填 1 。2设 f ( x) 解： f ( x) 故应填 4x 22 x2 4 x 2x 4 ， 24x 375，故f f (x)二、单项选择题设函数 f ( x) x2A. 2x ； 解：因为 limx 所以 f (2) 设 f (1 )xA.1；xf ( x)

16、 2x 2xx2x ，则，则 limx 2 xD 不存在 f(2) f (2)， 2 4，即 C 正确f ( x) f (2)f ( x) (f ( x)。B. 1x ；x 解：先要求出 f(x)，再求 f (x) 。 因为 f (1) xx11 ，由此得f(x)C. 12 ； xD.1 ，所以 f ( x)x(1)x即选项 D 正确3设函数 f (x)( x 1)x( x1)(x2) ，则 f (0)解：因为 f ( x) 其中的三项当 x 故选项 C 正确。x(x 1)( x0时为 0，D. 22) (x 1)( x 1)( x 所以2)(x 1)x( x 2)(x 1)x(x 1) ，4

17、曲线 y x ex 在点()处的切线斜率等于0。A. (0, 1) ； B.(1,0)； C.(0, 1)； D.( 1,0)解： y 1 ex，令 y 0得 x 0。而 y(0) 1，故选项 C 正确。5 y sinx2 ，则 y( )。cosx2；22xcosxC.2xcosx2；D. 2xcosx22A. cosx ； 解： y cosx2 故选项 C 正确。 三、计算应用题B.(x2)设 y tan2xsin x2，求 dy x2解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则由此得设 y f (ex)ef(x) ，其中 f ( x)为可微函数，求 y 。解y f (ex) ef(x) f (

18、ex)ef(x)= f (ex)ex ef(x) f(ex)ef(x) f(x)= f (ex)exef(x) f (ex)ef(x) f (x)=ef(x) f (ex)ex f (ex) f (x)求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初 等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用 复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。3.设函数 y y(x)由方程 xy ey ln x 确定，求 dy。y dx 解：方法一：等式两端对 x 求导得整理得方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得左端 d(xy ey

19、) d(xy) d(ey ) ydx xdy eydy 右端 d(ln x) yd(x) y ydx 2xdyy x y x y由此得整理得4.设函数 y y(x) 由参数方程 确定，求 dy 。dx解：由参数求导法5设 y (1 x2 ) arctan x ，求 y 。21解 y 2x arctan x (1 x2) 2 2x arctan x 11 x2第四章导数的应用典型例题一、填空题1.函数 y ln(1 x 2 )的单调增加区间是 .2x解： y 2x2 ，当 x 0时 y 0. 故函数的单调增加区间是 ( ,0).1x2.ln x极限 lim x 1 1 x 解：由洛必达法则13.

20、函数 f(x) 1(ex e x) 的极小值点为。21 x x解： f (x) (ex e x)，令 f (x) 0 ，解得驻点 x 0，又 x 0时， f (x) 0； 2x 0时， f (x) 0，所以 x 0是函数 f(x) 1(ex e x) 的极小值点。2二、单选题1. 函数 y x2 1在区间 2,2 上是() A)单调增加 B)单调减少C)先单调增加再单调减少 D)先单调减少再单调增加 解：选择 Dy 2x，当 x 0时， f (x) 0；当 x 0时， f (x) 0；所以在区间 2,2 上函 数 y x2 1 先单调减少再单调增加。2. 若函数 y f (x)满足条件()，则

21、在 (a,b)内至少存在一点 (a b) ，使得成立。A)在 (a,b)内连续； B)在 (a,b)内可导；C)在 (a, b)内连续，在 (a,b)内可导； D)在 a,b内连续，在 (a,b)内可导。 解：选择 D。由拉格朗日定理条件，函数 f(x) 在a,b内连续，在 (a, b)内可导，所以选择 D正确。 3. 满足方程 f (x) 0的点是函数 y f (x) 的()。A)极值点 B)拐点 C)驻点 D)间断点 解：选择 C。 依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。4.设函数 f (x)在(a,b)内连续， x0 (a,b)，且 f (x0) f (x0) 0，则函数在 x

22、 x0 处()。A)取得极大值 B)取得极小值 C)一定有拐点 (x0, f ( x0 ) D)可能有极值，也可能有拐点 解：选择 D 函数的一阶导数为零，说明 x0 可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明 x0 可能是函数的拐点，所以选择 D。三、解答题1.计算题 求函数 y x ln(1 x) 的单调区间。解：函数 y x ln(1 x) 的定义区间为 ( 1, ) ，由于令 y 0，解得 x 0，这样可以将定义区间分成 ( 1,0)和(0, ) 两个区间来讨论。 当 1 x 0时， y 0；当0 x 是， y 0。由此得出，函数 y x ln(1 x) 在( 1,0) 内单调递减，

23、在 (0, )内单调增加。2. 应用题欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材 料最省？解：设底边边长为 x，高为 h ，所用材料为 y且 x2h 108,h 1028x令 y 0得 2(x3 216) 0 x 6 ，且因为 x 6,y 0;x 6,y 0，所以 x 6,y 108为最小值 . 此时h 3。于是以 6米为底边长， 3米为高做长方体容器用料最省。3证明题：当 x 1时，证明不等式证设函数 f (x) ln x，因为 f (x) 在(0, )上连续可导，所以 f (x)在1,x上满足 拉格朗日中值定理条件，有公式可得 其中 1 c x，即1又由于

24、c 1 ，有 1 1c故有 ln x x 1 两边同时取以 e为底的指数，有 elnx ex 1x即 x ee所以当 x 1时，有不等式 成立.第 5 章学习辅导( 2)典型例题解析一、填空题曲线在任意一点处的切线斜率为 2x ，且曲线过点 ( 2, 5) ，则曲线方程 为。解： 2xdx x2 c ，即曲线方程为 y x2 c。将点 (2, 5)代入得 c 1，所求曲 线方程为已知函数 f ( x)的一个原函数是 arctanx2，则 f (x) 。2 2x解： f (x) (arctanx2 ) 41x已知 F(x)是 f ( x)的一个原函数，那么 f (ax b)dx 解：用凑微分法二

25、、单项选择题设 f(x)dx xlnx c，则 f (x) ( )。A. ln x 1； B.ln x ；C.x； D.xln x解：因故选项 A 正确设 F(x)是 f (x) 的一个原函数，则等式( )成立。dA. ( f (x)dx) F(x) ； dxC. F (x)dx F(x) ；解：正确的等式关系是 故选项 D 正确设 F(x)是 f (x)的一个原函数，则B. F (x)dx f (x) c ；D. ddx ( f (x)dx) f (x)xf(1 x2)dx ( )。A. F(1 x2 ) c ； B. F(1 x2 ) c；D.F(x) c12C. F(1 x2 ) c ；

26、2 解：由复合函数求导法则得 故选项 C 正确三、计算题计算下列积分： x dx1 x2 解：利用第一换元法 利用第二换元法，设 x 计算下列积分：1 x22xdxsint ， dx costdtln x arcsin xdx 2 dxx2 解：利用分部积分法 利用分部积分法 高等数学( 1)第六章学习辅导综合练习题一)单项选择题1)下列式子中，正确的是()(2).下列式子中，正确的是()costdtcosx.xcostdt00.xcostdt0cosx/2 costdt cosx0(4)(5)x10 exdx . 1 1x dxcos x dx . 12dx0 1 x若 f (x) 是 a,

27、a 上的连续偶函数，则0f (x)dx 0a0aC 2 f(x)dxD f (x)dx a0若 f (x) 与 g(x) 是 a,b 上 的两 条光 滑曲线， 则由 这两 条曲 线及直线 x a,x b 所围图形的面积 ().bb f (x) g(x)dx. a (f (x) g(x)dxb a ( f(x) g(x)dx a2)D；(3)D；aa f (x)dx ( ) 。 aba （g（x） 答案： 解：（ 1）根据定积分定义及性质可知 ab而 f （x）dx f（x）dxB 不正确。 ba2 1 2 在（ 0，1）区间内 x2 x x2dx0f (x)dx.1)A；(4）C；（ 5） A

28、。 A 正确。1x dx C 不正确。 0根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的 选取无关。故 D 不正确。（2）由变上限的定积分的概念知x costdt 0 由定积分定义知 B 不正确 D 正确。（3） exdx0cosx0costdtxcosxA、C 不正确。1 1x dxblimcosx dx0bxlim 0 e dx bb1dx1xbblimb(eb0e0) A 不正确blimlim ln x bcosx dx0blim(ln b ln1)B不正确。lim (sinbbsin0） 不存在。C。不正确。D 正确（4）由课本 344 页（5）所围图形的面积

29、始终是在上面的函数减去在下面的函数 （二）填空题642）和 345 页（643）知C。正确。A 正确。xcostdt(1)lxim0 0x 0 x(2)设 F (x)x2 et dt,x则 F (x)(3)在区间 0,2 上，曲线 y sin x和 x轴所围图形的面积为 。22(4)4 x2dx 01(5)p ,无穷积分 1pdx 发散 (a 0p 0)a x p答案：3) 由定积分的几何意义知 : 定积分的值等于2( 4) y=所围4 图x形2 的面积 4 x2 dx 1 22(5) p1 时无穷积分发散。(三) 计算下列定积分(1) 0 2 xdx(2) x(1 x)dxln xdx x(