第3章扭转变形.docx

1、第3章扭转变形第3章扭转3-1扭转的概念和实例 3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图 3-3纯剪切 3-6等直圆杆扭转时的应变能 3-7矩形截面杆扭转理论简介 3-1扭转的概念和实例工程实例：汽车传动轴工程实例：汽车方向盘工程实例：齿轮传动轴工程实例：螺栓、螺母截面（实心截面或空心1本章研究杆件发生扭转变形，其它变形可忽略的情况，以截面）杆为主要研究对象。研究的问题限于杆在线弹性范内工作的情况。受力特点:截面直杆受到与杆轴线垂直平面内的外力偶於用。变形特点:1.杆件各横截面绕轴线作相对转动;2杆表面的纵向线倾斜了一个角度。3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图1 传动轴的外力偶矩从动轮当传动轴稳定转

2、动时，外力偶在单位时间内所作之功等于外力偶之矩与相应角速度的乘积。P-Mcd第3章扭转W=lN.m/s IO? =Mx 迥从动轮主动轮上的外为偶其转向与传动轴的转动方向相同, 从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。60转向2.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩卩可利用截面法来计算。1保留左端扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),负(-)扭矩图表示各横截面上的扭矩沿轴线的变 化情况的图。第3章扭转例题3T已知: n = 300r/minf PK - 36KW, &二&=11KW, /=14KWo试作轴的扭矩图。MeB=M6-)N.m = 1146N.m300=(9549

3、 x= 350N.m14 300 )N.m = 446Nz 300eA解：1 计算外力偶矩M”a 二 9549 =(9549 xeDMeD 二 9549 心二(9549 xn2.计算各段的扭矩Me M“eBMgF澤殳内：T + MeB 二 0eB7；二二350NmCA段内：T2 + MeB + MeC - 0MT2=-MeBMeC=- N，mAD段内:一右 + MeD = 0 為二MeQ=446Nm2.计算各段的扭矩T1 = -Mb = 4.78N.mT2 二M& - Mc = 9.5 6N.m O73 = Md = 637n.m o扭矩等于保留段的全部外力偶麵的代数和。外力偶矩投影箭头向上为

4、正,保留右端 符号相反由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Rx在段其值为700N. mo思考=如果将从动轮与G的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？M第一种方案M446NmxM “ M“ M-700N.m.MeC-350N.mM eB M力匕7那个方At35F-m-350N.m-796N.m第二种方案试求各段的扭矩,3陆A2a画扭矩图 3-3纯剪切1 薄壁圆管扭转时的切应力试验中观察到(1)当变形很小时，各周线的大小与间距不变,(2)各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大小的平行四边形。A放夫T横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处 的切应力相同，横截面上

5、无正应力。(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。Me1 薄壁圆管扭转时的切应力Me=TdAr-27ut2t8=Tdr2d32.切应力互等定理rSdydx = TfSdydx切应力结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成 对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，方向则均指向或均离开该交线。互等定理 -/dx纯剪切的概念如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切应力，而在另一对平面上没有任何应力，则该单元体处于纯剪切状态。3.剪切胡克定律钢材的切变模量的G=80GPaT1约值为:在切应力的作用下，微体发生了直角改变，这种角变量称为切应变。扭转试验表明:当切应力不超过材料的剪切比例极

6、限万卩时，切应力与切应变成正比，引入比例系数G,则 jZ |剪切虎克&看G二切变鶴儈值随材料而异3-4杆扭转的应力横截面上的应力（问题的物理方面）（问题的静力学方面）(a)各周线的大小、形状和间距不变，仅绕轴线作圆柱扭转横截面上的应力相对转动;(b)纵向线倾斜了一个角度y。平面假设一一变形后横截面仍保持为平面。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。d(p7“Md丫 =Rd ad dxPdo o2-切应变随点的位置的变化规律根据变形后横截面任为 平面、半径任为直线的 假设，隶矩圆心为P处 的切应变：可见，在横截面的同一半径厂的周上各点处的切应变乙均相同；与成正比，且发生在与半 径垂直的平面

7、内。(2)物理关系由剪切胡克定律厂二Gy知此式表明：扭转切应力沿截面径向线性变览。(3)静力学方面pr A = TJ A P即 Gf pATdx血其中b d a称为横截面的极惯性 矩/pj它是横截面的几何性质。以人訂夕亦代入上式得:P JA切应力计算公式dfaxT横截面周边上各点处S二的最大切应力为 _ TR _max j (TDGax二.最大扭转切应力d max =T _Tr =p人也惯性矩z矩 系数，童位为曲Vi二圆截面的极惯性矩召和扭转截面系数始实心圆截面人=的4=p27CyO3dyO = -Jo 32P d/2 16空心圆截面DA32v 7 32 v 7其中a = Dw , 7p _d

8、D3 p D/2 16D 16鬆对于空心圆截面片當“其原因是 F1X第3章扭转 g充例题轴左段为实心圆截面，d=20 mm,右段为 空心圆截面，d二 15mm、D=25mmo MeA =MeB=100N.m , MeC = 200N.m ,试计算轴内的最大扭转切应力。解：(1)内力分析AB 段：7 = MeA = 100N.加BC段：T2 = MeC = 200N.m1 B Mb22 %=74.9MPa 二 7.49x07 Pq 门1(2)应力分析T 16r 16X100N-3=6.37x107P6z m=63 J MPaWt 7id3 20x10T _ 16T2Wt D3(l-a4)16 x

9、2007V_3/cu 1八一3 F1 z15 X10 mx4 龙(25x10 )ml -(25 xlO m低碳钢扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口思考低碳钢和铸铁的截面试件其扭转破试问为什么它们的断口形式不同?三、强度条件M强度校核应用-设计截面maxL确定许可载荷TmaxWtr补充例题图示阶梯空心圆轴，Ma =150N.m,=50N. m,蕊MOON.rn, t =90 MPa。试校核该轴的强度。2 MeAMb3M. 1解：求AB与BC段的相购加100M 加1 ivrBC 段：T2=Mc= 100 Nm(2)强度校核:16刁為1-(f)416 x (150 x 10 N .mm)7i x (24m

10、m)3 xl-()4 16卩 24mm屈1-(笋 16xlobxlO6A.mm= 88.8Mr二 86.7MC r7i x (22mm)3 x 1 (凹竺 22加加 故该轴的扭转强度符合要求。例32题图示传动轴,片=0.756= 2.98kNn = 183.5r/min,材料为45钢,r = AOMPa o试根据强度要求确定轴的直径o解:求外力矩作扭矩图Mei = 9549 勺 = 155N.mn=(9549 x 156-)N.m = 39.3N.m 183.5M3 二 9549 空X155T/N.m39.3 n2 98=(9549 x )N.m = 155N.m183.51丄 max7lD3

11、(3)强度校核故有=0.0270mI 16x155Njh龙 x (40x IOPq)可见，按强度要求可取D =Timm o第3章扭转例 3-3汽车传动轴。T=1.5 kN叫r =60MPa,无缝钢管的D=90mm , d=85mm,试校核轴的强度。实心轴和空心轴的重量。IIiTIil若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较解：（1）空心轴强度校核w (D4 - /) tt(904 - 854) x 10_12m4yy = ， 16D 16(90 xlO_3m)r =二 1.5xlO?N.加 二 29.3xl0_6m31 两一 29.3x10，/= 51.2x106P=51.2MPt故轴满足

12、强度条件。(2)确定实心与空心圆轴的重量比16x(1.5xl0?)N51.2x106 丹丄Wt tzD3 m3由此求出D -0.0530m 二 53mmA (902-852)mm2 = 5 = 0.31A2 53.0zmmzA 7VD： 71Aj = L = x53.02mm2- 4 4兀(D? _ d?)龙 2 2 2A2 = = (902 - 852)mm24 4可见：空心轴远比实心轴轻。 3_5杆扭转时的变形1 扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角（相对角位移）。来度量。由前已得到的扭转角沿杆长的变化率（亦称单位 长度扭转角）为餐召O可知，杆的相距/ax G1的两横截

13、面之间的相对扭转角0为当等直圆杆相距z的两横截面之间，扭矩饭材料的切变模量殆常量时有TI(P = 2刚度条件0爲x 00max G/p1800 071式中的许可单位长度扭转角的常用单位是C)/mo对于精密机器的轴0gO.15O.3O ( )/m；对于一般的传动轴勿2 ( )/mo已知：G = 8OGPd,0 = 1.5()/%。解：1、按刚度条件计算直径选取D = 30mmI 二 EnJ x 应 閒GIp 710max试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角03。 3 i 32(155Nm)(180。)_ V(80xl09P6i)7r2(1.5(o)/)2、各段轴的两个端面间的相对扭转角：TI0

14、2 =亓二 Sp(39.3Nni)(0.3ni) “ & x 10rad(80xl09 Pa)(30xl0_3m)4Tl 323 =P(_155N.m)(O.4m) = _9 ?5x 10_3(80xl09 Pa)蔚(30x10-刖3、齿轮3相对于齿轮1的扭转角03 = 012 +023=(1.85-9.75) xlO3 rad = -7.90 xlO3 rad仁纯剪切应力状态下的应变能密度Z 计算外力所作功dW（选讲） 3-6等直圆杆扭转时的应变能使左侧面不动，右侧面上的外力tdj/dz在相应的 位移gdx上作功。纯剪切应力状态的单元体Judy当材料在线弹性范围内工作时9三$见图b)，有 d

15、W =丄(rdzdyXrdx)二丄 ry(dxdydz)单元体内蓄积的应变能数值上等于单元体上 外力所作功dW, BPdV =dW o单元体单位体积内的 应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为dVc AW (dxdydz)】二= =2 = ry d V dV dxdydz12由剪切胡克定律该应变能密度的表达式可写为T2V&2G或 v=-/2 2a 叫 dAdx等直圆杆在扭转时积蓄的应变能在扭矩炳常量时，长度为Z的等直圆杆所蓄积的应变能为丁 2 1f f d Adx =fdx JzJa 2GJAl T2%212G/p77由二可知，亦有匕= G/p _当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆

16、内蓄积的应变能为ma应变能亦可如下求得：=W = -T(p_ 1 T2lO (P例题3-7图示俶CD为等直圆杆，扭转刚度均为G/p, BC为刚性块，。截面处作用有外力偶矩 Me。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力 偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求截面1/22.杆系应变能币 Tjl 2 _3M：l二 1 = 2G/p 2G/p 4G/p解：仁静力平衡求扭矩3.求截面的扭转角 恥Md 二 3M：l3Mel(pD 二-其转向与風相同。3-8等直非圆杆自由扭转时的应力和变形1 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。自由扭转（纯扭转）杆，两端受外

17、力偶作用，端面可 自由翘曲。由于各横截面的翘曲ka|mIII程度完全相同，横截面上只有切 应力而无正应力。约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程in度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。P77,表3.1矩形截面扭转时的因数hlb1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0COa0.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.333p0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333V1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743+黔节节 傾 A-.+黔节节 傾 A-.2.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解横截面上长边中点处的最大切应力式中GI严G附也称为杆件的抗扭刚度。