数字信号处理实验 matlab版 离散傅里叶变换DFT.docx

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数字信号处理实验matlab版离散傅里叶变换DFT

实验12离散傅里叶变换（DFT）

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XXXX学号姓名处XXXX

一、实验目的

（1）加深对离散傅里叶变换（DFT）基本概念的理解。

（2）了解有限长序列傅里叶变换（DFT）与周期序列傅里叶级数（DFS）、离散时间傅里叶变换（DTFT）的联系。

（3）掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换和逆变换的方法。

二、实验内容

1.有限长序列的傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）

2.有限长序列DFT与周期序列DFS的联系

3.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系

三、实验环境

MATLAB7.0

四、实验原理

1.有限长序列的傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）

在实际中常常使用有限长序列。

如果有限长序列信号为x（n），则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为

（12-1）

（12-2）

从离散傅里叶变换定义式可以看出，有限长序列在时域上是离散的，在频域上也是离散的。

式中，

即仅在单位圆上N个等间距的点上取值，这为使用计算机进行处理带来了方便。

由有限长序列的傅里叶变换和逆变换定义可知，DFT和DFS的公式非常相似，因此在程序编写上也基本一致。

例12-1已知x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x（n）的DFT和IDFT。

要求：

（1）画出序列傅里叶变换对应的|X（k）|和arg［X（k）］图形。

（2）画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X（k）］图形进行比较。

解MATLAB程序如下：

>>xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];%建立信号序列

>>N=length（xn）;

>>n=0:

（N-1）;k=0:

（N-1）;

>>Xk=xn*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;%离散傅里叶变换

>>x=（Xk*exp（j*2*pi/N）.^（n'*k））/N;%%离散傅里叶逆变换

>>subplot（2,2,1）,stem（n,xn）;%显示原信号序列

>>title（'x（n）'）;

>>subplot（2,2,2）,stem（n,abs（x））;%显示逆变换结果

>>title（'IDFT|X（k）|'）;

>>subplot（2,2,3）,stem（k,abs（Xk））;%显示|X（k）|

>>title（'|X（k）|'）;

>>subplot（2,2,4）,stem（k,angle（Xk））;%显示arg|X（k）|

>>title（'arg|X（k）|'）;

运行结果如图12-1所示。

图12-1例12-1有限长序列的傅里叶变换和逆变换结果

从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。

因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N点的离散序列。

2.有限长序列DFT与周期序列DFS的联系

将周期序列的傅里叶级数变换对（式（11-1）和式（11-2））与有限长序列离散傅里叶变换对（式（12-1）和式（12-2））进行比较，可以看出两者的区别仅仅是将周期序列换成了有限长序列。

例12-2已知周期序列的主值x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x（n）周期重复次数为4次时的DFS。

要求：

（1）画出原主值和信号周期序列信号。

（2）画出序列傅里叶变换对应的

和

的图形。

解MATLAB程序如下：

>>xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];

>>N=length（xn）;

>>n=0:

4*N-1;k=0:

4*N-1;

>>xn1=xn（mod（n,N）+1）;%即xn1=[xn,xn,xn,xn]

>>Xk=xn1*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;%离散傅里叶变换

>>subplot（2,2,1）,stem（xn）;%显示序列主值

>>title（'原主值信号x（n）'）;

>>subplot（2,2,2）,stem（n,xn1）;%显示周期序列

>>title（'周期序列信号'）;

>>subplot（2,2,3）,stem（k,abs（Xk））;%显示序列的幅度谱

>>title（'|X（k）|'）;

>>subplot（2,2,4）,stem（k,angle（Xk））;%显示序列的相位谱

>>title（'arg|X（k）|'）;

运行结果如图12-2所示。

图12-2例12-2周期序列的傅里叶级数（DFS）结果

由这个周期序列的实验我们可以看出，与例12-1相比，有限长序列x（n）可以看成是周期序列

的一个周期；反之，周期序列

可以看成是有限长序列x（n）以N为周期的周期延拓。

频域上的情况也是相同的。

从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。

3.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系

离散时间傅里叶变换（DTFT）是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。

如果离散时间非周期信号为x（n），则它的离散傅里叶变换对（DTFT）表示为

其中X（ejw）称为信号序列的频谱。

将频谱表示为

.|X（ejw）|称为序列的幅度谱,

称为序列的相位谱。

从离散时间傅里叶变换的定义可以看出，信号在时域上是离散的、非周期的，而在频域上则是连续的、周期性的。

与有限长序列相比，X（ejw）仅在单位圆上取值，X（k）是在单位圆上N个等间距的点上取值。

因此，连续谱X（ejw）可以由离散谱X（k）经插值后得到。

为了进一步理解有限长序列的傅里叶变换（DFT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）的联系，我们举例说明离散时间傅里叶变换的使用方法和结果。

例12-3求x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，0≤n≤7的DTFT，将（－2p，2p）区间分成500份。

要求：

（1）画出原信号。

（2）画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X（ejw）和相位谱arg［X（ejw）］图形。

解MATLAB程序如下：

>>xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];

>>N=length（xn）;

>>n=0:

N-1;

>>w=linspace（-2*pi,2*pi,500）;%将［-2p,2p］频率区间分割为500份

>>X=xn*exp（-j*n'*w）;%离散时间傅里叶变换

>>subplot（3,1,1）,stem（n,xn,'k'）;

>>ylabel（'x（n）'）;

>>subplot（3,1,2）,plot（w,abs（X）,'k'）;%显示序列的幅度谱

>>axis（[-2*pi,2*pi,1.1*min（abs（X））,1.1*max（abs（X））]）;

>>ylabel（'幅度谱'）;

>>subplot（3,1,3）,plot（w,angle（X）,'k'）;%显示序列的相位谱

>>axis（[-2*pi,2*pi,1.1*min（angle（X））,1.1*max（angle（X））]）;

>>ylabel（'相位谱'）;

运行结果如图12-3所示。

图12-3例12-3离散时间傅里叶变换（DTFT）的结果

由图12-3与DFT的结果图12-1相比可以看出，两者有一定的差别。

主要原因在于，该例进行DTFT时，X（ejw）在单位圆上取250个点进行分割；而图12-1进行DFT时，X（k）是在单位圆上N＝8的等间距点上取值，X（k）的序列长度与X（ejw）相比不够长。

例12-4仍然用x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，将x（n）的有限长序列后面补足至N＝100，求其DFT，并与例12-3进行比较。

解将例12-1程序的前2行改为

　　N＝100；

　　xn＝［0，1，2，3，4，5，6，7，zeros（1，N－8）］；

则|X（k）|和arg［X（k）］的图形接近由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X（ejw）和相位谱arg［X（ejw）］的图形，如图12-4所示。

注意，此图对应［0，2p］区间。

MATLAB程序如下：

>>N=100;

>>xn=[0,1,2,3,4,5,6,7,zeros（1,N-8）];%建立信号序列

>>n=0:

（N-1）;k=0:

（N-1）;

>>Xk=xn*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;%离散傅里叶变换

>>x=（Xk*exp（j*2*pi/N）.^（n'*k））/N;%离散傅里叶逆变换

>>subplot（2,1,1）,stem（k,abs（Xk））;%显示|X（k）|

>>title（'|X（k）|'）;

>>subplot（2,1,2）,stem（k,angle（Xk））;%显示arg|X（k）|

>>title（'arg|X（k）|'）;

运行结果如图12-4所示。

图12-4增长有限长序列的长度得到|X（k）|和arg［X（k）］

五、实验过程

2.已知有限长序列x（n）＝［7，6，5，4，3，2］，求x（n）的DFT和IDFT。

要求：

①画出序列傅里叶变换对应的|X（k）|和arg［X（k）］的图形。

　　②画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X（k）］的图形进行比较。

解MATLAB程序如下：

>>xn=[7,6,5,4,3,2,];%建立信号序列

>>N=length（xn）;

>>n=0:

（N-1）;k=0:

（N-1）;

>>Xk=xn*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;%离散傅里叶变换

>>x=（Xk*exp（j*2*pi/N）.^（n'*k））/N;%离散傅里叶逆变换

>>subplot（2,2,1）,stem（n,xn）;%显示原信号序列

>>title（'x（n）'）;

>>subplot（2,2,2）,stem（n,abs（x））;%显示逆变换结果

>>title（'IDFT|X（k）|'）;

>>subplot（2,2,3）,stem（k,abs（Xk））;%显示|X（k）|

>>title（'|X（k）|'）;

>>subplot（2,2,4）,stem（k,angle（Xk））;%显示arg|X（k）|

>>title（'arg|X（k）|'）;

运行结果如图12-5所示。

图12-5

3.已知周期序列的主值x（n）＝［7，6，5，4，3，2］，求x（n）周期重复次数为3次时的DFS和IDFS。

要求：

①画出原信号序列的主值和周期序列的图形。

②画出序列傅里叶变换对应的

和

的图形。

解MATLAB程序如下：

>>xn=[7,6,5,4,3,2,1];

>>N=length（xn）;

>>n=0:

3*N-1;k=0:

3*N-1;

>>xn1=xn（mod（n,N）+1）;%即xn1=［xn,xn,xn,xn］

>>Xk=xn1*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;%离散傅里叶变换

>>subplot（2,2,1）,stem（xn）;%显示序列主值

>>title（'原主值信号x（n）'）;

>>subplot（2,2,2）,stem（n,xn1）;%显示周期序列

>>title（'周期序列信号'）;

>>subplot（2,2,3）,stem（k,abs（Xk））;%显示序列的幅度谱

>>title（'|X（k）|'）;

>>subplot（2,2,4）,stem（k,angle（Xk））;%显示序列的相位谱

>>title（'arg|X（k）|'）;

运行结果如图12-6所示。

图12-6

4.求x（n）＝［7，6，5，4，3，2］，0≤n≤5的DTFT，将（－2p，2p）区间分成500份。

要求：

2出原信号。

②画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X（ejw）和相位谱arg［X（ejw）］的图形。

③求有限长序列x（n）＝［7，6，5，4，3，2］，N＝100时的DFT，并与DTFT的结果进行比较。

解MATLAB程序如下：

>>xn=[7,6,5,4,3,2];

>>N=length（xn）;

>>n=0:

N-1;

>>w=linspace（-2*pi,2*pi,500）;%将［-2p,2p］频率区间分割为500份

>>X=xn*exp（-j*n'*w）;%离散时间傅里叶变换

>>subplot（3,1,1）,stem（n,xn,'k'）;

>>ylabel（'x（n）'）;

>>subplot（3,1,2）,plot（w,abs（X）,'k'）;%显示序列的幅度谱

>>axis（[-2*pi,2*pi,1.1*min（abs（X））,1.1*max（abs（X））]）;

>>ylabel（'幅度谱'）;

>>subplot（3,1,3）,plot（w,angle（X）,'k'）;%显示序列的相位谱

>>axis（[-2*pi,2*pi,1.1*min（angle（X））,1.1*max（angle（X））]）;

>>ylabel（'相位谱'）;

运行结果如图12-7所示。

图12-7

③MATLAB程序如下：

>>N=100;

>>xn=[7,6,5,4,3,2,zeros（1,N-6）];%建立信号序列

>>n=0:

（N-1）;k=0:

（N-1）;

>>Xk=xn*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;%离散傅里叶变换

>>x=（Xk*exp（j*2*pi/N）.^（n'*k））/N;%离散傅里叶逆变换

>>subplot（2,1,1）,stem（k,abs（Xk））;%显示|X（k）|

>>title（'|X（k）|'）;

>>subplot（2,1,2）,stem（k,angle（Xk））;%显示arg|X（k）|

>>title（'arg|X（k）|'）;

运行结果如图12-8所示。

图12-8

六、实验感想

通过此次实验中练习使用matlab语言进行离散傅里叶级数变换和逆变换的方法，更为熟悉的掌握了matlab的功能，在实验过程中也遇到很多小问题，并通过仔细检查和查阅相关书籍解决此类问题，让我深刻认识到，细节的重要性。

在使用help过程中，深切体会到良好的英语基础和充实的课堂知识的重要性。