空间向量及其运算.docx

1、空间向量及其运算空间向量及其运算1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合ab共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，

2、存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示

3、坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b高频考点突破高频考点一空间向量的线性运算例1、(1)已知在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于()A.abc BabcC.abc D.abc(2)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点化简；用，表示，则.【答案】(1)B(2)解析(1)显然()abc.(2)().()，().【感悟提升】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合

4、图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【变式探究】三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.【解析】()().高频考点二共线定理、共面定理的应用例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()【感悟提升】(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为

5、证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明(0)(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy或对空间任一点O，有xy或xyz(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【变式探究】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为【答案】平行【解析】取a，b，c为基底，易得(abc)，而abc，即，故EFDB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD. 高频

6、考点三空间向量数量积的应用例3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值|a.MN的长为a.【方法技巧】数量积的应用(1)求夹角，设向量a，b所成的角为，则cos，进而可求两异面直线所成的角(2)求长度(距离)，运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题(3)解决垂直问题，利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【变式探究】如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的

7、三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值 1.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】（）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则， 2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见

8、解析；（）【解析】（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得故.设是平面的一个法向量. 由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：所以二面角的余弦值为.3.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（）求二面角O-EF-C的正弦值；（）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）

9、（）【解析】 . 4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在， .设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 5.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.()求证：EF平面ACFD；()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）取的中点，则，又平面平面，所以，平面以

10、点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系 6.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：作AyAD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的

11、空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 . 【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】 设，而，由此得点，平面，且平面

12、的一个法向量是，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.解法二 （1）如图c，取的中点，连结，是梯形的两腰，是的中点，于是由知，四点共面，由题设知，平面，因此，因此，于是，再由即知平面，又平面，故；连结，由平面，又是正方形，所以为矩形，故，设，则 ，过点作交于点，则为矩形，因此，于是，再由得，解得，因此，故四面体的体积.【2015高考上海，理19】（本题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】 【解析】故因此直线与平面所成的角的大小为1（2014广东卷）已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成6

13、0夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0) C(0，1，1) D(1，0，1)【答案】B【解析】 2（2014重庆卷如图13所示，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM，MPAP.(1)求PO的长；(2)求二面角APMC的正弦值图13【解析】解：(1)如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC BDO，且ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz.因为BAD，所以OAABcos，OBABsin1，所以O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，(0，1，0)，(，1，0)由BM，BC2知，从而，即M.设P(0，0，a)，a0，则(，0，a)，.因为MPAP，所以0，即a20，所以a或a(舍去)，即PO. 1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；