中考一次函数综合题分类精选解决极值问题.docx

1、中考一次函数综合题分类精选解决极值问题1如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CDAB，垂足为点D，交y轴于点E（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PMx轴，PNy轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出RtBCDRtBCO，和ACDABO，确定出点C（3，0），再判断出EBDABO，求出OE=BEOB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（m，m+6），PN=

2、m，PM=m+6，根据勾股定理得，MN2=（m）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，B（0，6），A（8，0），OA=8，OB=6，AB=10，CB平分ABO，CDAB，COBO，CD=CO，BC=BC，RtBCDRtBCO，BD=BO=6，AD=ABBD=4，ADC=AOB=90，CAD=BAO，ACDABO，AC=5，OC=OAAC=3，C（3，0），EDB=AOB=90，BD=BO，EBD=ABO，EBDABO，BE=AB=10，OE=BEOB=4，E（0，4），设直线CE的解析式为y=kx4，3k4=0，k=，直线CE的

3、解析式为y=x4，（2）解：存在，（，），如图，点P在直线y=x+6上，设P（m，m+6），PN=m，PM=m+6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（m+6）2=（m）2+，当m=时，MN2有最小值，则MN有最小值，当m=时，y=x+6=+6=，P（，）【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C的坐标，解（2）的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题2如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形A

4、BCD（1）求边AB的长；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；（3）作出B关于x轴的对称点B，连接BD，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时MDB周长最小，求出此时M的坐标即可【解答】解：（1）对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=2，A（2，0），B（0，

5、1），在RtAOB中，OA=2，OB=1，根据勾股定理得：AB=； （2）作CEy轴，DFx轴，可得CEB=AFD=AOB=90，正方形ABCD，BC=AB=AD，DAB=ABC=90，DAF+BAO=90，ABO+CBE=90，DAF+ADF=90，BAO+ABO=90，BAO=ADF=CBE，BCEDAFABO，BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，C（1，3），D（3，2）；（3）找出B关于x轴的对称点B，连接BD，与x轴交于点M，此时BMD周长最小，B（0，1），B（0，1），设直线BD的解析式为y=kx+b，把B与D坐

6、标代入得：，解得：，即直线BD的解析式为y=x1，令y=0，得到x=1，即M（1，0）【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键3已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PEy轴于点E，PFx轴于点F，连接EF，问：若PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式；是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由【分析】

7、（1）由直线AB解析式，令x=0与y=0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；（2）把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值【解答】解：（1）对于直线AB解析式y=2x+10，令x=0，得到y=10；令y=0，得到x=5，则A（0，10），B（5，0）；（2）连接OP，如图所示，P（a，b）在线段AB上

8、，b=2a+10，由02a+1010，得到5a0，由（1）得：OB=5，SPBO=OB（2a+10），则S=（2a+10）=5a+25（5a0）；存在，理由为：PFO=FOE=OEP=90，四边形PFOE为矩形，EF=PO，O为定点，P在线段AB上运动，当OPAB时，OP取得最小值，ABOP=OBOA，OP=50，EF=OP=2，综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键4如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4），点B（4，0），

9、点C（1，0）（1）点D为射线CO上的一动点，若DAB为等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标（2）在y轴上，是否存在一点E，使得EAB的面积CAB的面积相等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由（3）在y轴上，是否存在一点F，使得FAB的周长最小？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）根据A，B，C坐标，求出AC与BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，如图1所示，分三种情况考虑：若AB=AD=5；若BD=AB=5；若AD=BD，分别求出D坐标即可；（2）在y轴上，存在一点E，使得EAB的面积CAB的面积相等，理由为：由（1）得直线AB对应的函数关系式为y=x+，过点C作

10、直线AB的平行线，交y轴于点E，如图2所示，设出CE解析式为y=x+c，把C坐标代入求出c的值，确定出CE解析式，求出CE与x轴的交点坐标E坐标；同理，过点（7，0）作直线AB的平行线，求出E坐标，综上，得到满足题意E坐标即可；（3）在y轴上，存在一点F，使得FAB的周长最小，作出A关于y轴的对称点A1，连接BA1，与y轴交于点F，此时AF+BF最小，即FAB的周长最小，求出直线CF解析式，确定出直线CF与y轴交点坐标即为F坐标【解答】解：（1）A（1，4），B（4，0），C（1，0），AC=4，BC=3，在RtABC中，根据勾股定理得：AB=5，如图1所示，分三种情况考虑：若AB=AD=5，

11、由对称性得到D（2，0）；若BD=AB=5，可得OD=BDOB=54=1，即D（1，0）；若AD=BD，此时D为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，设直线AB解析式为y=mx+n，把A与B坐标代入得：，解得：m=，n=，即AB解析式为y=x+，由A（1，4），B（4，0）得到线段AB中点坐标为（，2），线段AB垂直平分线方程为y2=（x），令y=0，得到x=，即D（，0），综上，D的坐标为（1，0）或（2，0）或（，0）；（2）在y轴上，存在一点E，使得EAB的面积CAB的面积相等，理由为：由（1）得直线AB对应的函数关系式为y=x+，过点C作直线AB的平行线，交y轴于点E，如图2所示，设直线C

12、E的函数关系式为y=x+c，点C在直线CE上，把C（1，0）代入得：0=1+c，解得：c=，点E的坐标为（0，），同理，过点（7，0）作直线AB的平行线，得点E的坐标为（0，），综上，存在点E，且点E的坐标为（0，）或（0，）；（3）在y轴上，存在F，使得FAB的周长最小，如图3所示，点A关于y轴的对称点A1的坐标为（1，4）连接A1B交y轴于点F，连接AF，此时FAB的周长最小，设直线A1B的函数关系式为y=mx+n，则有，解得：，直线A1B的函数关系式为y=x+，则点F的坐标为（0，）【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质坐标与

13、图形性质，对称的性质，以及平行线的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键5如图，点A（0，2）、B（4，0），点P从（8，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB的垂线l2，它们的交点为M设运动的时间为t（0t4）秒（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设MPQ与OAB重叠部分的面积为S试求S关于t的函数关系式；在整个运动过程中，S是否存在最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由【分析】（1）根据题意表示出P与Q坐标，进而表示出PQ的长，由三角形OAB与三角

14、形QPM相似，得比例表示出PM，进而表示出M坐标；（2）设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式，把M坐标代入求出t的值，分三种情况考虑：（i）当0t2时，如图1所示，根据S=SCQB表示出S；（ii）当2t时，如图2所示，根据S=S四边形CQPD=SCQBSPDB表示出S；（iii）当t4时，根据S=SPOM表示出S即可；根据中的解析式，利用二次函数性质求出S最大值即可【解答】解：（1）由题意得：P（82t，0），Q（4t，0），PQ=4t，OABQPM，=2，PM=2PQ=82t，M（82t，82t）；（2）设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直