同济大学第六版高等数学上册课后答案全集.docx

1、同济大学第六版高等数学上册课后答案全集高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题 1- 11. 设 A=(-,- 5)(5, +), B=- 10, 3), 写出 AB, AB, A B 及 A(A B)的表达 式.解 AB=(-,3)(5, +),AB=- 10, - 5),A B=(-,- 10)(5, +),A(A B)=- 10, - 5).2. 设 A、B是任意两个集合 , 证明对偶律 : (AB)C=ACBC .证明 因为x(AB)C? x? AB? x? A或 x? B? xAC或 xBC ? xACBC,所以 (AB)C=AC BC .3. 设映射 f : XY, A? X, B

2、? X . 证明(1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)? f(A)f(B).证明 因为yf(AB)? xAB, 使 f(x)=y? (因为 xA或 xB) yf(A)或 yf(B)? yf(A)f(B),所以 f(AB)=f(A)f(B).(2)因为yf(AB)? xAB, 使 f(x)=y? (因为 xA且 xB) yf(A)且 yf(B)? y f(A)f(B),所以 f(AB)? f(A)f(B).4. 设映射 f : XY, 若存在一个映射 g: YX, 使 gf =I X , fg =IY , 其中 IX、IY分别是 X、Y上的恒等映射 , 即对于每一个 xX, 有 I

3、X x=x; 对于每一个 yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且 g是 f的逆映射 : g=f - 1.证明 因为对于任意的 yY, 有 x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即 Y中任意元素都是 X中某元素的像 , 所以 f 为 X到 Y的满射.又因为对于任意的 x1x2, 必有 f(x1)f(x2), 否则若 f(x1)=f(x2)? g f(x1) =g f(x2)? x1=x2.因此 f既是单射 , 又是满射 , 即 f是双射.对于映射 g: YX, 因为对每个 yY, 有 g(y)=xX, 且满足 f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义 ,

4、 g是 f的逆映射 .5. 设映射 f : XY, A? X . 证明:(1)f - 1(f(A)? A;(2)当 f 是单射时 , 有 f -1(f(A)=A .证明 (1)因为 xA ? f(x)=yf(A) ? f - 1(y)=xf- 1(f(A),所以 f - 1(f(A)? A.(2)由(1)知 f - 1(f(A)? A.另一方面 , 对于任意的 xf - 1(f(A)? 存在 yf(A), 使 f - 1(y)=x? f(x)=y . 因为yf(A)且 f是单射, 所以 xA. 这就证明了 f- 1(f(A)? A. 因此 f - 1(f(A)=A .求下列函数的自然定义域 :

5、(1) y= 3x+2 ;解 由 3x+20得 x-2 . 函数的定义域为3 -2 , +) . (2) y1 =1- x2;解 由 1- x20得 x1. 函数的定义域为 (-,- 1)(- 1, 1)(1, +).(3) y1 -= x1- x2 ;解 由 x0且 1- x20得函数的定义域 D=- 1, 0)(0, 1.(4) y=1 4- x2;解 由 4- x20得 |x|0得函数的定义域 D=(- 1, +).1(10) y=ex .解 由 x0得函数的定义域 D=(-,0)(0, +).6. 下列各题中 , 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2,

6、 g(x)=2lg x;(2) f(x)=x, g(x)= x2 ;(3) f (x)=3x4 - x3 , g(x)=x3 x- 1.(4)f(x)=1, g(x)=sec2x- tan2x .解 (1)不同. 因为定义域不同 .(2)不同. 因为对应法则不同 , x0时, g(x)=- x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同 . (4)不同. 因为定义域不同 .?sin|)= ?7. 设? (x?0x| |x|0, 1- x20. 因为当 x1x2时,所以函数 y=y1- y2=x1- xx1 x2 x1- x2-1- x2 = (1- x1)(1- x2)0 ,1- x1在区间

7、(-,1)内是单调增加的 .(2)对于任意的 x1, x2(0, +), 当 x1x2 时, 有y1- y2 =(x1 + lnx1)- (x +ln x2) =(x1 - x2)+ln2x1x20,所以函数 y=x+ln x在区间(0, +)内是单调增加的 .8. 设 f(x)为定义在 (- l, l)内的奇函数 , 若 f(x)在(0, l)内单调增加 , 证明 f(x)在(- l, 0)内也单调增加 .证明 对于? x1, x2(- l, 0)且 x1- x2.因为 f(x)在(0, l )内单调增加且为奇函数 , 所以f(- x2)f(- x1), - f(x2)f(x1),这就证明了

8、对于 ? x1, x2(- l, 0), 有 f(x1)0);解 由 0x+a1得- ax1- a, 所以函数 f(x+a)的定义域为 - a, 1- a.(4) f(x+a)+f(x- a)(a0).1时, ax1- a; 当a 1时, 无解. 因此解 由 0x+a1且0x- a1得: 当 0 1时函数无意义 .当0 a21 |x|1形.解 f g(x)=?2 0|ex |1|ex |=1, 即 f g(x)?= ?11 x1 ?- 1 x0g f (x)= ef(x) =?e1e0|x|1|x|=1, 即 g f (x)?e=? 1|x|1- 1?e |x|118. 已知水渠的横断面为等腰

9、梯形 , 斜角?=40(图 1- 37). 当过水断面 ABCD的面积为定值 S0时, 求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深 h之间的函数关系式 , 并指明其定义域 .图 1- 37解 AB =DCh= sin40, 又从1 2hBC +(BC+2cot40?h)=S0 得BC =S0h- cot 40?h , 所以S0 2- cos40L=+ h sin40h.自变量 h的取值范围应由不等式组S40cot0?-hh0, h 0确定, 定义域为 0 .h S0 cot 4020. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60元. 厂方为鼓励销售商大量采购 ,决定凡是订购量超过 100台以上

10、的 , 每多订购 1台, 售价就降低 1分, 但最低价为每台 75元.(1)将每台的实际售价 p表示为订购量 x的函数;(2)将厂方所获的利润 P表示成订购量 x的函数;(3)某一商行订购了 1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当 0x100时, p=90.令 0.01(x0- 100)=90- 75, 得 x0=1600. 因此当 x1600时, p=75.当 100x1600时,p=90- (x- 100)0.01=91- 0. 01x.综合上述结果得到p=?9?1-901. 01x75=?310 100x100 x1600.x160030x 0 100x(2) P=(p - 60)

11、x x-?0.01x 15x2100xN时, xn 与其m极限之差的绝对值小于正数 , 当=0.001时, 求出数 N.解lim =0.xn n|xn - 0|=|cosn n nn|2 1 . ?0, 要使|xn- 0|, 只要1 N =1 ,则? nN, 有|xn- 0|.当=0.001时, N =1000.1=12n2. 根据数列极限的定义证明 :(1) lim =0;n分析 要使 - = 1n2, 即1 n .证明 因为?0, ? N , 当 nN 时, 有 , 所以1=- |01| 2n3n+1 = 3 ;limn1 n2=0 .(2) limn2n+12分析 要使 , 只须 , 即

12、+=-+nnnn41)12(21|231213|n411 =N0, ? , 当 nN时, 有 , 所以 lim1 n 4.n+1= 3 .n2n+142 2lim+nn(3) 1;2=an2n |1|分析 要使 , 只须 n2+a2 +=-n2a2=-an2aa20, ? N , 当? nN 时, 有|n2 +a2n- 1|, 所以limnn2 +an2=1.(4) 1.9999.0lim=?434 21nn个1 - 11n1lg分析 要使|0.99 ?9- 1|= , 只须1 1+lg .10 10n- 1证明 因为?0, ? , 当? nN时, 有|0.99 ?9- 1|0, ?NN, 当 nN时, 有|un - a|, 从而n|un|- |a|un- a|.这就证明了 lim |u | |a|.n =n数列|xn|有极限, 但数列xn未必有极限 . 例如 lim|(-n1) n|=1, 但nlim (- 1)n不存在.5. 设数列xn 有界, 又 lim