分数乘法与分数裂项法.docx
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分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法
【专题解析】
我们知道，分数乘法的运算是这样的：
分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。
分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。
1、运用运算定律：
这里主要指乘法分配律的应用。
对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。
2、充分约分：
除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。
进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。
需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。
【典型例题】一一乘法分配律的妙用
例1•计算：
（1）44X37
（2）2004X旦
452003
分析与解：
观察这两道题的数字特点，第
（1）题中的44
45与1只相差1个分数单位，如果把45写成（1—45）的差与37
4545
相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。
同样，第
（2）题中可以把整数2004写成（2003+1）的和与旦相乘，再运用
2003
乘法分配律计算比较简便
【举一反三】
计算：
（1）43X37
（2）56X37（3）56X
''44''57'/57
56
例2•计算：
（1）72土XU
（2）73丄X1
1724158
分析与解：
（1）72春把改写成（72+寻），再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。
（2）73右把改写成（72+，再运用乘法分配律计
算比常规方法计算要简便得多。
【举一反三】
【典型例题】一一乘法交换律的巧用
例3•计算：
（1）AX+上X2+AXA
（2）丄X39+卫
2782712242744
X25+26X2
413
分析与解：
（1）观察题目的特点，分子中都有5,分母中都有27，根据乘法的交换律，凑出专，就可以应用乘法分配律使计算简便。
（2）观察题目的特点，丄X39可以写
4
成3X13，26X1可以写成3X26，这样每个因数中都含有？
，
4741341347
就可以运用乘法分配律使计算简便。
【举一反三】
计算：
（1）右X4+13X7
（2）丄X5+§X土+仝X空
1769171817
（4）§X17+丄X25
'丿1111
【典型例题】一一有关小数、带分数的分数乘法的巧算
例4•计算：
411X0.75+51.25X电+§X61.2
356
分析与解：
先把题中的小数化成分数，再观察题目的特点，411写成（40+4）后可以与3应用乘法分配律直接就算出
334
了结果，后两个算式同样可以应用这个方法，从而使计算简便。
【举一反三】
计算：
（1）21.25X4+31.2X5+46.125X8
（2）85〕X0.375
'丿569、丿3
+7HX6+56.25X0.8
67
一、分数裂项求和
【专题解析】
细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：
如果分数的分子是自然数1,分母是相邻
两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。
写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的
两个自然数。
（这种方法称为
女口.丄=1—1；丄=1—1；丄=1—1；丄=1—1
*1212，2323，3434，4545?
我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。
【典型例题】
例1.计算：
+-^+-^+…+——1+-—
12233448494950
分析与解：
这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。
但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。
【举一反三】
1111
+++…++—
（2）
111
++一
111212131314
1
+…+一
20082009
1
+一
20092010
233418191920
例2.计算：
1+—+—+-+——
612202450
分析与解：
上面这道题中的每个分数的分子都是1,
但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？
仔细观察这些分数的分母就会发现：
6=2X3,12=3X4,20=4X5,…，2450=49X50。
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形
式。
【举一反三】
例3.计算：
4+4+4+…+4
155991320012005
分析与解：
这道题中每一个分数的分母都可以写成不相邻
的两个自然数乘积的形式，分子是这两个自然数的差。
这样每一个分数也都可以写成两个分数差的形式，写成的两个分
然数。
如:
【举一反三】
计算：
（5）為+弋+為+…+9?
^2
（6）
33
++…+一
8113235
例4.计算：
++—1一+…+1
155991320012005
分析与解：
是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完全一样？
例3中每一个分数的分子都是4（两个自然数的差），而这道题中每一个分数的分子都是1，可以直接将每一个分
数写成两个分数相减的形式吗？
该怎么计算呢？
这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的差呢？
利用分数的基本性质是完全可以的。
所以给原题乘4,为了使原题的值不变，然后再除以4.
【举一反三】计算：
（7）
iiii
+++…+一
27712121797102
（8）
1111
+++•…+
510101515204045
例5.计算：
-^―++1+…+-一
121231234123450
分析与解：
先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分数，找出规律然后计算。
【举一反三】
计算：
（9）
1111
+++…+—
121231234123420
（10）
1111
+++…+—
课后作业
1、计算
75X47
157
X23
21
丄X卫
76
156
1742
213X17
1720
1111+++…+—
10111112
5960
33535735721
1
1
1
1
1
1
1
1
6
12
20
30
42
56
72
90
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