数一真题标准答案及解析.docx
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数一真题标准答案及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
（1）
【答】
dx
exIn2x
Inx|e
011.
（2）已知函数
由方程&6xyx2
10确定，则y0
【答】
-2.
、填空题
dx
2
xInx
1.
【详解】
【详解】
将方程两边对X求导，
y为x的函数，得
再对
-2.
（3
&y6xy
6y2x0,
（1
X求导,
x的函数，得
eyyeyy
6xy12y2
（2）
0时，由原方程知
0,再以x0,y
0代入
（1）式中得y'0°，再代入
（2）式中得y"0
微分方程yy''y'2
0满足初始条件y|
1
1,y|-的特解是
x02
【答】
y2x1
【详解】令yP，则
dydp
dpdydp
P-,
dxdxdydxdy
原方程可化为
yp竺
dp
ypdy
dp
前者显然不满足初始条件
y|
x
因此必有yp里p
0,积分得
dp
py
由初始条件y|
x0
dy
y-
dx
1,y|
x
1
ydy
积分得
G.
再由初始条件
y|
（4
）已知实二次型
4xx
dy
y__
dx
1得C
21
得C21•故所求特解为
4xx4xx
经正文变换
xPy，可化标准形f
6%2,则a
【答】2.
【详解1】二次型
fX,X2,X3
2
x?
4xx
4x1x3
4X2%
所对应矩阵为A
标准形f
6y12所对应矩阵为
根据题设知
A,B为相似矩阵,
所以
A,B的特征值相同，可见A的三个特征值为6，0,
0.
可见a
6,a20,
故有a
【详解
2】
由A,B为相似矩阵知,
对应特征多项式相同,
于是有
a22
600
2a2
00
22a
00
3a
a24
比较同次幕的系数知
（5设随机变量X服从正态分布N
2
且二次方程y
4yX0无实根
的概率为
【答】
【详解】
二次方程
y2
0无实根的充要条件是
0.故由条件知有
4
14
于是
2
o4.
二、选择题
1考虑二元函数f
x,y的
下面4条性质：
①f
x,y
在点
xo,yo
处连续；
②f
x,y
在点
xo,yo
处的两个偏导数连续;
③f
x,y
在点
xo,yo
处可微；
④f
x,y
在点
xo,yo
处的两个偏导数存在
若用“
P推出Q，则有
”表示可由性质
1xdt
1c
（A）
（C）
【答】
应选（A）
【详解】
若fx,y在点
xo,yo处的两个偏导数连续,
fx,y
在点
而可微又必联系,
因此有②
xo,yo处可微
2设Un0
n1,2,3,l
③①,
n
且lim
nu
故应选（A）.
1,则级数
（A）发散
（C）条件收敛
发散•
（B）绝对收敛
（D）收敛性根据所给条件不能判定
【答】应选（C）
n
【详解】lim—1知
nUn，
lim
n
lim—unn□un
0,
又原级数的前
n项部分和为
Sn
1n1
1
u
2
1
可见有limSn
n
u1
1
un1
?
u1
因此原级数收敛,
排除（
A）,
（D）,
再考虑
因为lim
n
lim
n
1,
un
1limun1n
n1un
un
设函数y
1un
Un
lim
n
un1
1,
1
-，均
1
条件收敛，应选
在0,
（C）
A
当lim
x
fx
0时，必有lim
x
if
x
0
B
（lim
x
B
）
f
'x存在时，必有lim
x
1f
x
0
（C
当lim
x
0
fx
0时，必有lim
x0
1f
x
0
D
（lim
Dx0
）
f
x
0存在时，必有lim|
x0
f'x
0
内有界且可导，则
3
【答】应选（B）
【详解1】
发散，故级数
un
.2
设fxs^,则limfx0，所以fx在0,
xX0
内有界，由于
22.22
2xcosxsinx小2sin2x
2-2cosxx2
x
可见f
在0,
内可导，但limfx柿在Tim
x
0，排除（A）,（D）
又设f
sinx,
则fX在0,
内有界且可导,
limf
x0
lim
x0
limcosx1
x0
进一步
排除（
C）,
故应选（B）.
【详解2】
直接证明
（B）正确，用反正法，由题设
limf'x存在设lim
x
0,不妨设A0，
则对于
A>0,存在X
2
0，当xX时，有
可见
A2
，在区间
A\，
2
x,x上应用拉格朗日中值定理，有
，与题设fx在0,
设有三张不同平面的方程
系数矩阵与增广矩阵的秩都是
内有界矛盾,
aMai2y
limf
x
ai3z
b,i
1,2,3它们所组成的线性方程组的
2，则这三张平面可能的位置关系为
（A）（B）
【答】应选（B）
【详解】由题设，线性方程组
aiixai2yai3zbi
axayazb
2122232
axayazb
3132333
系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为
2,由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程有无穷
多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（A）只有一个交点；（C），（D）无交
点，因此只有（B）复合要求•
5设Xi和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为fix和
f2x，分布函数分别为FiX和F2x，则
（A）fixf2x必为某一随机变量的概率密度
（B）fixf2x必为某一随机变量的概率密度
（C）FixF2x必为某一随机变量的分布函数
（D）FixF2x必为某一随机变量的分布函数
【答】应选（D）
【详解】由于
fixf2xdx2,Fi
exx0又设fixe，0，f2x
0,x0
02e3x,x
则fixf2x
0,x0
F22i,因此可先排除（A），（C）
2e2x,x0
0x0
显然不满足概率密度函数的要求，进一步排除（B），故应选（D）
事实上，可检验FixF2x却是满足分布函数的三个条件
三、设函数fx在x0的某邻域内具有一阶连续导数,
且f00,f'00,若
afhbf2hf0在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.
【详解1】
由题设，知
h
o
f
h
2
o
由
amo
Hh
o
h
2
O
O
f
b
a
a
ib10
又由洛比达法则，有
0
..afh
bf2h
f0
lim
h0
h
因f'
00,故a2b
0,
limafh2ha2bf0
h01
于是可解得a2,b1
【详解2】由题设条件
afhbf2hf0
0lim
h0h
..afhf02bfhf0af0_bf0f0lim—
h0h2hh
若上式右端第3项分子不为零，则上式得极限不存在，与左边为零矛盾，所以
af0
bf0f0
a
b1f0
0
从而a
b
10，
于是原式可化为
0
lim
h0
af
hbf2h
f0
h
lim
h0
a
fhf0
2bfhf0
h
2h
af'
0
2bf'0
a
2b
f'0
有a
2b
0，
解得a
2,b
1
四、已知两曲线yfx,y
arctanx上2
e
0
在点
0,0
处的切线相同，写出此切线方程，并
求极限limnf2
【详解】
由已知条件得f00,且
arctanx2e
1x2|x0
1,
故所求切线方程为
x,则
limnf
n
lim2
2
五、计算二重积分
22
maxx,y
e
D
【详解】
D1
x,y
D2
x,y
2.
dxdy,其中D
x,y
x1,0y
1,0
1,x
max
e
D
x2,y:
dxdy
max
e
D1
x2,y2
dxdy
max
e
x2,y:
dxdy
D2
六、设函数fx在
滑曲线，其起点为a,b
1
2
1yfxydx
2
exdxdy
D1
1x2xedx
0
eydxdy
D1
1y2
yedye
0
1…2
0dx0exdy
x、，2
1yy2
0dy。
eydx
内具有一阶连续导数，L是上半平面y
，终点为c,d，记
x
y2fxy1dy
0内的有向分段光
（1证明曲线积分I与路径L无关;
（2当abcd时，求I的值•
【详解】
（1）因为
Xy2fxy1
2
xy
在上半平面处成立，所以在上半平面内曲线积分
r1'
fxyxyfxy
2
11y2fxy
yy
I与路径L无关;
Ic1
1
b2fbxdx
dc
2
yfcy
1dy
ab
b
y2
c
a
c
bxdx
d
cydy
c
c
bf
cf
b
a
b
d
b
c
a
bc
f
tdt
ad
f
tdt
d
b
ab
bc
c
a
ad
f
tdt
d
b
ab
ad
当abcd时，ftdt
ab
0,由此得
I
ca
db
（2）由于I与路径无关，故可取积分路径L为由点
于是有
a,b到点c,b再到点c,d
的折线段
七、
（1）验证函数y
6!
9!
3n
xL
芥！
x满足微分方程
（2）利用
（1）的结果求幕级数
x3n
的和函数•
no3n!
【详解】
（1）因为
yx
1
3x
6x
9
xL
3nx
L,
-3!
—
—
6!
9!
3n!
2
5
8
3n1
y'x
x
x
x
L
x
L,
2!
5!
8!
3n1
I
（2）
y"
4
xx
4!
x7
7!
x2
x3
对应齐次微分方程
特征根是
1,2
2!
1i3.
2_2_i，
3!
由于
3n
ex;
o的特征方程为
L,
1不是特征根，可设非齐次微分方程的特解为
Aex
将y*代入方程
y'y'yex得
故非齐次微分方程得通解为
1
yxe
3
2.3
Gecosyx
C?
e
xsin仝x
2
又显然yx
代入上式得
满足初始条件y
2
G,C20.
3
01,y'00.
故所求幕级数的各函数为
1ex2e^cos仝x
332
八、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为
2222
Dx,y|xyxy75，小山的高底函数为hx,y75xyxy.
（设Mxo,yo为区域D上一点，问hx,y在该点沿平面上什么方向的方向导数最大
若记此方向导数的最大值为gxo,yo，试写出gxo,yo的表达式.
2现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山度最大的点作为攀登的起
22
点，也就是说，要在D的边界线xyxy75上找出使gx,y达到最大值的点，试确
定攀登起点的位置
【详解】
（1）根据梯度与方向导数的关系知，沿梯度方向导数值最大，且其值为
gxo,yogradhMyo2x0ixo2yoj
22
yo2xoxo2yo
T5x?
5y^8x）y
（2）由题设，问题转化为求gxo,yo=*—亦—8xy下的最大值，为了求偏导方
便起见，令fx,yg2x,y5x25y28xy，构造拉格朗日函数
F
x,y,
fx,y
5x25y28xy
F
10x
8y
y
2x
0
x
F
10x
8y
y
2x
0
y
F
2x
2
yxy
75
0
（1）与
（2）相加得
（1）
⑵
⑶
x
y2
0
从而得yx,或2
若2，由
（1）得y
x，再由（
:
3）得
x
53,y
53
若yx,由（3）得x5,ym5
于是得到4个可能极值点:
Mi5,5;M25,5;M3庞3馬3;M4仁3,753
分别计算，有
fMifM2450;fM3fM4150.
可见点M1或M2可作为攀登的起点
九、已知4阶方阵A
无关，1223，如果
1234，求线性方程组AX的通解.
1,2,3,41,2,3,4均为4维列向量，其中2,3,4绻
【详解1】
XI
令XX2，则由，
Xj
X
4
得X11X22X33X441234，
将1223代入上式，整理后得
2X1X232
X1X33
X4140
由2,3,4线性无关，知
2x1X230
XX0
13
X410
解此方程组，得
01
x3k2,其中k为任意常数
0
10
【详解2】
304，知A的秩为3,因此Ax0的基础解系中只
为齐次线性方程组Ax0的一个解
由2,3,4线性无关和122
包含一个向量•
1
2
由1223040，知
1
0
所以其通解为
xk,k为任意常数.
1
0
再由
1
1
1
1234
1
1,2,3,41
A1
知1
为非齐次线性方
1
1
1
1
1
1
Ax的一个特解
于是Ax的通解为
11
其中k为任意常数
12
k
11
十、设A,B为同阶方阵,
（1）如果A,B相似，试证
A,B的特征多项式相等;
（2）举一个二阶方阵的例子说明
（1）的逆命题不成立;
（3）当A,B均为实对称矩阵时，试证
（1）的逆命题成立.
【详解】
（1）若
A,B相似,
则存在可逆矩阵P,使得P
1AP
P1AP
EAP
A
1
B
1
（2）令A
0
但A,B不相似,
否则，存在可逆矩阵
P,使得B
P1APP1PE,矛盾.
（3）由A,B均为实对称矩阵知，A,B均象素于对角阵，若A,B得特征多项式相等，记特
征多项式得根为1,L,n，则有
即存在可逆矩阵P,Q，使
于是
1i
PQ1APQ
1
1
P1AP
O
Q1BQ
B.
故A,B为相似矩阵.
卜一、设随机变量X的概率密度为
1cosx,°
~22
，对X独立地重复观察
4次,
用Y表示观察值大于
0,
其他
求丫2的数学期望.
【详解】因为
PX_
3
-1x
3-cos-dx
3fxdx
2
sinZ|3
21°
所以Y〜B1,1
42
，从而
2,
41
2
1211,
1
np4
2
np1p
E丫2DYEY21225
X
0
1
2
3
P
2
21
2
12
十二、设总体X的概率分布为
X的如下样本值
利用总体
3,1,3,0,3,1,2,3,求
其中0
2是
的矩估计值和最大似然估计值
【详解】
EXx,
的矩估计值为
对于给定的样本值,
InL
那么
dIn
令一
d
J
12
2,
似然函数为
PX13,X2
In4
dIn
0,解得
713
1,2
1,X3
2
6In
2In
1
1
713,
12
，不合题意，
3,X4
24
0,X5
3,X61,X72,X83
4In
628242
故的最大似然估计值
‘7J3
12
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