6．若n是奇自然数，a1，a2，…，an是n个互不相同的负整数，则（）．
A．（a1+1）（a2+2）…（an+n）是正整数
B．（a1－1）（a2－2）…（an－n）是正整数
C．（
+1）（
+2）…（
+n）是正数
D．（1－
）（2－
）…（n－
）是正数
7．（x，y）称为数对，其中x，y都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下：
（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2），
（x1，y1）·（x2，y2）=（x1x2－y1y2，x1y2+y1x2）．
则不成立的运算规律是（）．
A．乘法交换律：
（x1，y1）·（x2，y2）=（x2，y2）·（x1，y1）
B．乘法结合律：
（x1，y1）（x2，y2）·（x3，y3）=（x1，y1）（（x2，y2）·（x3，y3））
C．乘法对加法的分配律：
（x，y）·（（x1，y1）+（x2，y2））=（（x，y）·（x1，y1））+（（x，y）·（x2，y2））
D．加法对乘法的分配律：
（x，y）+（（x1，y1）·（x2，y2））=（（x，y）+（x1，y1））·（（x，y）+（x2，y2））
8．计算：
（3x+9）（2x－5）=________．
9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．
10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．
11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．
12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．
13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．
14．计算：
（
+
+…+
）（1+
+…+
）－（1－
+…+
）（
+
+…+
）．
15．（
+
+…+
）（1+
+…+
）－（1－
+…+
）（
+
+…+
）．
16．已知3n+11m能被10整除，试证：
3n+4+11m+2也能被10整除．
答案:
解题指导
例1A[提示：
∵12345=（111+a）（111－b）
=1112+111（a－b）－ab，
∴111（a－b）=12345－1112+ab=24+ab．
∵a>0，b>0，∴ab>0．
∴24+ab>0，即a－b>0，∴a>b．]
例2a3b2的系数为0，a2b3的系数为17．
例3D[提示：
由已知有3x3－x－1=0，
9x4+12x3－3x2－7x+2001
=3x（3x3－x－1）+4（3x3－x－1）+2005=2005．
若将3x3－x=1代入，如何求？
]
例428或－26．[提示：
∵m、n互为相反数，∴m+n=0．
∵a、b互为负倒数，∴ab=－1．
∴x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）x2001+（－ab）2002
=x3－（1+0－1）x2+0+[－（－1）]2002
=x3+1=±│x│3+1=
]
例5－
．[提示：
由题意知（x+2y+m）（2x－y+n）=2x2+3xy－2y2－x+8y－6．又（x+2y+m）（2x－y+n）=2x2+3xy－2y2+（2m+n）x+（2n－m）y+nm，
根据多项式恒等的条件，得
．]
【拓展题】
（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．
若要求最大新数，第二次应取4和9，得到
4×9+4+9=49．
同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则
499就是扩充三次的最大数．
（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，
∴c+1=（a+1）（b+1）．
取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，
∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）
=（a+1）2（b+1）．
取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k
∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）
=（b+1）2（a+1）．
设扩充后的新数为x，则总存在
x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．
当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，
又1999+1=2000=24×53，
∴1999可以通过上述规则扩充得到．
能力训练
1．D[提示：
由m2+m－1=0，知m2+m=1，
∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997
=m+m2－1997=－1996．]
2．B[提示：
由19a+98b=0，得a=－
b，ab=
－b2≤0．]
3．B[提示：
证明M－N>0．]
4．C[提示：
由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]
5．A[提示：
设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=19981998，则有B=A+10001，C=B+10001，D=C+10001．
∴（B+10001）（B－10001）=B2－100012，
即C·A=B2－100012．∴C·A由于B、C均为正数，所以
．
同理，可以得到
．]
6．D[提示：
a1，a2，…an是n个互不相同的负整数，其中n是奇自然数，若a1=－1，a1+1=0，
则（a1+1）（a2+2）…（an+n）=0，排除A；
若a1=－1，a2=－2，a3=－3，…，an=－n，则
（a1－1）（a2－2）…（an－n）=（－2）（－4）（－6）…（－2n）
=（－1）n2×4×6×…×（2n）<0．
因为n是奇数，故排除B；
若a1=－1，+1=0，
则（
+1）·（
+2）·…·（
+n）=0，又排除C．
如果运用直接证法，如何证明？
]
7．D[提示：
易见乘法交换律成立．由
（（x1，y1）·（x2，y2））·（x3，y3）
=（x1x2－y1y2，x1y2+y1x2）·（x3，y3）
=（x1x2x3－y1y2x3－x1y2y3－y1x2y3，x1x2y3－y1y2y3+x1y2x3+y1x2x3
=（x1，y1）·（x2x3－y2y3，x2y3+y2x3）
=（x1，y1）·（（x2，y2）·（x3，y3）），
知乘法结合律成立．
由（x，y）·（（x1，y1）+（x2，y2））=（x，y）·（x1+x2，y1+y2）
=（x（x1+x2）－y（y1+y2），x（y1+y2）+y（x1+x2））
=（xx1－yy1，xy1+yx1）+（xx2－yy2，xy2+yx2）
=（（x，y）·（x1，y1））+（（x，y）·（x2，y2））．
知乘法对加法的分配律成立．
由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）
=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），
知加法对乘法的分配律不成立．]
8．6x2+3x－45．
9．20000．[提示：
∵m=－1998，
∴m+11=－1987，m+22=－1976．
∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．
∴m2+11m－999>0．
∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，
∴m2+22m+999>0．
∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20
=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20
=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20
=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]
10．－1．[提示：
由已知，得x4=1．
∴y=x97+x98+…+x103
=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104
=－（x4）26=－1．]
11．1023．[提示：
易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，
取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，
∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]
12．－1．[提示：
设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则
a+d=m－y，b+d=m－x，
由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，
∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，
∴a+c≠b+c，即x≠y．∴m=0．
又x（m－y）=1，∴－xy=1．
故（a+c）（b+c）=xy=－1．]
13．设BC=x，则AB=10－x，CD=8－x，AD=18－x．
∴AB·CD+BC·AD=（10－x）（8－x）+x（18－x）=80．
14．设
+
+…+
=a，则
原式=（a+
）（1+a）－（1+a+
）a=
．
①②
15．由条件知
由①得（a－1）（b－1）=2，因为a、b是整数，于是
由②检验知a=2，b=3．
16．3n+4+11m+2=34×3n+112×11m=81×3n+121×11m
=80×3n+120×11m+（3n+11m）．
∵10│80×3n，10│120×11m，10│3n+11m，
∴10│（80×3n+120×11m+（3n+11m）），
即10│（3n+4+11m+2）．
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