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第3章扭转变形

第3章扭转

§3-1扭转的概念和实例§3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图

§3-3纯剪切

§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7矩形截面杆扭转理论简介

§3-1扭转的概念和实例

•工程实例：

汽车传动轴

•工程实例：

汽车方向盘

•工程实例：

齿轮传动轴

•工程实例：

螺栓、螺母

截面（实心

截面或空心1

本章研究杆件发生扭转变形，其它变形可忽略

的情况，以

截面）杆

为主要研究对象。

研究的问题限于杆在线弹性范

］内工作的情况。

•受力特点:

截面直杆受到与杆轴线垂直平面

内的外力偶於用。

•变形特点:

1.杆件各横截面绕轴线作相对转动;

2•杆表面的纵向线倾斜了一个角度。

§3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图

1•传动轴的外力偶矩

从动轮

当传动轴稳定转动时，外力偶在单位时间内所

作之功等于外力偶之矩〃与相应角速度的乘积。

P-Mcd

第3章扭转

W=lN.m/s"IO?

=Mx迥

从动轮

•主动轮上的外为偶其转向与传动轴的转动方向相同,•从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。

转向

2.扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩卩可利用截面法来计算。

保留左端

•扭矩正负规定

右手螺旋法则

右手拇指指向外法线方向为正（+）,负（-）

•扭矩图——表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况的图。

第3章扭转

［例题3T］已知:

n=300r/minfPK-36KW,&二&

=11KW,/^=14KWo试作轴的扭矩图。

MeB=M

^6-）N.m=1146N.m

300

=（9549x=350N.m

14300

）N.m=446N・〃z300

解：

1•计算外力偶矩

M”a二9549①=（9549x

MeD二9549心二（9549x

2.计算各段的扭矩

MeM“

F澤殳内：

T{+MeB二0

7；二—二—350N・m

CA段内：

T2+MeB+MeC-0

T2=-MeB~MeC=-^N，m

AD段内:

一右+MeD=0為二MeQ=446N・m

2.计算各段的扭矩

T1=-Mb=—4.78N.m

T2二―M&-Mc=—9.56N.mO

73=Md=6・37n.mo

•扭矩等于保留段的全部外力偶麵的代数和。

•外力偶矩投影箭头向上为正,

保留右端符号相反

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Rx在〃段

其值为700N.mo

思考=如果将从动轮〃与G的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。

这样的布置是否合理？

第一种方案

446Nm

M“M“M

-700N.m

.MeC

-350N.m

MeBM力…匕

那个方

35F-m

-350N.m

-796N.m

第二种方案

•试求各段的扭矩,

3陆

画扭矩图

§3-3纯剪切

1•薄壁圆管扭转时的切应力

试验中观察到

（1）当变形很小时，各

周线的大小与间距不变,

（2）各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大

小的平行四边形。

A放夫

横截面上的应力：

（1）只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同，横截面上无正应力。

（2）对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。

1•薄壁圆管扭转时的切应力

Me=^TdAr

-27ut2t8

=Tdr2d3

2.切应力互等定理

rSdydx=TfSdydx

切应力

结论：

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则均指向或均离开该交线。

互等定理

✓-—►/

纯剪切的概念

如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切

应力，而在另一对平面上没有任何应力，则该单

元体处于纯剪切状态。

3.剪切胡克定律

钢材的切变模量的

G=80GPa

约值为:

在切应力的作用下，微体发生了直角改变，这

种角变量称为切应变。

扭转试验表明:

当切应力不超过材料的剪切比

例极限万卩时，切应力与切应变成正比，引入比例系

数G,则jZ|剪切虎克&看

G二

切变鶴儈值随材料而异

§3-4

杆扭转的应力

横截面上的应力

（问题的物理方面）

（问题的静力学方面）

（a）各

周线的大小、

形状和间距不变，仅绕轴线作

•圆柱扭转横截面上的应力

相对转动;

（b）纵向线倾斜了一个角度y。

平面假设一一变形后横截面仍保持为平面。

推知：

杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。

d（p

7“

・

丫=Rdaddx

2-切应变随点的位置的变化规律

根据变形后横截面任为平面、半径任为直线的假设，隶矩圆心为P处的切应变：

可见，在横截面的同一半径厂的

周上各点处

的切应变乙均相同；％与°成正比，且发生在与半径垂直的平面内。

（2）物理关系

由剪切胡克定律厂二Gy知

此式表明：

扭转切应力沿截面径向线性变览。

（3）静力学方面［pr^A=T

JAP

即G^fp^A^T

dx血

其中［bda称为横截面的极惯性矩/pj它是横截面的几何性质。

以人訂夕亦代入上式得:

PJA

切应力计算公式

fax

横截面周边上各点处S二②的最大

切应力为_TR_

^max—j—（[

Gax

二.最大扭转切应力

^max=

T_T

人也惯性矩

z—矩系数，童位为曲

二•圆截面的极惯性矩召和扭转截面系数始

•实心圆截面

人=的4

=p27CyO3dyO=^-

Jo32

Pd/216

•空心圆截面

32v732v7

其中a=~

w,7p_^~d^^D3pD/216D16

鬆对于空心圆截面片當“其原因是

▲F

第3章扭转g［充例题］轴左段为实心圆截面，d=20mm,右段为空心圆截面，d二15mm、D=25mmoMeA=MeB=100N.m,MeC=200N.m,试计算轴内的最大扭转切应力。

解：

（1）内力分析

AB段：

7]=MeA=100N.加

BC段：

T2=MeC=200N.m

1BMb

=74.9MPa—二7.49x]07Pq门

（2）应力分析

T16r16X100N

-3

—=6.37x107P6zm

=63JMPa

Wt7id320x10

T_16T2

Wt^D3（l-a4）

16x2007V

/cu1八一3\F1z15X10mx4龙（25x10）m[l-（

25xlOm

低碳钢扭转破坏断口

铸铁扭转破坏断口

思考

低碳钢和铸铁的

截面试件其扭转破

试问为什么它们

的断口形式不同?

三、强度条件

~强度校核

应用-设计截面

max

L确定许可载荷Tmax

[补充例题]图示阶梯空心圆轴，Ma=150N.m,^

=50N.m,蕊MOON.rn,[t]=90MPa。

试校核该轴的强度。

2Me

M.1

解：

⑴求AB与BC段的相购加

100M加

1—iv±\r

BC段：

T2=Mc=100N^m

（2）强度校核

16刁

為[1-（f）4

16x（150x10°N.mm）

7ix（24mm）3x[l-（^^）416卩24mm

屈[1-（笋16xlobxlO6A^.mm

=88.8M^<[r]

二86.7MC<[r]

7ix（22mm）3x[1—（凹竺『]22加加故该轴的扭转强度符合要求。

［例3・2题］图示传动轴,片=0.756=2.98kN

n=183.5r/min,材料为45钢,[r]=AOMPao

试根据强度要求确定轴的直径o

解:

⑴求外力矩⑵作扭矩图

Mei=9549勺=155N.m

=（9549x^156-）N.m=39.3N.m183.5

M°3二9549空

155・

T/N.m

39.3

・n

298

=（9549x——）N.m=155N.m

183.5

丄°’max

7lD3

（3）强度校核

故有

=0.0270m

I16x155Njh

〒龙x（40xIO'Pq）

可见，按强度要求可取D=Timmo

第3章扭转

[例3-3]

汽车传动轴。

T=1.5kN■叫r[]=60

MPa,无缝钢管的D=90mm,d=85mm,试校核轴的强度。

实心轴和空心轴的重量。

iTIil

若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较

解：

（1）空心轴强度校核

w^（D4-/）tt（904-854）x10_12m4

yy—=

，16D16（90xlO_3m）

r=「二1.5xlO?

N.加二29.3xl0_6m3

1两一29.3x10，/

=51.2x106P«=51.2MP^<[t]故轴满足强度条件。

（2）确定实心与空心圆轴的重量比

16x（1.5xl0?

）N—51.2x106丹

丄

WttzD]3m3

由此求出D{-0.0530m二53mm

A（902-852）mm2„

——=5=0.31

A253.0zmmz

A7VD：

Aj=L=—x

53.02mm2

-44

兀（D?

_d?

）龙222

A2==—（902-852）mm2

可见：

空心轴远比实心轴轻。

§3_5

杆扭转时的变形

1•扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭

转角（相对角位移）。

来度量。

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率（亦称单位长度扭转角）为①餐召O可知，杆的相距/

axG1

的两横截面之间的相对扭转角0为

当等直圆杆相距z的两横截面之间，扭矩饭

材料的切变模量殆常量时有

（P=

2•刚度条件

0爲x<0]

0max—

G/p

1800<0]

式中的许可单位长度扭转角的常用单位是C）/mo

•对于精密机器的轴0gO.15~O.3O（°）/m；

•对于一般的传动轴[勿~2（°）/mo

已知：

G=8OGPd,[0]=1.5（°）/%。

解：

1、按刚度条件计算直径

选取D=30mm

I二EnJx应<閒

—GIp71

0max

试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角03。

<[^]=1.5（°）/m

155N.m180°

^D471

=0.0295m

D>3i32（155Nm）（180。

）

_V（80xl09P6i）7r2（1.5（o）/^）

2、各段轴的两个端面间的相对扭转角：

02=亓

二Sp（39.3N・ni）（0.3ni）“&x10』rad

（80xl09Pa）^（30xl0_3m）4

Tl32

・=^P（_155N.m）（O.4m）=_9?

5x10_3

（80xl09Pa）蔚（30x10-刖

3、齿轮3相对于齿轮1的扭转角

03=012+023

=（1.85-9.75）xlO'3rad=-7.90xlO'3rad

仁纯剪切应力状态下的应变能密度

•计算外力所作功dW

（选讲）

§3-6等直圆杆扭转时的应变能

使左侧面不动，右侧面上的外力tdj/dz在相应的位移gdx上作功。

纯剪切应力状

「态的单元体Ju

当材料在线弹性范围内工作时9三$见图b），有dW=丄（rdzdyXrdx）二丄ry（dxdydz）

单元体内蓄积的应变能数值上等于单元体上外力所作功dW,BPdV=dWo单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为

dVcAW㊁"（dxdydz）】

——二==2=—ry

°dVdVdxdydz

由剪切胡克定律

该应变能密度的表达式可写为

V&~2G

或v£=-/2

°2

a叫dAdx

•等直圆杆在扭转时积蓄的应变能

在扭矩炳常量时，长度为Z的等直圆杆所

蓄积的应变能为

丁21

ff——dAdx=——fdxJzJa2G

lT2

2G/p

当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆

内蓄积的应变能为

应变能亦可如下求得：

=W=-T（p

_1T2l

O（P

例题3-7图示俶CD为等直圆杆，扭转刚度

均为G/p,BC为刚性块，。

截面处作用有外力偶矩Me。

试求：

（1）杆系内的应变能；

（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求〃截面

1/2

2.杆系应变能

币Tjl2_3M：

二1=

2G/p2G/p4G/p

解：

仁静力平衡求扭矩

3.求〃截面的扭转角恥

M^d二3M：

3Mel

（pD二——-

其转向与風相同。

§3-8等直非圆杆自由扭转时的应力和变形

1•等直非圆形截面杆扭转时的变形特点

横截面不再保持为平面而

发生翘曲。

平面假设不再成立。

自由扭转（纯扭转）

杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。

由于各横截面的翘曲

ka|m

III

程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。

约束扭转

非等直杆，或非两端受外力偶作

用，或端面不能自由翘曲。

由于各横截面的翘曲程

度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。

P77,表3.1矩形截面扭转时的因数

hlb

1.0

1.2

1.5

2.0

2.5

3.0

4.0

6.0

8.0

10.0

0.208

0.219

0.231

0.246

0.256

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

0.141

0.166

0.196

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

1.000

0.930

0.858

0.796

0.767

0.753

0.745

0.743

+黔节节<傾

■A-.

+黔节节<傾

■A-.

2.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解

•横截面上长边中点处的最大切应力

式中GI严G附也称为杆件的抗扭刚度。

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