金融数学引论答案第二版.docx

资源描述

金融数学引论答案第二版.docx

《金融数学引论答案第二版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《金融数学引论答案第二版.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

金融数学引论答案第二版.docx

金融数学引论答案第二版

【篇一：

北大版金融数学引论第二章答案】

>第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。

如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+x元，年利率7%。

计算x。

解：

s=1000s?

7%+xs?

x=50000?

1000s?

7%=651.72

p7%

2．价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：

每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

解：

设首次付款为x，则有

10000=x+250a?

p1.5%

解得

x=1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=

解：

pv=na?

npi

+2=

（n+1）n

4．已知：

n=x，a?

n=y。

试用x和y表示d。

解：

n=a?

n+a?

p（1?

d）则

d=1?

（x）n

5．已知：

=5.58238,a?

=7.88687,a?

=10.82760。

计算i。

解：

p=a?

p+a?

解得

i=6.0%

10?

p+a∞?

6.证明：

v10

。

s10?

北京大学数学科学学院金融数学系第1页

证明：

p+a∞?

10+101=10

7．已知：

半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：

开始4年每半年200元，然后减为每次100元。

解：

pv=100a?

+100a20?

8p3%p3%=2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。

然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。

计算每年的退休金。

解：

设每年退休金为x，选择65岁年初为比较日

解得

x=8101.65

。

解：

d=10%，则i

1=9

v；

1+i

所以

（1+

i）n

（1+i）n?

1=（1+i）?

1+i

+（1+i）

所以

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：

1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

pv=100a49?

p1.5%?

100a?

2p1.5%=3256.88

av=100s?

1.5%?

100s?

p1.5%=6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金a和b。

年金a在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金b在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为y，在第11－20年中没有。

已知：

v=，计算y。

解：

因两种年金价值相等，则有

i+a?

iv10=ya?

iya10?

piv10

所以y=3

14.已知年金满足：

2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。

计算i。

1+v10?

2v30

解：

由题意知，

2a?

pi+3a?

pi=36

2a?

pivn=6

解得

i=8.33%

pa?

p+s?

=15.已a?

pa?

p+s?

p。

求x，y和z。

知

解：

由题意得

v11（1+i）z?

解得

x=4,y=7,z=4

1530

16.化简a15?

p（1+v+v）。

解：

p（1+v+v）=a?

北京大学数学科学学院金融数学系第3页

17.计算下面年金在年初的现值：

首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

4.5%解：

年金在4月1日的价值为p=

2000=46444.44，则

1+4

pv=

（1+i）

=41300.657

18.某递延永久年金的买价为p，实利率

解：

设递延时间为t，有

1p=iv

解得

t=?

ln（1+

i）

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。

从第三十年底开始每年领取一定的金额x，直至永远。

计算x。

解：

设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

解得

x=1000（（1+i）?

（1+i））

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代a、b、c、和d：

前n年，a、b和c三人

平分每年的年金，n年后所有年金由d一人继承。

如果四人的遗产份额的现值相

同。

计算（1+i）。

解：

i，那么a,b,c得到的遗产的现值

为i，而d得到遗产的现值为v。

由题意得3?

=v3

所以

（1+i）=4

21.永久期末年金有a、b、c、和d四人分摊，a接受第一个n年，b接受第二

个n年，c接受第三个n年，d接受所有剩余的。

已知：

c与a的份额之比为0.49，求b与d的份额之比。

解：

由题意知

那么

pvc=a?

n=0.49

pvav2n

pvb=

=0.61

pvd

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。

计算最后一次还款的数量和时间。

np4.5%41000100a?

解：

100an+1?

p4.5%v41000

解得n=17

列价值方程解得

100a?

p4.5%xv1=1000

x=146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。

如果

以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

由题意，（1+i）=2解得n=9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：

每月底还100元，5年还清；k个月后一

次还6000元。

已知月结算名利率为12%，计算k。

解：

由题意可得方程

100a?

p1%=6000（1+i）?

解得

k=29

25.已知a?

pi=1.75，求i。

解：

由题意得

v=1.75i

解得

i=9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。

如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。

计算年利率。

解：

【篇二：

金融数学引论北大版第4章答案】

现有1000元贷款计划在5年内按季度偿还。

已知季换算名利率6%，计算第2年底的未结贷款余额。

解：

设每个季度还款额是r，有

ra（4）

5p6%

￢=1000

解得r，代入b2的表达式

b2=ra（4）

3p6%

￢

=635.32元

2设有10000元贷款，每年底还款2000元，已知年利率12%，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。

解：

10000

2000

=4917.72元

3某贷款在每季度末偿还1500元，季换算名利率10%，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000元，计算最初的贷款额。

解：

以季度为时间单位，i=2.5%。

b0=b1?

v+1500a4pi￢

=16514.4元

4某贷款将在15年内分期偿还。

前5年每年底还4000元，第二个5年每年底还3000元，最后5年每年底还2000元。

计算第二次3000元还款后的未结贷款余额的表达式。

解：

对现金流重新划分，有

b7=2000a￢8p+1000a￢3p

北京大学数学科学学院金融数学系第1页

5某贷款将以半年一次

的年金方式在3年半内偿还，半年名利率8%。

如果已知第4次还款后的未结贷款余额为5000元，计算原始贷款金额。

解：

设原始贷款额为l，每次还款为r，以半年为时间单位，有

5000=ra3p4%￢

l=ra7p4%￢

整理得：

l=5000?

a￢7p

a￢3p

=10814.16元

6现有20000元贷款将在12年内每年底分期偿还。

若（1+i）4=2，计算第4次还款后的未结贷款余额。

解：

设第4次还款后的未结贷款余额为l，每次还款为r，有

20000=r?

a12pi￢

l=r?

a8pi￢

把（1+i）4=2代入整理得：

l=5000?

（1+i）?

=17142.86元

720000元抵押贷款将在20年内每年分期偿还，在第5次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。

若借款人从第8年底重新开始还贷，并在20年内还清。

计算调整后的每次还款额。

解：

设正常每次还款为r，调整后每次还款x，以当前时间和第5年底为比较日，有

20000=ra2￢0p

xa1￢3p?

v2=ra1￢5p

整理得：

x=20000?

a15p￢

a2￢0p

（1+i）2

a1￢3p

8某贷款l原计划在25年内分年度等额还清。

但实际上从第6次到第10次的还款中每次多付k元，结果提前5年还清贷款。

试证明：

a2￢0p?

a1￢5p

a2￢5pa￢5pl

证：

以第20年年底为比较日，设每次还款为r，有

l=ra2￢5p

ks￢5p（1+i）10=ra￢5p

整理即得。

9设bt表示未结贷款余额，证明：

（1）（bt?

bt+1）（bt+2?

bt+3）=（bt+1?

bt+2）2;

（2）bt+bt+3bt+1+bt+2

证：

（1）

（bt?

bt+1）（bt+2?

bt+3）=（

r+bt+1

1+i

bt+1）?

（bt+2?

（（1+i）bt+2?

r））

ibt+1

1+i

（r?

ibt+2）

=（r?

ibt+1）?

i（（1+i）bt+1?

r）

1+i

=（r?

ibt+1）2

=（bt+1?

bt+2）2

（2）

bt?

bt+1=r?

ibt

ibt+2

=bt+2?

bt+3

）bt+bt+3bt+1+bt+2

默认每次还款额是相同的！

10某贷款按季度分期偿还。

每次1000元，还期5年，季换算名利率12%。

计算第6次还款中的本金量。

解：

p6=b5?

=1000a20?

5p3%￢?

1000a20?

6p3%￢

=641.86元

11n年期贷款，每年还款1元。

试导出支付利息的总现值（去掉：

之和）。

解：

设第t年支付的利息为it，有

it=ibn+1?

=ian+1?

￢tp

=1?

vn+1?

支付利息的总现值为：

t=1

itvt

t=1

（1?

vn+1?

t）vt

=a￢np?

nvn+1

12设10000元贷款20年还清，年利率10%，证明第11次中的利息为1000

1+v10

元。

此处有改动10000改成1000

证：

设每期还款额为r，由上题的结论有

i11=r（1?

v10）

10000

a2￢0p（1?

v10）

=10000?

1+v10

1000

1+v10

13设有20次分期还贷，年利率9%。

问：

第几次还款中的本金量与利息量差额最小。

解：

不妨设每次还款额为1。

pt?

it=vnt+1?

（1?

vn?

t+1）

=2vn?

t+1?

由

2vn?

t+1?

1=0?

t≈12.96

验证t=12,13的情形易得第13次本金量与利息量差额最小。

14现有5年期贷款，分季度偿还。

已知第3次还款中的本金为100元，季换算的名利率10%。

计算最后5次还款中的本金量之和。

解：

以一季度为时间单位，设每次还款额为r，由题意得

rv20?

3+1=100

100

v18

于是最后5次本金总额为

r（v1+?

+v5）=724.59元

15现准备用20年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10年的年利率为i，后10年的年利率为j。

计算：

（1）第5次偿还中的利息量；

（2）第15次偿还中的本金量。

解：

设初始贷款量为1，每年还款额为r，有：

1=ra10pi￢+ra10pj￢（1+i）?

）r=

a10pi￢+（1+i）?

10a10pj￢

（1）i5=ib4

=ir（a6pi￢+（1+i）?

6a10pj￢）

（2）p15=b14?

b15

=ra6pj￢?

ra5pj￢

=r（1+j）?

16原始本金为a的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还k，且最后一

次将不足部分一次还清。

计算：

（1）第t次偿还的本金量；

（2）摊还表中的本金部分是否为等比数列？

解：

设总还款次数为n，最后一次还款中不足部分设为b。

（1）利用追溯法可得

bt=

a（1+i）t?

ks￢tp,tn

0,t=n

故

pt=

（k?

ia）（1+i）t?

1,tn

（k?

ia）（1+i）n?

1+b,t=n

（2）显然前n?

1次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。

17现有20年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。

如果在第7次正常还款的同时，额外偿还原摊还表中第8次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。

（正常的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。

证明：

还贷期间节约的利息为1?

v13。

证：

在第7次额外多还以后，第n次还款刚好对应原摊还表中第n+1次的还款。

所以节约的利息为原摊还表中第8次还款中的的利息量，为1?

v13。

18总量为l的贷款分10年偿还，已知v5=

。

计算：

（1）前5次偿还中的本金之和；

（2）如果最后5次还款因故取消，计算第10年底的未结贷款余额。

解：

（1）由题意得前5次偿还本金之和为

r（v10+?

+v6）=rv61?

a1￢0p

v5（1?

v5）

v10v5（1?

v5）

=0.4l

（2）利用追溯法

b10=l（1+i）10?

rs￢5p（1+i）5

【篇三：

金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1]】

解:

把t=0代入得a（0）=3于是:

a（t）=a（t）/a（0）=（t2+2t+3）/3in=a（n）?

a（n?

1）

=（n2+2n+3）?

（（n?

1）2+2（n?

1）+3））

=2n+1

2.解:

a（n）?

a（t）?

in?

in-1?

it?

n（n?

1）/2?

t（t?

1）/2

（2）i?

a（n）?

a（t）?

ink?

2n?

2t?

3.解:

由题意得

a（0）=1,a（3）=a（3）/a（0）=1.72?

a=0.08,b=1

∴a（5）=100

a（10）=a（0）?

a（10）=a（5）?

a（10）/

4.解：

（1）i5=（a（5）?

a（4））/a（4）=5120≈4.17%

i10=（a（10）?

a（9））/a（9）=5145≈3.45%

（2）i5=（a（5）?

a（4））/a（4）

100（1?

0.1）5?

100（1?

0.1）4

10%100（1?

0.1）4

i10?

（a?

10?

）/a?

100（1?

0.1）?

100（1?

0.1）?

10%100（1?

0.1）9109

5.解:

a（7）=a（4）（1+i5）（1+i6）（1+i7）

=1190.91

6.解:

设年单利率为i

500（1+2.5i）=615

解得i=9.2%

设500元需要累积t年

解得t=3年4个月

7.解:

设经过t年后，年利率达到2.5%

4%?

（1?

2.5%）tt≈36.367

8.解:

（1+i）11=（1+i）5+2*3=xy3

9.解:

设实利率为i

600[（1+i）2?

1]=264

解得i=20%

∴a（3）=2000（1+i）3=3456元

10.解:

设实利率为i

11?

1n2n（1?

i）（1?

i）

解得（1+i）-n

=12

23?

）?

22所以（1+i）2n

于是pv=100001000010000?

204060（1?

i）（1?

i）

=3281.25

12解:

（1+i）a=2

（1）

3（1+i）b=

（2）2

c（1+i）=5（3）

3（1+i）n=（4）2

（4）?

ln（1+i）=ln5?

ln3

故n=c?

（a+b）

13.解:

i=336

d=300

d=i?

a=2800

14.解:

（1）

d5=

=a?

a510%1?

10%

=6.67%

（2）a-1（t）=1?

0.1t

a（t）=1=1?

0.1t

d5=a5=16.67%

15.解:

由

i（3）

3d（4）

（?

4）（1?

）?

（1?

）343（3）i?

d（4）?

[1?

（1?

）4]3

由

i（6）

6d（12）

（?

12）（1?

）?

（1?

）612（12）d?

i（6）?

[（1?

）?

1]12

4*24）=112.65元

17.解:

利用1/d（m）?

1/i（m）=1/m?

m=8

aa（t）0.1?

aa（t）1?

0.1t

（a

ba?

1a（t）?

0.05t?

（t））0.05?

（t）1?

0.05t

t=5

19.解:

依题意，累积函数为a（t）=at2+bt+1?

a（0.5）=0.25a+0.5b+1=1.025

（1）=a+b+1=1.07

a=0.04

b=0.03

由?

a（t）?

b（t）

2t2?

21?

t1?

8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。

21．解：

4__________全部采用复利：

8%（1?

d）3?

pv?

5000（1?

d）25?

4225.25前两年用复利：

3d0?

8%2

pv?

5000（1?

d）24（1?

d0）?

4225.46

6%4）?

6.14%4

设第3年初投入x,以第3年初为比较日，列价值方程422．解：

6%，则i?

（1?

2000（1?

i）2?

2000（1?

i）?

2000v2?

5000v8解得x=504.67元

23．解：

对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：

200?

500v5?

400.94解得v5?

0.40188

所以

100（1?

i）10?

120（1?

i）5?

917.762

24．解：

1000?

6%?

1000?

4%?

解得：

t=36年

25．解：

列价值方程为100vn?

100v2n?

100解得n=6.25

26．解：

0tt1，得基金b的积累函数为6tt2ab（t）?

exp（?

sds）?

exp（）欲使aa（t）?

ab（t）则12

12?

12tt

展开阅读全文