数一真题标准答案及解析.docx

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数一真题标准答案及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题

、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线x

y1垂直的切线方程为

（2）已知f（ex）

x

xe

，且

f

（1）=0,则f（x）=

（3）设L为正向圆周

x2

2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy2ydx的值为

（4）

欧拉方程x2

d2y

dx2

4xd^2y0（x0）的通解为•

dx

（5）

21

设矩阵A12

矩阵，则

（6）

矩阵B满足ABA*

2BAE,其中A为A的伴随矩阵，E是单位

设随机变量X服从参数为

的指数分布，则

P{XDX}=

二、选择题（本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内）

4分，满分32分.

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

（7）把x0时的无穷小量

Xcost2dt,

0'

2

x

tan

0

X3

0sintdt,使排在后面的是前

一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）设函数f（x）连续，且f（0）

0,则存在

0，使得

（A）

f（x）在（0,

）内单调增加.

（B）f（x）在（

0）内单调减少•

（C）

对任意的x

（0,）有f（x）>f（0）.

（D）

对任意的x

（,0）有f（x）>f（0）.

（9）设an为正项级数，下列结论中正确的是

n1

（A）

若limnan=0，则级数

n

an收敛•

n1

（B）若存在非零常数，使得limnan

n

，则级数an发散•

（C）

若级数

2

an收敛，则limn

n

0.

（D）若级数an发散，则存在非零常数

n1

，使得limnan

n

（12）设A,B为满足AB=O

B的行向量组线性相关

B的列向量组线性相关

B的行向量组线性相关

B的列向量组线性相关

1），数u满足P{Xu}，若

P{Xx}

，则x等于

（A）U_.

2

（B）U.

1I

（C）u」.

~2-

（D）U1

（13）设随机变量X服从正态分布N（0,1），对给定的（0

Xn（n1）独立同分布，且其方差为

（14）设随机变量X1,X2,

0.令Y丄Xi,则

ni1

tt

（10）设f（x）为连续函数，F（t）1dyyf（x）dx，则F⑵等于

（A）2f

（2）.（B）f

（2）.（C）-

（2）.（D）0.[]

（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,贝U满足

AQ=C的可逆矩阵Q为

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

（A）1

0

0.

（B）1

0

1.

（C）1

0

0.

（D）1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

的任意两个非零矩阵，则必有

（A）A的列向量组线性相关,

（B）A的列向量组线性相关,

（C）A的行向量组线性相关,

（D）A的行向量组线性相关,

（A）

Cov（X1,Y）

2

n

（B）Cov（X

1,Y）2.

（C）

D（X1Y）

n22

（D）D（X1

Y）n1

n

n

（15）

（本题满分

12分）

设e

abe2

证明ln2b

In2a—2（ba）

e

（16）

（本题满分

11分）

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使

飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

（17）（本题满分12分）计算曲面积分

I2x3dydz2y3dzdx3（z21）dxdy,

其中是曲面z1

（z0）的上侧.

（18）（本题满分

11分）

设有方程xn

nx1

0，其中

n为正整数.证明此方程存在惟一正实根

Xn,并证明当1时，级

数xn收敛.

n1

（19）（本题满分

12分）

设z=z（x,y）是由x

26xy

10y2

2yz

z2180确定的函数，求z

z（x,y）的极值点和极值.

（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组

（1

a）X1

X2

Xn

0,

2x1

（2

a）X2

2xn

0,

（n2）

n%

nx2

（n

a）Xn

0,

并求出其通解

9分）

试问a取何值时，该方程组有非零解,（21）（本题满分

3

设矩阵A1

1

A是否可相似对角化.

3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论

5

（22）（本题满分9分）

设A,B为随机事件，且

P（A）

右P（BA）3‘P（AB）-，令

XA发生,

0,A不发生;

Y1,B发生,

0,B不发生.

求：

（I）二维随机变量（X,Y）的概率分布;

（II）X和Y的相关系数

XY-

（23）（本题满分9分）设总体X的分布函数为

F（x,）1

x

0,

x1,

x1,

其中未知参数

1,X!

X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，求:

（I）

的矩估计量；

（II）

的最大似然估计量.

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为yx1.

【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.

1

【详解】由y（Inx）1，得x=1,可见切点为（1,0），于是所求的切线方程为

x

y01（x1），即yx1.

1

【评注】本题也可先设切点为（x0,|nx0），曲线y=lnx过此切点的导数为y—1，得x01，

xx0x0

由此可知所求切线方程为y01（x1），即yx1.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到

xx12

（2）已知f（e）xe，且f

（1）=0,则f（x）=（Inx）.

2

【分析】

先求出f（X）的表达式，再积分即可.

【详解】

令ex

t，则xlnt，于是有

lntr,

lnx

f（t）

，即f（x）

t

x

积分得

f（x）

Inx,12

dx（lnx）

C.利用初始条件f

（1）=0,得C=0，故所求函数为f（x）

x2

丄仲x）2.

2

【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分

223（3）设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy2ydx的值为-

【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分

22

【详解】正向圆周xy2在第一象限中的部分，可表示为

x、2cos,小

y-2sin,：

02

于是

lxdy2ydxo2[一2cos2cos

22sin■-2sin]d

22sin2

【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参

数法化为定积分计算即可

（4）欧拉方程

2d2y

xdx2

4x2y0（x0）的通解为y纟乌

dxxx

可化为

2ax

d2y

dx2

cy

f（x），

2

眷貉哼cy讪.

（5）设矩阵A

210

120，矩阵B满足ABA*2BA*E,其中A*为A的伴随矩阵,

001

E是单位

矩阵，则B

【分析】可先用公式A*A

AE进行化简

【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换xet化为常系数线性齐次微分方程即可

【详解】令x

et，则

dy

dy

dt

e电

1dy

dx

dt

dx

dt

xdt

d2y

1

dy1

d2y

dt

1[d2

x2[dt

ydyFdt]

dx2

x2

dtx

dt2

dx

代入原方程，整理得

d2y

cdy

2y

0，

.2

3-

dt

dt

解此方程，得通解为

y

t

qe

c2e

2t

C1C2

2・

2

xx

【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令xet，则欧拉方程

【详解】已知等式两边同时右乘A，得

ABA*A2BA*AA，而A3，于是有

3AB6BA，即（3A6E）BA，

再两边取行列式，有3A6E||BA3，

1

而3A6E27,故所求行列式为B

AAAA*AE进行化简.

（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X,DX}=1.

e

【分析】已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可

1

【详解】由题设，知DX冷，于是

一1X

P{XDX}=P{X-}ieXdx

4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算二、选择题（本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把x0时的无穷小量

Xcost2dt,

2

x

tan、tdt,

0'

:

X3

0sintdt,使排在后面的是前

一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

（A）

（B）

（C）

（D）

【分析】

先两两进行比较，再排出次序即可

【详解】

lim—

x0

tan一tdtlim卫厂x0cost2dt0

lim

0

tanx2x

2

cosx

0，可排除

（C）,（D）选项,

【评注】

lim

x0

lim

x0

=-lim

4x0

x3

sintdt

_0

X2

tan）tdt

0

3

2

sinx2

，可见

lim

0

2xtanx

是比低阶的无穷小量，故应选（B）.

本题是无穷小量的比较问题，也可先将

,分别与xn进行比较，再确定相互的高低次序

（8）设函数f（x）连续，且f（0）0,则存在

0，使得

（A）f（x）在（0，）内单调增加.

（B）

f（x）在（，0）内单调减少.

（C）对任意的x（0,）有f（x）>f（0）

（D）对任意的x（,0）有f（x）>f（0）

【分析】函数f（x）只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除（A）,（B）选项，再利用

导数的定义及极限的保号性进行分析即可