中考一次函数综合题分类精选解决极值问题.docx

中考一次函数综合题分类精选解决极值问题.docx

《中考一次函数综合题分类精选解决极值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考一次函数综合题分类精选解决极值问题.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考一次函数综合题分类精选解决极值问题

1．如图，一次函数y=

x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求直线CE的解析式；

（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），

再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；

（2）设P（﹣m，﹣

m+6），∴PN=m，PM=﹣

m+6，根据勾股定理得，MN2=

（m﹣

）2+

，即可得出点P横坐标，即可得出结论．

【解答】解：

（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，

∴B（0，6），A（﹣8，0），

∴OA=8，OB=6，

∴AB=

=10，

∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，

∴CD=CO，

∵BC=BC，

∴Rt△BCD≌Rt△BCO，

∴BD=BO=6，

∴AD=AB﹣BD=4，

∵∠ADC=∠AOB=90°，

∠CAD=∠BAO，

∴△ACD∽△ABO，

∴

，

∴

，

∴AC=5，

∴OC=OA﹣AC=3，

∴C（﹣3，0），

∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，

∴△EBD≌△ABO，

∴BE=AB=10，

∴OE=BE﹣OB=4，

∴E（0，﹣4），

设直线CE的解析式为y=kx﹣4，

∴﹣3k﹣4=0，

∴k=﹣

，

∴直线CE的解析式为y=﹣

x﹣4，

（2）解：

存在，（﹣

，

），

如图，

∵点P在直线y=

x+6上，

∴设P（﹣m，﹣

m+6），∴PN=m，PM=﹣

m+6，

根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（﹣

m+6）2=

（m﹣

）2+

，

∴当m=

时，MN2有最小值，则MN有最小值，

当m=

时，y=﹣

x+6=﹣

×

+6=

，

∴P（﹣

，

）．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解

（1）的关键是求出点C的坐标，解

（2）的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=

x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；

（2）求点C，D的坐标；

（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；

（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；

（3）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．

【解答】解：

（1）对于直线y=

x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，1），

在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，

根据勾股定理得：

AB=

=

；

（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，

∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，

∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，

∴△BCE≌△DAF≌ABO，

∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，

∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，

∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；

（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，

∵B（0，1），

∴B′（0，﹣1），

设直线B′D的解析式为y=kx+b，

把B′与D坐标代入得：

，

解得：

，即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1，

令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：

待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

3．已知：

如图，已知直线AB的函数解析式为y=2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问：

①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式；

②是否存在点P，使EF的值最小？

若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）由直线AB解析式，令x=0与y=0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；

（2）①把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；②存在，理由为：

利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值．

【解答】解：

（1）对于直线AB解析式y=2x+10，

令x=0，得到y=10；令y=0，得到x=﹣5，

则A（0，10），B（﹣5，0）；

（2）连接OP，如图所示，

①∵P（a，b）在线段AB上，

∴b=2a+10，

由0≤2a+10≤10，得到﹣5≤a≤0，

由

（1）得：

OB=5，

∴S△PBO=

OB•（2a+10），

则S=

（2a+10）=5a+25（﹣5≤a≤0）；

②存在，理由为：

∵∠PFO=∠FOE=∠OEP=90°，

∴四边形PFOE为矩形，

∴EF=PO，

∵O为定点，P在线段AB上运动，

∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，

∵

AB•OP=

OB•OA，

∴

•OP=50，

∴EF=OP=2

，

综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2

．

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：

一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4），点B（4，0），点C（1，0）．

（1）点D为射线CO上的一动点，若△DAB为等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．

（2）在y轴上，是否存在一点E，使得△EAB的面积△CAB的面积相等？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

（3）在y轴上，是否存在一点F，使得△FAB的周长最小？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】

（1）根据A，B，C坐标，求出AC与BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，如图1所示，分三种情况考虑：

若AB=AD′=5；若BD=AB=5；若AD″=BD″，分别求出D坐标即可；

（2）在y轴上，存在一点E，使得△EAB的面积△CAB的面积相等，理由为：

由

（1）得直线AB对应的函数关系式为y=﹣

x+

，过点C作直线AB的平行线，交y轴于点E，如图2所示，设出CE解析式为y=﹣

x+c，把C坐标代入求出c的值，确定出CE解析式，求出CE与x轴的交点坐标E坐标；同理，过点（7，0）作直线AB的平行线，求出E坐标，综上，得到满足题意E坐标即可；

（3）在y轴上，存在一点F，使得△FAB的周长最小，作出A关于y轴的对称点A1，连接BA1，与y轴交于点F，此时AF+BF最小，即△FAB的周长最小，求出直线CF解析式，确定出直线CF与y轴交点坐标即为F坐标．

【解答】解：

（1）∵A（1，4），B（4，0），C（1，0），

∴AC=4，BC=3，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得：

AB=

=5，

如图1所示，分三种情况考虑：

若AB=AD′=5，由对称性得到D′（﹣2，0）；

若BD=AB=5，可得OD=BD﹣OB=5﹣4=1，即D（﹣1，0）；

若AD″=BD″，此时D″为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，

设直线AB解析式为y=mx+n，

把A与B坐标代入得：

，

解得：

m=﹣

，n=

，即AB解析式为y=﹣

x+

，

由A（1，4），B（4，0）得到线段AB中点坐标为（

，2），

∴线段AB垂直平分线方程为y﹣2=

（x﹣

），

令y=0，得到x=﹣

，即D″（﹣

，0），

综上，D的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，0）或（﹣

，0）；

（2）在y轴上，存在一点E，使得△EAB的面积△CAB的面积相等，理由为：

由

（1）得直线AB对应的函数关系式为y=﹣

x+

，

过点C作直线AB的平行线，交y轴于点E，如图2所示，

设直线CE的函数关系式为y=﹣

x+c，

∵点C在直线CE上，

∴把C（1，0）代入得：

0=﹣

×1+c，

解得：

c=

，

∴点E的坐标为（0，

），

同理，过点（7，0）作直线AB的平行线，得点E的坐标为（0，

），

综上，存在点E，且点E的坐标为（0，

）或（0，

）；

（3）在y轴上，存在F，使得△FAB的周长最小，

如图3所示，点A关于y轴的对称点A1的坐标为（﹣1，4）．连接A1B交y轴于点F，连接AF，此时△FAB的周长最小，

设直线A1B的函数关系式为y=mx+n，

则有

，

解得：

，

∴直线A1B的函数关系式为y=﹣

x+

，

则点F的坐标为（0，

）．

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：

待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质坐标与图形性质，对称的性质，以及平行线的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

5．如图，点A（0，2）、B（4，0），点P从（8，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB的垂线l2，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜4）秒

（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S

①试求S关于t的函数关系式；

②在整个运动过程中，S是否存在最大值？

若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

【分析】

（1）根据题意表示出P与Q坐标，进而表示出PQ的长，由三角形OAB与三角形QPM相似，得比例表示出PM，进而表示出M坐标；

（2）①设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式，把M坐标代入求出t的值，分三种情况考虑：

（i）当0＜t≤2时，如图1所示，根据S=S△CQB表示出S；（ii）当2＜t＜

时，如图2所示，根据S=S四边形CQPD=S△CQB﹣S△PDB表示出S；（iii）当

≤t＜4时，根据S=S△POM表示出S即可；

②根据①中的解析式，利用二次函数性质求出S最大值即可．

【解答】解：

（1）由题意得：

P（8﹣2t，0），Q（4﹣t，0），

∴PQ=4﹣t，

∵△OAB∽△QPM，

∴

=

=

=2，

∴PM=2PQ=8﹣2t，

∴M（8﹣2t，8﹣2t）；

（2）①设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直