学年人教版 七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 培优训练二.docx

学年人教版 七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 培优训练二.docx

《学年人教版 七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 培优训练二.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年人教版 七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 培优训练二.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学年人教版七年级下册第5章《相交线与平行线》培优训练二

2020-2021学年人教版七年级下册第5章

《相交线与平行线》培优训练

（二）

1．完成下面的证明：

如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：

AB∥CD．

证明：

∵BE平分∠ABD（　　）

∴∠ABD＝2∠α（　　）

∵DE平分∠BDC（已知）

∵∠BDC＝　　（　　）

∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（　　）

∵∠α+∠β＝90°（已知）

∴∠ABD+∠BDC＝180°（　　）

∴AB∥CD（　　）

2．已知：

AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．

（1）如图

（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．

①若∠4＝36°，求∠2的度数；

②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；

（2）如图

（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．

3．阅读理解，补全证明过程及推理依据．

已知：

如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证∠A＝∠F

证明：

∵∠1＝∠2（已知）

∠2＝∠DGF（　　）

∴∠1＝∠DGF（等量代换）

∴　　∥　　（　　）

∴∠3+∠　　＝180°（　　）

又∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4+∠C＝180°（等量代换）

∴　　∥　　（　　）

∴∠A＝∠F（　　）

4．如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，求∠AOE的度数．

5．如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．

（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．

6．如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，FB是∠EFD的平分线，AF⊥FB，∠AEF＝68°．试求∠AFC的度数．

7．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：

线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：

有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：

∠APB＝∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？

（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC

（1）如图①，分别作∠BAD与∠BCD的角平分线交BC和AD于点E，F，猜想AE与CF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，点M是AD上一动点，从点D向点A滑动（不与A、D重合），BA与CM的延长线交于点O，若∠O＝α°，分别作∠BAD与∠BCM的角平方线，两条角平分线所在的直线交于点P，请用含α的代数式表示∠APC的大小，并说明理由．

9．【初步感知】

定义：

两条相交直线的夹角的角平分线所在的直线叫做相交线的和谐线．

如图①，直线AB与直线CD相交于点O，l1是∠AOD的角平分线所在的直线，l2是∠AOC的角平分线所在的直线，则l1与l2就是AB、CD的和谐线．

（1）直线AB、CD的两条和谐线的位置关系为　　；

【问题解决】

如图②，已知a∥b，直线c与直线a、b交于点A、B．

（2）直线a、c的和谐线与直线b、c的和谐线有怎样的位置关系，并说明理由．

【延伸推广】

如图③，已知直线c与直线a、b交点A、B，若a、c的夹角为α，直线b、c的夹角为β，α+β≠180°，a、c的和谐线与b、c的和谐线交于点C．

（3）画出图形，直接写出∠ACB的度数．（用含α、β的代数式表示）

10．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合该图，试探究这两个角之间的关系，直接填空．

（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2关系是　　．

（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2关系是　　．

（3）经过上述探究，我们可以发现一个结论是：

　　．（用文字语言描述）

参考答案

1．证明：

BE平分∠ABD（已知），

∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．

∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠BDC＝2∠β（角平分线的定义）

∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）

∵∠α+∠β＝90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：

已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．

2．解：

（1）①∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＝∠4＝36°；

②位置关系是：

EM∥FN．理由：

由①知，∠1＝∠3＝∠2＝∠4，

∴∠MEF＝∠EFN＝180°﹣2∠1，

∴∠MEF＝∠EFN

∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）

（2）关系是：

∠EFD＝2∠GEH．理由：

∵EG平分∠MEF，

∴∠MEG＝∠GEH+∠HEF①

∵EH平分∠AEM，

∴∠MEG+∠GEH＝∠AEF+∠HEF②

由①②可得：

∴∠AEF＝2∠GEH，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠EFD，

∴∠EFD＝2∠GEH．

3．解：

∵∠1＝∠2（已知）

∠2＝∠DGF（对顶角相等）

∴∠1＝∠DGF（等量代换）

∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）

∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4+∠C＝180°

∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）；

故答案为：

对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

4．解：

∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOC＝28°，

∴∠AOD＝152°．

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE＝

∠AOD＝76°．

5．解：

（1）如图，过点P做AC的平行线PO，

∵AC∥PO，

∴∠β＝∠CPO，

又∵AC∥BD，

∴PO∥BD，

∴∠α＝∠DPO

，

∴∠α+∠β＝∠γ．

（2）①P在A点左边时，∠α﹣∠β＝∠γ；

②P在B点右边时，∠β﹣∠α＝∠γ．

（提示：

两小题都过P作AC的平行线）．

6．解：

∵AB∥CD，∠AEF＝68°，

∴∠EFD＝∠AEF＝68°，

∵FB是∠EFD的平分线，∴∠BFD＝

∠EFD＝

×68°＝34°，

∵AF⊥FB，

∴∠AFC＝90°﹣∠BFD＝90°﹣34°＝56°．

7．解：

（1）解法一：

如图1延长BP交直线AC于点E．

∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD．

∵∠APB＝∠PAE+∠PEA，

∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；

解法二：

如图2

过点P作FP∥AC，

∴∠PAC＝∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB＝∠PBD．

∴∠APB＝∠APF+∠FPB

＝∠PAC+∠PBD；

解法三：

如图3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD＝180°，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD＝180°．

又∠APB+∠PBA+∠PAB＝180°，

∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是：

∠PBD＝∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，结论是：

∠PBD＝∠PAC+∠APB．

或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，

∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）．

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC＝∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：

如图4，连接PA，连接PB交AC于M．

∵AC∥BD，

∴∠PMC＝∠PBD．

又∵∠PMC＝∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：

如图5

∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．

∴∠PBD＝∠PAC+∠APB

或∠PAC＝∠PBD+∠APB

或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD．

选择（c）证明：

如图6，连接PA，连接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD．

∵∠PAC＝∠APF+∠PFA，

∴∠PAC＝∠APB+∠PBD．

8．解：

（1）结论：

AE∥CF.

理由：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAD+∠D＝180°，∠BCD＝∠D＝180°，

∴∠BAD＝∠BCD，

∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

∴∠2＝

∠BAD，∠3＝

∠BCD，

∴∠2＝∠3，

∵AD∥BC，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AE∥CF．

（2）如图②中，当点P在AD的下方时，

作MR平分∠AMO，交PA的延长线于R，设∠BAP＝∠DAP＝x，∠AMR＝∠OMR＝y，

则有

，

可得

∠O，

∵AD∥BC，

∵∠AMO＝∠BCO，

∵PC平分∠BCO，RM平分∠AMO，

∴∠PCO＝

∠BCO，∠RMO＝

∠AMO，

∴∠ACO＝∠RMO，

∴MR∥CP，

∴∠CPT＝∠R＝

∠O＝

α°，

∴∠APC＝180°﹣

α°．

当点P在AD的上方时，备用图2中，同法可得∠APC＝∠R＝

α°

综上所述，满足条件的∠APC的值为180°﹣

α°或

α°．

9．解：

（1）∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE＝

∠AOD，

∵OF平分∠BOD，

∴∠DOF＝

∠BOD，

∵∠AOD+∠BOD＝180°，

∴∠DOE+∠DOF＝90°，即l1⊥l2，

故答案为：

互相垂直；

（2）直线a、c的和谐线与直线b、c的和谐线垂直或平行，

理由如下：

∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB＝

∠DAB，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABC＝

∠ABE，

∵a∥b，

∴∠DAB+∠ABE＝180°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴n⊥p，

由

（1）可知，m⊥n，

∴n∥p，

综上所述，直线a、c的和谐线与直线b、c的和谐线垂直或平行；

（3）由题意得，∠DAB＝180°﹣α，

∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB＝

∠DAB＝90°﹣

α，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABC＝

∠ABE＝

β，

∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°+

α﹣

β，

∵m⊥n，p⊥q，

∴直线n与p的夹角＝180°﹣（90°+

α﹣

β）＝90°﹣

α+

β，

直线n与q的夹角＝180°﹣90°﹣（90°﹣

α+

β）＝

α﹣

β，

直线m与p的夹角＝

α﹣

β，

综上所述，∠ACB的度数为90°+

α﹣

β或90°﹣

α+

β或

α﹣

β．

10．解：

∵AB∥EF，

∴∠1＝∠3，

∴BC∥DE，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

故答案为：

∠1＝∠2；

（2）AB∥EF，

∴∠1＝∠4，

∴BC∥DE，

∴∠2+∠4＝180°，

∴∠1+∠2＝180°，

故答案为：

∠1+∠2＝180°；

（3）结论：

如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，

故答案为：

如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．