空间向量及其运算.docx

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空间向量及其运算

空间向量及其运算

1．空间向量的有关概念

名称

概念

表示

零向量

模为0的向量

0

单位向量

长度（模）为1的向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

a＝b

相反向量

方向相反且模相等的向量

a的相反向量为－a

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

a∥b

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

（1）共线向量定理：

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．

（2）共面向量定理：

若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb．

（3）空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）；

②交换律：

a·b＝b·a；

③分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c．

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）.

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb（b≠0）

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0

（a≠0，b≠0）

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

夹角

〈a，b〉（a≠0，b≠0）

cos〈a，b〉＝

高频考点突破

高频考点一　空间向量的线性运算

例1、

（1）已知在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于（　　）

A.a－b＋cB．－a＋b＋c

C.a＋b－cD.a＋b－c

（2）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

①化简－－＝；

②用，，表示，则＝.

【答案】　

（1）B　

（2）①

②＋＋

解析　

（1）显然＝－

＝（＋）－

＝－a＋b＋c.

（2）①－－

＝－（＋）

＝－

＝＋＝.

②＝＝（＋），

∴＝＋＝（＋）＋

＝＋＋.

【感悟提升】用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

【变式探究】三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

【解析】　＝＋＝＋

＝＋（－）

＝＋[（＋）－]

＝－＋＋.

＝＋＝－＋＋

＝＋＋.

高频考点二　共线定理、共面定理的应用

例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

（1）求证：

E、F、G、H四点共面；

（2）求证：

BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：

对空间任一点O，有＝（＋＋＋）．

【感悟提升】

（1）证明点共线的方法

证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明＝λ（λ≠0）．

（2）证明点共面的方法

证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．

【变式探究】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为．

【答案】　平行

【解析】　取＝a，＝b，＝c为基底，

易得＝－（a－b＋c），

而＝a－b＋c，即∥，故EF∥DB1，

且EF⊄平面A1B1CD，DB1⊂平面A1B1CD，

所以EF∥平面A1B1CD.

高频考点三　空间向量数量积的应用

例3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．

（1）求证：

MN⊥AB，MN⊥CD；

（2）求MN的长；

（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

∴||＝a.∴MN的长为a.

【方法技巧】数量积的应用

（1）求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．

（2）求长度（距离），运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．

（3）解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

【变式探究】如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

（1）求AC1的长；

（2）求证：

AC1⊥BD；

（3）求BD1与AC夹角的余弦值．

1.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（II）解法一：

连接,则平面，

又且是圆的直径，所以

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得，，过点作于点，

所以

可得

故.

设是平面的一个法向量.

由

可得

可得平面的一个法向量

因为平面的一个法向量

所以.

所以二面角的余弦值为.

解法二：

所以二面角的余弦值为.

3.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：

EG∥平面ADF；

（）求二面角O-EF-C的正弦值；

（）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

.

4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，

，，.

（1）求证：

平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？

若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】

（1）见解析；

（2）；（3）存在，

.

设平面的法向量为，则

即

令，则.

所以.

又，所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

5.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图,在三棱台中,平面平面

,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（）求证：

EF⊥平面ACFD；

（）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）．

取的中点，则，又平面平面，所以，平面．

以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．

6.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH==，

所以sin∠APH==.

方法二：

作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0），

所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=（x,y,z），

由得设x=2，解得n=（2,-2,1）.

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上.

（1）若P是的中点，证明：

；

（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.

【答案】

（1）详见解析；

（2）.

【解析】

设，而，由此得点，

，∵平面，且平面的一个法向量是，

∴，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.

解法二

（1）如图c，取的中点，连结，，∵，是梯形的两腰，是的中点，∴，于是由知，，∴，，，四点共面，

由题设知，，，∴平面，因此①，

∵，∴，因此

，于是，再由①即知平面，又平面，故；

连结，由平面，∴，又是正方形，所以为矩形，故，设，则④，过点作交于点，则为矩形，∴，，因此，于是，∴，再由③④得，解得，因此，故四面体的体积.

【2015高考上海，理19】（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.

【答案】

【解析】故．

因此直线与平面所成的角的大小为．

1．（2014·广东卷）已知向量a＝（1，0，－1），则下列向量中与a成60°夹角的是（　　）

A．（－1，1，0）B．（1，－1，0）

C．（0，－1，1）D．（－1，0，1）

【答案】B　

【解析】2．（2014·重庆卷]如图13所示，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.

（1）求PO的长；

（2）求二面角APMC的正弦值．

图13

【解析】解：

（1）如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

因为∠BAD＝，

所以OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1，

所以O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（－，0，0），＝（0，1，0），＝（－，－1，0）．

由BM＝，BC＝2知，＝＝，

从而＝＋＝，

即M.

设P（0，0，a），a＞0，则＝（－，0，a），＝.因为MP⊥AP，所以·＝0，即－＋a2＝0，所以a＝或a＝－（舍去），即PO＝.

1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②