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1、金融数学引论答案第二版金融数学引论答案第二版【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】第二章习题答案 1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。计算x 。 解： s = 1000s?7%+xs?7% 20 p 10 p 20 p x = 50000 ? 1000s?7% = 651.72 s?p7% 10 2价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为x ，则有 10000 = x + 250a?p1.5% 48 解

2、得 x = 1489.36 1 3设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = n 解： p v = na?npi = 1 n n +2 = (n + 1)n n 2 n 4已知：a?p n= x，a?p 2 n= y 。 试用x和y 表示d 。 解： a?p 2 n= a?p n+ a?p (1 ? d)则 n n y ? x d = 1 ? ( x ) n 5已知：a?p 7 = 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。计算i。 11 p 18 p 解： a?p = a?p + a?p v 7 18 7 11 解得 = i = 6.0% 10?p +a?

3、p 6.证明： 1 1?v10 s 。 s10?p 北京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页 版权所有，翻版必究 证明： 10 s?p + a?p = s? 10 p 10+101 = 10 7已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.716 8某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年

4、退休金为x，选择65岁年初为比较日 = 解得 x = 8101.65 8 。 1 解： d = 10%，则 i = 1?d ? 1 =9 8 1 ? v 8 n n v； n n n n 1 n n 1 n 1 n i + 1 ? v n n 1+i 所以 n n (1+ n n i)n (1+i)n?1=(1+i)?1 n d = ? 1 i 1+i i + (1 + i) n 所以 n n 版权所有，翻版必究 12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。

5、 解： p v = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88 av = 100s?1.5% ? 100s?p1.5% = 6959.37 49 p 2 13.现有价值相等的两种期末年金a和b。年金a在第110年和第2130年中每 年1元，在第1120年中每年2元；年金b在第110年和第2130年中每年付款金 额为y ，在第1120年中没有。已知：v=，计算y 。 10 2 解： 因两种年金价值相等，则有 a?i+a?iv10=y a? ?iy a10?piv10 30 p 10 p 30 p 所以 y =3 10 30 .8 14.已知年金满足：2元的2n期期末

6、年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。 1+v10?2v30 = 1 解： 由题意知， 2a?pi+ 3a?pi = 36 2 n n 2a?pivn= 6 n 解得 7 3 x i = 8.33% y z p a?p a?p + s? = 15.已a?p a?p + s?p 。求x，y和z。 知 解： 由题意得 = 1 ? v11 (1 + i)z ? vy 解得 x = 4, y = 7, z = 4 11 7 x 3 1530 16.化简a15?p (1 + v+ v)。 解： a?p (1 + v+ v) = a?p 15 3

7、0 15 45 北京大学数学科学学院金融数学系 第 3 页 版权所有，翻版必究 17.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一 次2000元，半年结算名利率9%。 4.5%解： 年金在4月1日的价值为p = 2000 = 46444.44 ，则 1+4 p p v = (1 + i) 2+ = 41300.657 3 18.某递延永久年金的买价为p ，实利率 解： 设递延时间为t，有 1 p = i v t ln 解得 t = ? ln(1+ i) 19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一

8、 定的金额x，直至永远。计算x。 解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有 x ?= i 29 解得 x = 1000(1 + i)? (1 + i) 30 10 20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代a、b、c、和d：前n年，a、b和c三人 平分每年的年金，n年后所有年金由d一人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(1 + i)。 n 解： i，那么a,b,c得到的遗产的现值 为 i ，而d得到遗产的现值为v。由题意得 3?pi n n 1 ? v = v 3 n n 所以 (1 + i)= 4 n 21.永 久 期 末 年 金 有a、b、c、和d四 人 分 摊，a接 受 第 一

9、 个n年，b接 受 第 二 个n年，c接受第三个n 年，d接受所有剩余的。已知：c与a的份额之比为0.49， 求b与d的份额之比。 版权所有，翻版必究 解： 由题意知 那么 p vc = a?n= 0.49 p vav2n p vb = a?p n = 0.61 n a? n 3 v n p vd i 22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 v np4.5%41000 100a? 解： 100an+1?p4.5%v41000 16 解得 n = 17 2 列价值方程 解得 + 100a?p4

10、.5%xv1 = 1000 x = 146.07 23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。 由题意， (1 + i)= 2 解得 n = 9 18 36 p n 24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。 解： 由题意可得方程 100a?p1% = 6000(1 + i)?k 60 解得 k = 29 25.已知a?pi= 1.75，求i。 2 解： 由题意得 1 ? v= 1.75i 2 解得 i = 9.3

11、8% 26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年 的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：【篇二：金融数学引论北大版第4章答案】 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2 年底的未结贷款余额。 解： 设每个季度还款额是r ，有 ra(4) 5p6% = 1000 解得r ，代入b2 的表达式 b2 = ra(4) 3p6% = 635.32 元 2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。 解： n = 10000 2000 =

12、5 = 4917.72 元 3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未 结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。 解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。 b0 = b1 ? v + 1500a4pi = 16514.4 元 4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还 3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式。 解： 对现金流重新划分，有 b7 = 2000a8p + 1000a3p 北京大学数学科学学院金融数学系第1 页 版权所有，翻版必究 5

13、某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知 第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。 解： 设原始贷款额为l ，每次还款为r ，以半年为时间单位，有 ? ? 5000 = ra3p4% l = ra7p4% 整理得： l = 5000 ? a7pa3p = 10814.16 元 6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次 还款后的未结贷款余额。 解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为l ，每次还款为r ，有 ? ? 20000 = r ? a12pi l = r ? a8pi 把(1 + i

14、)4 = 2 代入整理得： l = 5000 ? 1 ? (1 + i)?8 1 ? (1 + i)?12 = 17142.86 元 7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺， 随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。 解： 设正常每次还款为r ，调整后每次还款x ，以当前时间和第5 年底为比较 日，有 ? ? 20000 = ra20p xa13p ? v2 = ra15p 整理得： x = 20000 ? a15p a20p ? (1 + i)2 a13p 8 某贷款l 原计划在25

15、 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的 还款中每次多付k 元，结果提前5 年还清贷款。试证明： k = a20p ? a15p a25p a5p l 证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为r ，有 ? ? l = ra25p ks5p (1 + i)10 = ra5p 整理即得。 9 设bt 表示未结贷款余额，证明： (1) (bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (bt+1 ? bt+2)2; (2) bt + bt+3 bt+1 + bt+2 证： (1) (bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (r + bt+1 1 + i ? bt+1

16、) ? (bt+2 ? (1 + i)bt+2 ? r) = r ? ibt+1 1 + i ? (r ? ibt+2) = (r ? ibt+1) ? r ? i(1 + i)bt+1 ? r) 1 + i = (r ? ibt+1)2 = (bt+1 ? bt+2)2 (2) bt ? bt+1 = r ? ibt r ? ibt+2 = bt+2 ? bt+3 ) bt + bt+3 bt+1 + bt+2 默认每次还款额是相同的！ 10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算 第6 次还款中的本金量。 解： p6 = b5 ? b6 = 1000a

17、20?5p3% ? 1000a20?6p3% = 641.86 元 11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。 解： 设第t 年支付的利息为it ，有 it = ibn+1?t = ian+1?tp = 1 ? vn+1?t 支付利息的总现值为： i = t=1 itvt = t=1 (1 ? vn+1?t)vt = anp ? nvn+1 12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为 1000 1 + v10 元。此处有改动10000改成1000 证： 设每期还款额为r ，由上题的结论有 i11 = r(1 ? v10) = 1

18、0000 a20p (1 ? v10) = 10000 ? i 1 + v10 = 1000 1 + v10 13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额 最小。 解： 不妨设每次还款额为1。 pt ? it = vnt+1 ? (1 ? vn?t+1) = 2vn?t+1 ? 1 由 2vn?t+1 ? 1 = 0 ? t 12.96 验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。 14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算 的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。 解： 以一季度为时间单

19、位，设每次还款额为r，由题意得 rv20?3+1 = 100 ? r = 100 v18 于是最后5 次本金总额为 r(v1 + ? ? ? + v5) = 724.59 元 15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10 年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本 金量。 解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为r ，有： 1 = ra10pi + ra10pj (1 + i)?10 ) r = 1 a10pi + (1 + i)?10a10pj (1) i5 = ib4 = ir(a6pi + (1 + i)?6a

20、10pj ) (2) p15 = b14 ? b15 = ra6pj ? ra5pj = r(1 + j)?6 16 原始本金为a 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还k ，且最后一次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本 金部分是否为等比数列？ 解： 设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为b 。 (1) 利用追溯法可得 bt = ? ? a(1 + i)t ? kstp , t n 0, t = n 故 pt = ? ? (k ? ia)(1 + i)t?1, t n (k ? ia)(1 + i)n?1 + b, t = n (2) 显然前

21、n ? 1 次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。 17 现有20 年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。如果在第7 次正常还款的同时， 额外偿还原摊还表中第8 次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。（正常 的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。证明：还 贷期间节约的利息为1 ? v13 。 证： 在第7 次额外多还以后，第n 次还款刚好对应原摊还表中第n + 1 次的还 款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利息量，为1 ? v13 。 18 总量为l 的贷款分10 年偿还，已知v5 = 2 3 。计算： (1) 前5 次偿还中的本金之和； (2) 如果最

22、后5 次还款因故取消，计算第10 年底的未结贷款余额。 解： (1) 由题意得前5 次偿还本金之和为 r(v10 + ? ? ? + v6) = rv6 1 ? v5 1 ? v = l a10p v 1 ? v v5(1 ? v5) = l 1 ? v10 v5(1 ? v5) = 0.4l (2) 利用追溯法 b10 = l(1 + i)10 ? rs5p (1 + i)5【篇三：金融数学引论答案第一章_北京大学出版1】解: 把t = 0 代入得a(0) = 3 于是:a(t) =a(t)/a(0)=（t2 + 2t + 3）/3 in = a(n) ? a(n ? 1) = (n2 +

23、2n + 3) ? (n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3) = 2n + 1 2. 解:?1?i?a(n)?a(t)?in?in-1?it?1?n(n? 1)/2?t(t? 1)/2 (2)i?a(n)?a(t)? k?t?1?ink? 2n?1?2t?1 3.解: 由题意得 a(0) = 1, a(3) =a(3)/a(0)= 1.72? a = 0.08, b = 1 a(5) = 100 a(10) = a(0) ? a(10) = a(5) ? a(10)/ 4. 解：(1)i5 =(a(5) ? a(4)/a(4)=5120 4.17% i10 =(a(10) ? a(9)

24、/a(9)=5145 3.45% (2)i5 =(a(5) ? a(4)/a(4) 100(1 ? 0.1)5?100(1 ? 0.1)4 ? 10%100(1 ? 0.1)4 i10?(a?10?a?9?)/a?9?100(1 ? 0.1)?100(1 ? 0.1)? 10%100(1 ? 0.1)9109 5.解:a(7) = a(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7) = 1190.91 6.解: 设年单利率为i 500(1 + 2.5i) = 615 解得i = 9.2% 设500 元需要累积t 年 解得t = 3 年4 个月 7.解: 设经过t 年后，年利率达到2.5%

25、 1 ? 4%?t? (1 ? 2.5%)tt 36.367 8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = xy 3 9. 解: 设实利率为i 600(1 + i)2 ? 1 = 264 解得i = 20% a(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元 10.解: 设实利率为i 11?1 n2n(1?i)(1?i)解得(1 + i)-n=1 2 1?23?)?22所以(1 + i)2n 于是pv =100001000010000 ?204060 (1 ?i)(1 ?i)(1 ?i) ?2 3?4 = 3281.25 12解:(1 + i)a = 2 (1) 3(1

26、 + i)b = (2) 2 c(1 + i) = 5 (3) 3(1 + i)n = (4) 2 (4) ? n ? ln (1 + i) = ln 5 ? ln 3 故n = c ? (a + b) 13.解:?a ? i = 336 a ? d = 300 i ? d = i ? d ? a = 2800 14.解: (1) d5 = =a?5?a?4? a510% 1 ? 5?10% = 6.67% (2)a-1(t) = 1 ? 0.1t ? a(t) = 1= 1?0.1t a?5?a?4? d5 = a5= 16.67% 15.解:由i(3) 3d(4) (?4)(1?)?(1?

27、)34 3(3)i?d(4)?4?1?(1?)43 由 i(6) 6d(12) (?12)(1?)?(1?)612 (12)d?i(6)?6?(1?)?2?112 4*24 ) = 112.65元 17.解: 利用1/d(m)? 1/i(m) = 1/m? m = 8 aa(t)0.1?aa(t)1?0.1t (a a?1b ?1 ba?1a(t)?1?0.05t?b?(t)0.05?(t)1?0.05t t = 5 19.解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1? a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025 a(1) = a + b + 1 =

28、1.07 ?a = 0.04 b = 0.03 由?a(t)?b(t) 2t2? 21 ?t1 ?t ? t 1 ? d? 8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。 21解： 4_全部采用复利： 8%(1?d)3? 1? 2 pv? 5000(1?d)25? 4225.25前两年用复利：1?3d0? 1?8% 2 pv? 5000(1?d)24(1?d0) ? 4225.46 6%4)?1 ? 6.14% 4 设第3年初投入x,以第3年初为比较日，列价值方程 4 22解： i? 6%，则i? (1 ? 2000(1 ?i)2? 2000(1 ?i) ?x? 2000v2? 5000v8解得x = 504.67 元 23解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程： 200 ? 500v5? 400.94解得v5? 0.40188 所以 p? 100(1 ?i)10? 120(1 ?i)5? 917.762 24解：1000?1 ? 6%? 2?1000?1 ? 4%?解得： t = 36 年 25解： 列价值方程为100vn? 100v2n? 100解得n = 6.25 26解：?t? t 0tt1，得基金b的积累函数为 6tt2ab(t) ?exp(?sds) ?exp()欲使aa(t) ?ab(t)则 12 1?12?12tt