第5章平行线与相交线解答专项练习三学年七年级人教版下册.docx

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第5章平行线与相交线解答专项练习三学年七年级人教版下册

2020-2021学年七年级人教版下册第5章平行线与相交线

总复习之解答专项练习（三）

1．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．

（1）如图1，求证：

AB∥CD；

（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：

∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；

（3）如图3，在

（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．

2．已知：

如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？

直线AB与DC平行吗？

说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．

解：

直线AD与BE平行，直线AB与DC　　．

理由如下：

∵∠DAE＝∠E，（已知）

∴　　∥　　，（内错角相等，两条直线平行）

∴∠D＝∠DCE．（两条直线平行，内错角相等）

又∵∠B＝∠D，（已知）

∴∠B＝　　，（等量代换）

∴　　∥　　．（同位角相等，两条直线平行）

3．已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．

（1）如图1，若AC∥BD，求证：

AD∥BC；

（2）如图2，若BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；

（3）如图3，在

（2）的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）

4．如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？

加以证明；

（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．

5．完成下列推理，并填写完理由．

已知，如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠M＝∠N，试说明：

∠1＝∠2．

解：

∵∠BAE+∠AED＝180°（已知）

∴　　∥　　（　　）

∴∠BAE＝　　又∵∠M＝∠N（已知）

∴　　∥　　（　　）

∴∠NAE＝　　（　　）

∴∠BAE﹣∠NAE＝　　﹣　　（　　）

即∠1＝∠2

6．如图，已知，AB∥PF，∠FPB＝∠C，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．

（1）证明：

AB∥CD；

（2）求∠PFH的度数．

7．已知：

直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．

（1）如图1，求证：

AB∥CD；

（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．

8．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且DF∥AB，∠1＝∠A，试说明DE∥AC的理由．

解：

因为DF∥AB（　　），

所以∠1+　　＝180°（　　）．

因为∠1＝∠A（已知），

所以∠A+　　＝180°（　　）．

所以DE∥AC（　　）．

9．如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．

（1）AF与CD是否平行？

请说明理由；

（2）若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠4＝78°，求∠BCD的度数．

10．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．

（1）如图1，求证：

AB∥CD；

（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求

的值；

（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．

11．已知，如图①，点D，E，F，G是△ABC三边上的点，且FG∥AC，

（1）若∠EDC＝∠FGC，试判断DE与BC是否平行，并说明理由．

（2）如图②，点M、N分别在边AC、BC上，且MN∥AB，连接GM，若∠A＝60°，∠C＝55°，∠FGM＝4∠MGC，求∠GMN的度数．

（3）点M、N分别在射线AC、BC上，且MN∥AB，连接GM．若∠A＝α，∠ACB＝β，∠FGM＝n∠MGC，直接写出∠GMN的度数（用含α，β，n的代数式表示）

12．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，

（1）证明：

EF∥AB．

（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．

13．完成下列的推理说明．

如图，已知直线EF分别交直线AB、CD与点M、N，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END．

求证：

MG∥NH．

证明：

∵AB∥CD（已知）．

∴∠EMB＝∠END（　　）．

∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知）．

∴　　，　　（　　）．

∴∠EMG＝∠ENH（　　）．

∴MG∥NH（　　）．

14．已知：

如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C．

（1）求证AB∥CD；

（2）若∠A＝30°，求∠D的度数．

15．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．

（1）如图1，求证：

CF∥AB；

（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；

（3）如图3，在

（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：

∠ECB＝7：

13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．

参考答案

1．

（1）证明：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∵∠CAE＝∠CEA，

∴∠CEA＝∠BAE，

∴AB∥CD；

（2）证明：

过F作FM∥AB，如图，

∵AB∥CD，

∴AB∥FM∥CD，

∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，

∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，

即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；

（3）解：

设∠GEF＝∠C＝x°，

∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，

∴∠GED＝2x°，

∵AB∥CD，

∴∠C+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣x°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝

BAC＝

（180°﹣x°）＝90°﹣

x°，

由

（1）知：

AB∥CD，

∴∠BAE+∠AED＝180°，

∵∠AEF＝35°，

∴90﹣

x+x﹣35+2x＝180，

解得：

x＝50，

即∠C＝50°．

2．解：

直线AD与BE平行，直线AB与DC平行．

理由如下：

∵∠DAE＝∠E，（已知）

∴AD∥BE，（内错角相等，两条直线平行）

∴∠D＝∠DCE．（两条直线平行，内错角相等）

又∵∠B＝∠D，（已知）

∴∠B＝∠DCE，（等量代换）

∴AB∥DC．（同位角相等，两条直线平行）

3．

（1）证明：

∵AC∥BD，

∴∠DAE＝∠BDA，

∵∠BDA＝∠C，

∴∠DAE＝∠C，

∴AD∥BC；

（2）证明：

如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，

∵BD⊥BC，

∴∠BGA+∠C＝90°，

∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，

∵∠BDA＝∠C，

∴∠DAE+2∠C＝90°；

（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，

∵∠DFE+∠AFD＝180°，

∴∠AFD＝180°﹣8α，

∵DF∥BC，

∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，

又∵2∠C+∠DAE＝90°，

∴2（180°﹣8α）+α＝90°，

∴α＝18°，

∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，

又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，

∴∠ABC＝∠ABD＝

∠CBD＝45°，

△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．

答：

∠BAD的度数是99°．

4．解：

（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：

∵CD∥AB，∠DCB＝70°，

∴∠DCB＝∠ABC＝70°，

∵∠CBF＝20°，

∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，

∵∠EFB＝130°，

∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，

∴EF∥AB；

（2）∵EF∥AB，CD∥AB，

∴EF∥CD，

∵∠CEF＝70°，

∴∠ECD＝110°，

∵∠DCB＝70°，

∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，

∴∠ACB＝40°．

5．解：

∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠BAE＝∠AEC，又∵∠M＝∠N（已知），

∴AN∥EM（内错角相等，两直线平行），

∴∠NAE＝∠MEA（两直线平行，内错角相等），

∴∠BAE﹣∠NAE＝∠CEA﹣∠MEA（等量减等量，差相等），

即∠1＝∠2．

故答案为：

AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；∠AEC；AN，EM，内错角相等，两直线平行；∠MEA，两直线平行，内错角相等；∠CEA，∠MEA，等量减等量，差相等．

6．

（1）证明：

∵∠FPB＝∠C，

∴CD∥PF，

∵AB∥PF，

∴AB∥CD；

（2）解：

∵DC∥FP，∠FED＝30°，

∴∠FED＝∠EFP＝30°，

∵AB∥FP，∠AGF＝80°，

∴∠AGF＝∠GFP＝80°，

∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，

∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH＝

∠GFE＝55°，

∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°．

7．

（1）证明：

∵EM∥FN，

∴∠EFN＝∠FEM．

∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，

∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．

∴∠CFE＝∠BEF．

∴AB∥CD．

（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∵FN平分∠CFE，

∴∠CFE＝2∠CFN，

∵∠AEF＝2∠CFN，

∴∠AEF＝∠CFE＝90°，

∴∠CFN＝∠EFN＝45°，

∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，

同理：

∠AEM＝∠GEM＝135°．

∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．

8．解：

因为DF∥AB（已知），

所以∠1+∠DEA＝180°（两直线平行同旁内角互补）．

因为∠1＝∠A（已知），

所以∠A+∠DEA＝180°（等量代换）．

所以DE∥AC（同旁内角互补两直线平行）．

故答案为：

已知，∠DEA，两直线平行同旁内角互补，∠DEA，等量代换，同旁内角互补两直线平行．

9．解：

（1）AF∥CD，

理由如下：

∵AC∥EF，

∴∠1+∠2＝180°，

又∵∠1+∠3＝180°，

∴∠2＝∠3，

∴FA∥CD；

（2）∵AC平分∠FAB，

∴∠2＝∠CAD，

∵∠2＝∠3，

∴∠CAD＝∠3，

∵∠4＝∠3+∠CAD，

∴∠3＝

∠4＝

×78°＝39°，

∵EF⊥BE，AC∥EF，

∴AC⊥BE，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．

10．解：

（1）如图1，延长BE交CD于点C，则∠BED＝∠C+∠EDC．

∵∠BED＝∠ABE+∠EDC，

∴∠ABE＝∠C，

∴AB∥CD；

（2）由

（1）可知，AB∥CD，

∴∠ABD+∠BDC＝180°，

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，

∴∠BED＝

（∠ABD+∠BDC）＝90°，

由∠ABE＝3∠ABF，设∠ABF＝α，则∠ABE＝3α

过F作FG平行于AB，如图2，

则有∠ABF+∠CDF＝∠F，

∴∠CDF＝30°﹣α

过E作EH平行于AB，则有∠ABE+∠CDE＝∠BED，

∴∠CDE＝90°﹣3α，∴∠FDE＝60°﹣2α

∴

＝

＝

；

（3）当点H在点D的左侧时，如图3所示，∠BHD＝2∠EBI．

理由如下：

∵AB∥CD

∴∠ABH＝∠BHD，

∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，

∴∠ABE＝∠EBD，∠HBI＝∠IBD

∵∠ABH＝∠ABE+∠EBH＝∠EBD+∠EBH＝2（∠EBH+∠HBI），

∴∠BHD＝2∠EBI．

当点H在点D的右侧时，如图4所示，∠EBI＝90°﹣

∠BHD．

理由如下：

∵AB∥CD

∴∠GBH＝∠BHD，

∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，

∴∠ABE＝∠EBD，∠HBI＝∠IBD

∵∠EBI＝∠EBD+∠DBI＝

∠ABD+

∠DBH＝

∠ABH＝

（180°﹣∠HBG）

∴∠EBI＝90°﹣

∠BHD．

11．解：

（1）DE∥BC，理由如下：

∵FG∥AC，

∴∠FGB＝∠C，

∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠FGC+∠FGB＝180°，∠EDC＝∠FGC，

∴∠ADE＝∠FGB，

∴∠ADE＝∠C，

∴DE∥BC；

（2）∵∠A＝60°，∠C＝55°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣55°＝65°，

∵FG∥AC，

∴∠FGB＝∠C＝55°，

∵∠FGM＝4∠MGC，

∴∠FGM+∠MGC+∠FGB＝5∠MGC+55°＝180°，

∴∠MGN＝25°，

∵MN∥AB，

∴∠MNC＝∠B＝65°，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，

∴∠GMN＝∠MNC﹣∠MGN＝65°﹣25°＝40°；

（3）①如图②所示：

∵∠A＝α，∠ACB＝β，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，

∵FG∥AC，

∴∠FGB＝∠C＝β，

∵∠FGM＝n∠MGC，

∴∠FGM+∠MGC+∠FGB＝（n+1）∠MGC+β＝180°，

∴∠MGN＝

，

∵MN∥AB，

∴∠MNC＝∠B＝180°﹣α﹣β，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，

∴∠GMN＝∠MNC﹣∠MGN＝180°﹣α﹣β﹣

＝

（180°﹣β）﹣α．

②如图③所示：

设∠MGN＝x，

则∠GMN＝∠GMA+∠NMC＝α+180°﹣nx，

∵（n﹣1）x+β＝180°，

∴x＝

，

∴∠GMN＝α+180°﹣nx＝α+180°﹣n

＝α+

．

12．解：

（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），

∴∠2＝∠DFE，

∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；

（2）∠AED与∠C相等．

∵EF∥AB，

∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），

∵∠3＝∠B（已知），

∴∠B＝∠ADE（等量代换），

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），

∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．

13．证明：

∵AB∥CD（已知）

∴∠EMB＝∠END（两直线平行，同位角相等）

∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），

∴∠EMG＝

∠EMB，∠ENH＝

∠END（角平分线的定义），

∴∠EMG＝∠ENH（等量代换）

∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：

两直线平行，同位角相等；∠EMG＝

∠EMB，∠ENH＝

∠END；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．

14．解：

（1）∵∠1＝∠2，∠1＝∠FMN，

∴∠2＝∠FMN，

∴CF∥BE，

∴∠C＝∠BED．

又∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠BED，

∴AB∥CD．

（2）∵AB∥CD，

∴∠A＝∠D．

又∵∠A＝30°，

∴∠D＝30°．

15．

（1）证明：

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，

∵∠BCF+∠ADE＝180°．

∴∠BCF+∠B＝180°．

∴CF∥AB；

（2）解：

如图2，过点E作EK∥AB，

∴∠BEK＝∠ABE＝40°，

∵CF∥AB，

∴CF∥EK，

∴∠CEK＝∠ACF＝60°，

∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；

（3）∵BE平分∠ABG，

∴∠EBG＝∠ABE＝40°，

∵∠EBC：

∠ECB＝7：

13，

∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，

∵DE∥BC，

∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，

∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，

∴13x+7x+100＝180，

解得x＝4，

∴∠EBC＝7x°＝28°，

∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，

∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．