1997数一真题标准答案及解析.docx
《1997数一真题标准答案及解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1997数一真题标准答案及解析.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
1997数一真题标准答案及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、填空题
3sinxx2cos_
（1）limx
x01cosxIn1x
3
［答］
.
2
21
3sinxxcos
lim-
x
【详解】
原式=
x0
2x
3
03.
2
2
（2）设幕级数anxn的收敛半径为3,
n0
3limsinxlim2xcosj
2x0xx02x
n1
则幕级数nanx1的收敛区间为
n1
【答】2,4
【详解】根据幂级数的性质，逐项求导后，得n1咏1的收敛半径仍为3,故
nax
1n1
d2n2
x1nax1
n
n
n1
n1
的收敛区间为
x1
3,即
2,4.
（3）对数螺线e在点处切线的直角坐标方程为.
【答】xye^.
【项解1】
由于xcos,ysin,螺线方程e可化为
xecos,
yesin.
dy.sincos-
由于—||_1,且当—时，x0,ye2.
dx2cossin22
故所求切线方程为
ye21x0,即xy_
2
【详解2】
螺线方程e可化为隐函数方程：
Inx2y2arctan丄,
x
利用隐函数求导法，得在点0,e2处的导数为y°1,故所求切线方程为
y
2e
1x
0,即xy_.
2
1
22
（4）
设A
4
t3
B为三阶非零矩阵，且AB0,则t=
3
11
【答】
-3.
【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB0,，可见线性方程组Ax0存在非零解，故
122
A4t30t3.
311
（5）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是.
2
【答】.
5
【详解】设A｛第一个人取出的为黄球｝,B｛第一个人取出的为白球｝，C｛第二个人取
出的为黄球｝.
2
3
19
20
则PA_,PB
_,P
C|A
_,PC|B
—.
5
5
49
49
由全概率公式知：
P
C
PA
PC|AP
BPC|B
29
32019
2
549
54949
5.
:
■、选择题
xy,x,y
0,0
（1）二元函数-
fx,y
22
xy
，在点0,0处
0,
x,y0,0
（A）连续，偏导数存在
（C）不连续，偏导数存在
（B）连续，偏导数不存在
（D）不连续，偏导数不存在
【答】
【详解】
应选（C）.
由偏导数的定义知
f'0,0
X
lim
AX0
f0ax,0f0,0
0,
AX
而当ykx,有
lim
xkx
..X
lim
y
x,y0,0x2
2
y
X0X2
kx
当k不同时，
k
不同，
故极限
1k2
可见，应选（
C）
（2）设在区间
a,b
上fX
0,f
S2fbb
a
S3-
fa
2
（A）Si
S2
S3.
（C）SsSi?
2.
lim
xy
x,y0,0x2
不存在,
2
y
因而
fx,y在点0,0处不连续,
x0,f''x
【答】应选（B）.
0，令S
b
fxdx,
a
（B）S>
（D）S2
是有fxfb,
S3
S3.
fx
f
a
fb
fa
x
b
a
从而
b
S
fx
dx
fb
a
b
b
S
fxdx
fa
1
a
a
1f
af
b
2
即s>
S3,故应选（
B）•
x
2.丄
⑶设
Fx
x
sinte
sintdt,则F
（A）
为正常数
（C）
恒为零•
【答】
应选（A）•
a,axb.
baS2,
fbfa
xadx
ba
baS.
3
x
（B）为负常数
（D）不为常数
【详解】由于esintsint是以2为周期的，因此
x:
Fx
2sint
esintd
2
t
sire
"11
sntdt
x
0
2
0
sint
edcost
0
22+
coste
0
sint
dt
0.
故应选（A）
a1
bi
C1
（4）设
a,
b,
c,则三条直线
1
22
2
3
2
as
bs
cs
axby
11
c0,ax
12
by
2
c
2
0,axbyc0（其中ab0,i1,2,3交于一
333ii
点的充要条件是
（A）1,2,3线性相关•
（B）
1,2,3线性无关•
（C）秩r1,2,3=秩r1,2
（D）
1,2,3线性相关，
1,2线性无关
【】
【答】
应选（D）.
【详解】
由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组
a1x
b1y
c1
0
ax
by
c
0
2
2
2
ax
by
c
0
3
3
3
有唯一解，其充要条件为秩秩r
1,2,3=秩r1,2=2.
（A）、（C）必要但非充分；（B）
既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D）.
（5）设两个相互独立的随机变量
X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X2的方差是
（A）8.
（B）16.
（C）28.
（D）44.
【答】
应选（D）.
【详解】
D3X2Y
32DX
22DY94
4244.
三、
（1）
计算I
x2
y2dV,其中
为平面曲线
2绕z轴旋转一周形成的曲面
0
与平面
z8所围成的区域
【详解】
利用柱面坐标,
积分区域可表示为
r,z
4
rdr
0
82r2rdz
2
r
8—
2
dr
1024
3
x2
计算曲线积分
从z轴正向往
z轴负向看,
【详解1】
令xcos,y
sin,则
ydx
zdy
dz,其中C是曲线
C的方向是顺时针的.
cos
sin
由于曲线C是顺时针方向，其起点和终点所对应
值分别为2,
0.
°zydx
C
xzdy
ydz
2sin
cos
2cos21d
2cossinsin2
2.
【详解2】
设是平面xyz
2以C为边界的有限部分，其法向量与
Z轴负向一致，Dxy为在
xOy面上的投影区域
xyk,
2k.
°zydxxzdy
C
xydz
rotFdS
2dxdy
2dxdy
Dxy
2.
）在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N,在
（将xt
0时刻已掌握新技术的人数为X0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为xt
视为连续可微变量）
，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例
常数k0,求xt
【详解】由题设,
原方程可化为
积分，得
代入初始条件，得
四、
（1）设直线
dx
kx
dt
xo
dx
kdt.
NCekNt
1CekNt,
kNt
0Nxe
x
0
kNt
x0e
ay
在平面
22
上，而平面与曲面zxy相切于点
1,2,5，求a、b之值.
【详解1】
2
令Fx,y,zx
2
yz
，则F'
2x,F
-'2y,F'1.在点1,2,5处曲面得法向量为
yz
n2,4,1，
于是切平面方程为
2
x1
4
y2z50,
即
2x4y
z
50.
xyb
0
由1:
xayz
30
得xb,zx3
ax
b
代入平面方程，得
2x4x4bx
3ax
ab5
0,
有5a0,4b
ab2
0.
由此解得a
5,b
2
【详解2】
由方法一知，平面
方程为2
4y
z
50.
xy
b0
过直线1:
的平面束为
xay
z3
0
x
yb
xayz30,
即1x1
ay
zb
3
0.
其与平面重合，要求
11
a
b
3
2
4
1
J
5
解得1,a
5,b
2
2
xZ
2
Z2x
2e乙求y
（2）设函数fu具有二阶连续导数，而zfesiny满足方程——2
x
【详解】
在X0处的连续性
udu
xtdtu
'X
于是
xfx°fudu
0
x0
2X
由导数疋义，
有
'0lim
X
fudu
0
fX
A
lim
.
X0
2X
x0
2x
2
而
lim
1
xlim
Xf
X
X
0
fudufX
lim
X0
x0
2X
X0X
A
A
A
1
0
2
2
X
X
X
lim0fudu
x0
可见，
x在x0处的连续性
六、设ai2,ani
n1,2,…，证明:
an
（1）lim
n
an存在;
an
（2）级数
1收敛.
an1
【详解】
（1）因为
an
an
a~
n
an
于是有an
an0,故数列
an
（2）方法一:
由
（1）知
an
an1
an1
由于级数
anan
1
an
an
级数
n1
an
方法二:
令bn
an
an1
1a2
n
2a；
1,
单调递减且有下界，所以
的部分和数列Sn
an1收敛，由比较判别法知,
利用递推公式，有
ak
ak1
an
a.1
liman存在.
n
a1an1的极限lim3存在，可见
n
1也收敛.
bn1lim工nb
n
1an2
lim2
14a
n1
01,
由比值判别法知
七
（1）设B是秩为
是齐次方程组Bx
an
级数一
n1an1
2的54矩阵,
0的解向量，求
1也收敛.
11,12,3T,2
1,14,1T,35,1,8,9T
Bx0的解空间的一个标准正交基
【详解】因秩rB2,故解空间的维数为：
4rB422,
又1,2线性无关，可见1,2是解空间的基
先将其正交化，令:
1
1
11
2
1
1
3
4-
2,1
1
11
2
2
2
1
3
11
J
14
332
10
2
再将其单位化，令：
1
2
111
2
pC1
11尿2，2
2
V395
3
3
即为所求的一个标准正交基
1
212
（2）已知1是矩阵A
5a3的一个特征向量
11b2
）试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值;
）问A能否相似于对角阵？
说明理由•
【详解】
（I）
由题设，有
A
2
1
2
1
1
5
a
3
1
01
J
1
b
2
1
1
2
1
2o
也即
5
a
3o
1
b
2
0
解得
a
3,b
0,1
.
（II）
由
2
1
2
A
5
a
3
，知
E
1
b
2
可见
1为
A的三重根，但秩
0,即
23
rEA2,从而
1对应的线性无关特征向量只有
3rEA1个，故A不可对角化
八、设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵为B.
（1）证明B可逆;
（2）求AB1.
【详解】
（1）记Ei,j是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则
BEi,jA，于是有|B|Ei,j||AA|0.故B可逆
（2）AB1AEijA1AA1E1i,jE1i,jEi,j.
九、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话
2
独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数
5
和数学期望•
2
【详解】X服从二项分布B3,2，其分布律为
5
Ck2k123k,k0,1,2,3.
3
因此，X的分布函数为
0,x0
7
0x
125
81125,1
—
125
X的数学期望为
其中1是未知参数，x1,x2，…,xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别
用矩估计法和极大似然估计法求的估计值.
【详解】
EX
总体X的数学期望为
111
xfxdx1xdx
0
2
令一2x，得参数的矩估计量为
设X,,x2，…,xn是相应于样本X,,X2，…,Xn的一组观测值，则似然函数为
n
1
nX,0X
1i
1,2,3,…,n
L
0
ii
i1
其他.
当0
Xi1i
1,2,3,…,n
时，
L0且
InLnIn
n
1
i1
Inxi
令
dInL
nn
Inx
1i1
0,
d
得
的极大似然估计值为
A
1
n
n
Inx
i1
从而
的极大似然估计值为
A
n
1n
Inx
升级会员 