同济大学第六版高等数学上册课后答案全集.docx

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同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章

习题1-1

1.设A=（-∞,-5）∪（5,+∞）,B=[-10,3）,写出A∪B,A∩B,AB及A\（AB）的表达式.

解A∪B=（-∞,3）∪（5,+∞）,

A∩B=[-10,-5）,

AB=（-∞,-10）∪（5,+∞）,

A\（AB）=[-10,-5）.

2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:

（A∩B）C=AC∪BC.

证明因为

x∈（A∩B）C?

A∩B?

A或x?

x∈AC或x∈BC?

x∈AC∪BC,

所以（A∩B）C=AC∪BC.

3.设映射f:

X→Y,A?

X,B?

X.证明

（1）f（A∪B）=f（A）∪f（B）;

（2）f（A∩B）?

f（A）∩f（B）.

证明因为

y∈f（A∪B）?

x∈A∪B,使f（x）=y

（因为x∈A或x∈B）y∈f（A）或y∈f（B）

y∈f（A）∪f（B）,

所以f（A∪B）=f（A）∪f（B）.

（2）因为

y∈f（A∩B）?

x∈A∩B,使f（x）=y?

（因为x∈A且x∈B）y∈f（A）且y∈f（B）?

y∈f（A）∩f（B）,

所以f（A∩B）?

f（A）∩f（B）.

4.设映射f:

X→Y,若存在一个映射g:

Y→X,使gοf=IX,f

ο=IY,其中IX、

IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有IXx=x;对于每一个y∈Y,有IYy=y.证明:

f是双射,且g是f的逆映射:

g=f-1.

证明因为对于任意的y∈Y,有x=g（y）∈X,且f（x）=f[g（y）]=Iyy=y,即Y中任意元

素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.

又因为对于任意的x1≠x2,必有f（x1）≠f（x2）,否则若f（x1）=f（x2）?

g[f（x1）]=g[f（x2）]

x1=x2.

因此f既是单射,又是满射,即f是双射.

对于映射g:

Y→X,因为对每个y∈Y,有g（y）=x∈X,且满足f（x）=f[g（y）]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.

5.设映射f:

X→Y,A?

X.证明:

（1）f-1（f（A））?

（2）当f是单射时,有f-1（f（A））=A.

证明

（1）因为x∈A?

f（x）=y∈f（A）?

f-1（y）=x∈f-1（f（A））,

所以f-1（f（A））?

（2）由

（1）知f-1（f（A））?

另一方面,对于任意的x∈f-1（f（A））?

存在y∈f（A）,使f-1（y）=x?

f（x）=y.因为y∈f（A）且f是单射,所以x∈A.这就证明了f-1（f（A））?

A.因此f-1（f（A））=A.

求下列函数的自然定义域:

（1）y=3x+2;

解由3x+2≥0得x>-

.函数的定义域为

+∞）.

（2）y

=1-x2

;

解由1-x2≠0得x≠±1.函数的定义域为（-∞,-1）∪（-1,1）∪（1,+∞）.

（3）y

1-x2;

解由x≠0且1-x2≥0得函数的定义域D=[-1,0）∪（0,1].

（4）y=

4-x2

;

解由4-x2>0得|x|<2.函数的定义域为（-2,2）.

（5）=sinx;

解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞）.

y=tan（x+1）;

解由

x+1≠π（k=0,±1,±2,?

）得函数的定义域为≠+-1（k=0,±1,±2,?

）.

（6）y=arcsin（x-3）;

解由|x-3|≤1得函数的定义域D=[2,4].

（8）y=3-x+arcta

;

解由3-x≥0且x≠0得函数的定义域D=（-∞,0）∪（0,3）.

（9）y=ln（x+1）;

解由x+1>0得函数的定义域D=（-1,+∞）.

（10）y=ex.

解由x≠0得函数的定义域D=（-∞,0）∪（0,+∞）.

6.下列各题中,函数f（x）和g（x）是否相同？

为什么？

（1）f（x）=lgx2,g（x）=2lgx;

（2）f（x）=x,g（x）=x2;

（3）f（x）=

x4-x3,g（x）=x3x-1.

（4）f（x）=1,g（x）=sec2x-tan2x.

解

（1）不同.因为定义域不同.

（2）不同.因为对应法则不同,x<0时,g（x）=-x.（3）相同.因为定义域、对应法则均相相同.（4）不同.因为定义域不同.

sin

）=?

7.设?

（x

x||x|<3

|x|≥3

求?

（6）,?

（）,?

（-）,?

（-2）,并作出函数y=?

（x）

的图形.

解?

（6）=|sin6|

=2?

（4

π）=|sinπ|=

（-π）=|sin（-π）|=

（-

=0.

试证下列函数在指定区间内的单调性:

（1）y=

1-x

（-∞,1）;

（2）y=x+lnx,（0,+∞）.

证明

（1）对于任意的x1,x2∈（-∞,1）,有1-x1>0,1-x2>0.因为当x1

所以函数y=

y1-y2=

1-x

x1x2x1-x2

1-x2=（1-x1）（1-x2）

<0,

1-x1

在区间（-∞,1）内是单调增加的.

（2）对于任意的x1,x2∈（0,+∞）,当x1

y1-y2=（x1+lnx1）-（x+lnx2）=（x1-x2）+ln

<0,

所以函数y=x+lnx在区间（0,+∞）内是单调增加的.

8.设f（x）为定义在（-l,l）内的奇函数,若f（x）在（0,l）内单调增加,证明f（x）在（-l,0）内也单调增加.

证明对于?

x1,x2∈（-l,0）且x1-x2.

因为f（x）在（0,l）内单调增加且为奇函数,所以

f（-x2）f（x1）,

这就证明了对于?

x1,x2∈（-l,0）,有f（x1）

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-l,l）上的,证明:

（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;

（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明

（1）设F（x）=f（x）+g（x）.如果f（x）和g（x）都是偶函数,则

F（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）+g（x）=F（x）,

所以F（x）为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.

如果f（x）和g（x）都是奇函数,则

F（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-F（x）,

所以F（x）为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.

（2）设F（x）=f（x）?

g（x）.如果f（x）和g（x）都是偶函数,则

F（-x）=f（-x）?

g（-x）=f（x）?

g（x）=F（x）,

所以F（x）为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.

如果f（x）和g（x）都是奇函数,则

F（-x）=f（-x）?

g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）?

g（x）=F（x）,

所以F（x）为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.

如果f（x）是偶函数,而g（x）是奇函数,则

F（-x）=f（-x）?

g（-x）=f（x）[-g（x）]=-f（x）?

g（x）=-F（x）,

所以F（x）为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？

（1）y=x2（1-x2）;

（2）y=3x2-x3;

（3）y

=1+

;

（4）y=x（x-1）（x+1）;（5）y=sinx-cosx+1;

（6）y=

ax+a-

解

（1）因为f（-x）=（-x）2[1-（-x）2]=x2（1-x2）=f（x）,所以f（x）是偶函数.

（2）由f（-x）=3（-x）2-（-x）3=3x2+x3可见f（x）既非奇函数又非偶函数.

1-（-x）21-x2

（3）因为f（-x）=

1+（-x）2

1+x2

=f（x）,所以f（x）是偶函数.

（4）因为f（-x）=（-x）（-x-1）（-x+1）=-x（x+1）（x-1）=-f（x）,所以f（x）是奇函数.

（5）由f（-x）=sin（-x）-cos（-x）+1=-sinx-cosx+1可见f（x）既非奇函数又非偶函数.

（-x）-（-x）-xx

（6）因为f（-x）===f（x）,所以f（x）是偶函数.

13.下列各函数中哪些是周期函数？

对于周期函数,指出其周期:

（1）y=cos（x-2）;

解是周期函数,周期为l=2π.

（2）y=cos4x;

解是周期函数,周期为l

（3）y=1+sinπx;

=π.

解是周期函数,周期为l=2.

（4）y=xcosx;

解不是周期函数.

（5）y=sin2x.

解是周期函数,周期为l=π.

14.求下列函数的反函数:

y=3x+1;

解由y=3x+1得x=y3-1,所以y=3x+1的反函数为y=x3-1.

1-x;

（1）y=

解由y=

1+x

1-x1-y1-x1-x.

得x=

的反函数为y=

1+x+x1+x

1+y,所以y=1

（2）y

解由y

ax+b（ad-bc≠0）;

=cx+d

ax+b得x=-dy+bax+b-dx+b.

=cx+dcy-a

所以y

=cx+d

的反函数为y=

cx-a

（4）y=2sin3x;

解由y=2sin3x得x=3arcsi

所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsix.

3n2

（5）y=1+ln（x+2）;

解由y=1+ln（x+2）得x=ey-1-2,所以y=1+ln（x+2）的反函数为y=ex-1-2.

（6）

y=2x+1.

解由

log2

y=2x+1得x-y,所以y=2x+1的反函数为

y=log

21-

15.设函数f（x）在数集X上有定义,试证:

函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.设函数f（x）在X上有界,则存在正数M,使|f（x）|≤M,即

-M≤f（x）≤M.这就证明了f（x）在X上有下界-M和上界M.

再证充分性.设函数f（x）在X上有下界K1和上界K2,即K1≤f（x）≤K2.取

M=max{|K1|,|K2|},则-M≤K1≤f（x）≤K2≤M,

即|f（x）|≤M.

这就证明了f（x）在X上有界.

在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:

（1）y=u2,u=sinx,x1=

π,

x2=

π;

解y=sin2x,y1=sin2

（2）2

y2=sin2π=（

）2

（2）y=sinu,u=2x,x1=

π,

x2=

π;

解y=sin2x,

y1=sin（2?

8）=sinπ

y=sin（2?

）=sin=1.

（3）y=u,u=1+x2,x1=1,x2=2;

解y=1+x2,y2,y5.

（4）y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;

解y=ex2,y=e=1,y=e=e.

（5）y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1.

解y=e2x,y1=e2?

1=e2,y2=e2?

（-1）=e-2.

16.设f（x）的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:

（1）f（x2）;

解由0≤x2≤1得|x|≤1,所以函数f（x2）的定义域为[-1,1].

（2）f（sinx）;

解由0≤sinx≤1得2nπ≤x≤（2n+1）π（n=0,±1,±2?

）,所以函数f（sinx）的定义域

为

[2nπ,（2n+1）π]（n=0,±1,±2?

）.

（3）f（x+a）（a>0）;

解由0≤x+a≤1得-a≤x≤1-a,所以函数f（x+a）的定义域为[-a,1-a].

（4）f（x+a）+f（x-a）（a>0）.

≤1时,a≤x≤1-a;当a>1时,无解.因此

解由0≤x+a≤1且0≤x-a≤1得:

当0

≤1时函数的定义域为[a,1-a],当a>1时函数无意义.

当0

|x|<1

17.设f（

x）=?

|x|=1,g（x）=ex,求f[g（x）]和g[f（x）],并作出这两个函数的图

|x|>1

形.

解f[g（x）]

|ex|<1

|ex|=1,即f[g（x）]

x<0x=0.

|ex|>1?

-1x>0

g[f（x）]=ef

（x）=?

|x|<1

|x|=1,即g[f（x）]

|x|<1|x|=1.

-1

e|x|>1

-1

e|x|>1

18.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角?

=40°（图1-37）.当过水断面ABCD

的面积为定值S0时,求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式,并指明

其定义域.

图1-37

解AB=DC

=sin40

ο,又从

[BC+（BC+2cot40ο?

h）]=S0得

BC=

-cot40ο?

h,所以

S02-cos40

+ο

hsin40

自变量h的取值范围应由不等式组

cot

h>0,h0

确定,定义域为0.

20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,

决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为

每台75元.

（1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;

（2）将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;

（3）某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？

解

（1）当0≤x≤100时,p=90.

令0.01（x0-100）=90-75,得x0=1600.因此当x≥1600时,p=75.

当100

p=90-（x-100）×0.01=91-0.01x.

综合上述结果得到

p=?

1.01x

0≤≤100

100

x≥1600

30x0≤≤100

（2）P=（p-60）xx-

0.01x15x

100

x≥1600

P=31×1000-0.01×10002=21000（元）.

习题1-2

观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极限:

（1）xn=

;

解当n→∞时,xn=

→0,lim=0.

→∞

（2）xn=（-

1）n1n

;

解当n→∞时,xn=（-

1）

n1→0,n

lim（-1）n

→∞

=0.

（3）xn=2+

;

解当n→∞时,xn=2+

-1;

（4）xn=n

n+1

→2,2.

）

（

lim2=

n→∞

解当n→∞时,

（5）xn=n（-1）n.

-1

xn=n=1-

n+1

n+1→0,

lim

→∞

n-1

n+1

=1.

解当n→∞时,xn=n（-1）n没有极限.

1.设数列{xn}的一般项xn=

cos

nπ

.问nli→∞xn=?

求出N,使当n>N时,xn与其

极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N.

解

lim=0.

n→∞n

|xn-0|=

|cos

nnn

π|

≤1.?

ε>0,要使|xn-0|<ε,只要

<ε,也就是

.取

n>ε

N=[1],

则?

n>N,有|xn-0|<ε.

当ε=0.001时,N]=1000.

[ε

2.根据数列极限的定义证明:

（1）lim=0;

→∞

分析要使-=<ε,只须

ε,即

n>.

证明因为?

ε>0,?

N],当n>N时,有ε,所以

[

3n+1=3;

lim

n→∞

=0.

（2）lim

n→∞2n+1

分析要使<<ε,只须ε,即

）

（

[ε

|nn

证明因为?

ε>0,?

],当n>N时,有ε,所以lim

n>4ε.

+1=3.

n→∞2n+1

lim

（3）1;

n→∞

分析要使ε,只须n>

n（n2+a2+n）ε.

证明因为?

ε>0,?

N[],当?

n>N时,有|

n2+a2

-1|<ε,所以

lim∞

→

n2+a

=1.

（4）1.

999

lim

→∞

n个

-1

分析要使|0.99?

9-1|=<ε,只须

<ε,即n>1+lg.

1010n

-1

证明因为?

ε>0,?

],当?

n>N时,有|0.99?

9-1|<ε,所以

[ε

lim∞0.999?

9=1.

→43

n个

4.limu=a,证明lim|u|=|a|.并举例说明:

如果数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.

n∞

→

n∞

→

证明因为limun=a,所以?

ε>0,?

N∈N,当n>N时,有|un-a|<ε,从而

n→∞

||un|-|a||≤|un-a|<ε.

这就证明了lim|u||a|.

n→∞

数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim

→∞|（-

1）

n|=1,但nlim（-1）n不

∞

→

存在.

5.设数列{xn}有界,又lim

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