学年人教版数学七年级下册第5章 相交线与平行线 解答题练习一.docx

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学年人教版数学七年级下册第5章相交线与平行线解答题练习一

人教版数学七年级下册第5章《相交线与平行线》

解答题培优

（一）

1．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．

（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；

解：

∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　　（角平分线定义）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝　　°（等式的性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝　　°．

∴AD∥BC（　　）．

（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．

2．如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．

（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；

（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．

3．【问题】如图①．线段AB＝10cm，点C是线段AB上一动点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长（请写出说理步骤）．

【拓展】如图①，线段AB＝acm．点C是线段AB上一动点，点从N分别是线段AC、BC的中点，则线段MN的长为　　cm．（用含字母a的代数式表示）

【应用】

（1）如图②，∠AOB＝α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为　　（用含字母α的代数式表示）；

（2）如图③，AM∥BN，∠A＝68°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．

4．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．

如图2：

当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．

求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．

5．已知：

图中CD∥AB，求证：

∠AEC＝∠C﹣∠A．

证明：

如图，过点E作EF∥CD．

又∵CD∥AB（　　），

∴EF∥AB（　　）．

∴∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°（　　）．

∴∠CEF＝180°﹣∠C，∠AEF＝180°﹣∠A，

∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF

＝（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠C）（　　）

＝180°﹣∠A﹣180°+∠C

＝∠C﹣∠A．

即：

∠AEC＝∠C﹣∠A．

6．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．

求证：

（1）EH∥AD；

（2）∠BAD＝∠H．

7．阅读下面内容，并解答问题

在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：

两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．

小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．

已知：

如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．

（1）直线EG，FG有何关系？

请补充结论：

求证：

“　　”，并写出证明过程；

（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　　题，并写出解答过程．

A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．

B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．

8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：

∠2＝1：

4，求∠AOC和∠AOF的度数．

9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝2∠BOD，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．

（1）求∠DOE的度数；

（2）求∠AOF的度数．

10．如图，直线AB与CD相交于O，OE是∠AOC的平分线，OF⊥OE．

（1）若∠AOC＝110°，求∠DOE的度数；

（2）试说明OF平分∠BOC．

11．如图，直线AB和直线CF相交于点O，∠BOC＝α．

（1）如图1，若α＝60°，射线OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，试求∠EOF的度数；

（2）如图2，若∠AOD＝

∠AOC，∠DOE＝60°，试求∠EOF的度数；

（3）如图3，若∠AOD＝

∠AOC，∠DOE＝

（n≥2，n为整数），那么∠EOF与α的度数有何数量关系？

（直接写出结果，不写过程）

12．已知：

如图1，DE∥AB，DF∥AC．

（1）求证：

∠A＝∠EDF．

（2）点G是线段AC上的一点，连接FG，DG．

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系，并证明．

②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系．

13．填空或填理由，完成下面的证明．

已知：

如图，CD分别交AD、AE、BE于点D、F、C，连接AB、AC，AD∥BE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证：

AB∥CD．

证明：

∵AD∥BE（已知）

∴∠3＝∠CAD（　　）

∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4＝　　（等量代换）

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（等式的基本性质）

即∠BAE＝　　

∴∠4＝　　（等量代换）

∴AB∥CD．

14．实验证明，平面镜反射光线的规律是：

射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a镜反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b镜反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝　　°，∠3＝　　°．

（2）在

（1）中，若∠1＝55°，则∠3＝　　°，若∠1＝40°，则∠3＝　　°；

（3）由

（1）

（2）请你猜想：

当两平面镜ab的夹角∠3＝　　°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m与反射光线n平行，请说明理由．

15．如图，已知射线CD∥AB，∠C＝∠ABD＝110°，E，F在CD上，且满足∠EAD＝∠EDA，AF平分∠CAE．

（1）求∠FAD的度数；

（2）若向右平行移动BD，其它条件不变，那么∠ADC：

∠AEC的值是否发生变化？

若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；

（3）在向右平行移动BD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFC＝∠ADB？

若存在，请求出∠ADB度数；若不存在，说明理由．

参考答案

1．解：

（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝180°．

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：

2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；

（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，

∴∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，

∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，

∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．

2．解：

（1）∠FAB＝∠4，

理由如下：

∵AC∥EF，

∴∠1+∠2＝180°，

又∵∠1+∠3＝180°，

∴∠2＝∠3，

∴FA∥CD，

∴∠FAB＝∠4；

（2）∵AC平分∠FAB，

∴∠2＝∠CAD，

∵∠2＝∠3，

∴∠CAD＝∠3，

∵∠4＝∠3+∠CAD，

∴

，

∵EF⊥BE，AC∥EF，

∴AC⊥BE，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．

3．解：

【问题】∵M、N分别是线段AC、BC的中点，

∴MC＝

，NC＝

，

∵MN＝MC+NC＝

＝

＝5；

【拓展】∵M、N分别是线段AC、BC的中点，

∴MC＝

，NC＝

，

∵MN＝MC+NC＝

＝

．

故答案为：

；

（1）∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，

∴∠MOC＝

，

，

∵∠MON＝∠MOC+∠CON＝

＝

＝

＝

．

故答案为：

；

（2）∵AM∥BN，∠A＝68°，

∴∠ABN＝180°﹣68°＝112°，

又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN

，

∴由

（1）结论可知，

∠CBD＝

＝

，

∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，

∴∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝56°，

∠ACB与∠ADB的差为56°．

4．解：

当AC∥DE时，如图所示：

则∠CAE＝∠E＝90°；

当BC∥AD时，如图所示：

则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；

当BC∥AE时，

∵∠EAB＝∠B＝60°，

∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；

综上所述：

∠CAE的度数为90°或105°或150°．

5．解：

如图，过点E作EF∥CD，

又∵CD∥AB（已知），

∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）．

∴∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠CEF＝180°﹣∠C，∠AEF＝180°﹣∠A，

∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF

＝（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠C）（等量代换）

＝180°﹣∠A﹣180°+∠C

＝∠C﹣∠A．

即：

∠AEC＝∠C﹣∠A．

故答案为：

已知；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．

6．证明：

（1）∵∠CDG＝∠B，

∴DG∥AB，

∴∠1＝∠BAD，

∵∠1+∠FEA＝180°，

∴∠BAD+∠FEA＝180°，

∴EH∥AD；

（2）由

（1）得：

∠1＝∠BAD，EH∥AD，

∴∠1＝∠H，

∴∠BAD＝∠H．

7．解：

（1）结论：

EG⊥FG；

理由：

如图1中，∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°，

∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，

∴∠GEF＝

，

，

∴∠GEF+∠GFE＝

＝

＝

＝90°，

在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，

∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，

∴EG⊥FG．

故答案为：

EG⊥GF；

（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，

∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，

∴∠BEM+∠MFD＝

（∠BEG+∠DFG）＝45°，

∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，

B．结论：

∠EOF＝2∠EPF．

理由：

如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，

∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，

∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，

∴∠EOF＝2∠EPF，

故答案为：

A或B．

8．解：

∵OE平分∠BOD，

∴∠1＝∠BOE，

∵∠1：

∠2＝1：

4，

∴设∠1＝x°，则∠EOB＝x°，∠AOD＝4x°，

∴x+x+4x＝180，

解得：

x＝30，

∴∠1＝30°，∠DOB＝60°，

∴∠COE＝150°，

∵OF平分∠COE，

∴∠EOF＝75°，

∴∠BOF＝75°﹣30°＝45°，

∴∠AOF＝180°﹣45°＝135°．

则∠AOC＝180°﹣∠2＝180°﹣4x°＝60°．

9．解：

（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠BOD，

∴∠AOD＝180°×

＝120°，∠BOD＝180°×

＝60°，

∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE＝∠BOE＝

∠BOD＝30°，

（2）∵∠COE+∠DOE＝180°，

∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，

∵OF平分∠COE，

∴∠COF＝∠EOF＝

∠COE＝

×150°＝75°，

又∵∠AOC＝∠BOD＝60°，

∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．

10．解：

（1）∵∠AOC＝110°，OE平分∠AOC，

∴∠AOE＝55°．

又∵∠AOD＝70°，

∴∠DOE＝125°．

（2）理由：

∵OF⊥OE，

∴∠EOF＝90°．

∴∠EOC+∠COF＝90°，∠AOE+∠BOF＝90°．

∵∠AOE＝∠EOC，

∴∠BOF＝∠COF，

即OF平分∠BOC．

11．解：

（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∵OD平分∠AOC，

∴

，

∵∠DOE＝90°，

∴∠AOE＝90°﹣60°＝30°，

∵∠EOF+∠AOE+∠AOC＝180°，

∴∠EOF＝180°﹣30°﹣120°＝30°；

（2）∵∠AOD＝

∠AOC，

∴∠AOC＝3∠AOD，

∵∠BOC+∠AOC＝180°，

∴α+3∠AOD＝180°，

∴∠AOD＝

＝

，

∴∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝

＝

，

∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝

；

（3）∠EOF与α的数量关系为：

．

设∠AOD为x，则∠AOC＝nx，

∵∠AOD+∠BOC＝180°，

∴nx+α＝180°，

∴x＝

，

∵∠AOF＝∠BOC＝α，∠AOE＝∠DOE﹣x＝

，

∴∠EOF＝α﹣

．

故答案为：

．

12．解：

（1）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴∠EDF+∠AFD＝180°，∠A+∠AFD＝180°，

∴∠EDF＝∠A；

（2）①∠AFG+∠EDG＝∠DGF．

如图2所示，过G作GH∥AB，

∵AB∥DE，

∴GH∥DE，

∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，

∴∠AFG+∠EDG＝∠FGH+∠DGH＝∠DGF；

②∠AFG﹣∠EDG＝∠DGF．

如图所示，过G作GH∥AB，

∵AB∥DE，

∴GH∥DE，

∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，

∴∠AFG﹣∠EDG＝∠FGH﹣∠DGH＝∠DGF．

13．解：

证明：

∵AD∥BE（已知）

∴∠3＝∠CAD（两直线平行内错角相等）

∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4＝∠CAD（等量代换）

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（等式的基本性质）

即∠BAE＝∠CAD

∴∠4＝∠BAE（等量代换）

∴AB∥CD．

故答案为（两直线平行内错角相等），∠CAD，∠CAD，∠BAE．

14．解：

（1）∵入射角与反射角相等，即∠1＝∠4，∠5＝∠6，

根据邻补角的定义可得∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°，

根据m∥n，所以∠2＝180°﹣∠7＝100°，

所以∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°，

根据三角形内角和为180°，所以∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°；

故答案为：

100，90．

（2）由

（1）可得∠3的度数都是90°；

故答案为：

90，90．

（3）理由：

因为∠3＝90°，

所以∠4+∠5＝90°，

又由题意知∠1＝∠4，∠5＝∠6，

所以∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4），

＝360°﹣2∠4﹣2∠5，

＝360°﹣2（∠4+∠5），

＝180°．

由同旁内角互补，两直线平行，可知：

m∥n．

故答案为：

90．

15．解：

（1）∵射线CD∥AB，∠C＝110°，

∴∠CAB＝70°，∠BAD＝∠EAD，

∵∠EAD＝∠EDA，

∴∠EAD＝∠BAD＝

∠EAB．

∵AF平分∠CAE，

∴∠FAD＝∠FAE+∠EAD＝

∠CAB＝

×70°＝35°；

（2）不变．

∵AB∥CD，∠C＝110°，

∴∠CAB＝70°．

当BD向右平移时，∠EAD增大，∠CAB不变，

∵∠EAD＝∠EDA，∠AEC＝∠EAD+∠EDA，

∴∠ADC：

∠AEC＝1：

2；

（3）存在．

设∠BAD＝∠EAD＝∠EDA＝x°，

∵由

（1）知∠FAD＝35°，

∴∠AFC＝x°+35°．

∵AB∥CD，∠ABD＝110°，

∴∠BDC＝70°，

∴∠ADB＝70°﹣x°，

∵∠AFC＝∠ADB，

∴x°+35°＝70°﹣x°，解得x＝17.5°，

∴∠ADB＝70°﹣17.5°＝52.5°．