数一真题标准答案及解析超强版.docx
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数一真题标准答案及解析超强版
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
1）
lim（cosx）
x0
ln（1
x2）
2
2）曲面zx2
2
y与平面2x4yz0平行的切平面的方程是
2
3）设x2ancosnx（
n0
x），则a2=
4）从R2的基1
1
1到基1
1
的过渡矩阵为
2
5）设二维随机变量
（X,Y）的概率密度为
f（x,y）
6x,0
0,
xy
其他，
1,则P{X
6）已知一批零件的长度
X（单位：
cm）服从正态分布
N（,1），从中随机地抽取
均值为40（cm），则的置信度为0.95的置信区间是
（注：
标准正态分布函数值（1.96）0.975,（1.645）0.95.）
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有所选项前的字母填在题后的括号内）
1）设函数f（x）在（
）内连续，其导函数的图形如图所示，则
f（x）有
y
O
x
2）设{an},{bn},{c
}均为非负数列，且
（A）anbn对任意n
成立.
（B）
（C）
（A）
（B）
（C）（D）
一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点三个极小值点和一个极大值点
liman
n
0,limbn
n
1,limcn
n
3）
bn
cn对任意n成立.
极限limancn不存在.n
（D）
极限limbncn不存在.n
已知函数f（x,y）在点（0,0）的某个邻域内连续，且limx0,y
f（x,y）xy
0
222
（xy）
Y1}.
16个零件，得到长度的平
项符合题目要求，把
]
则必有
]
，则
（A）点（0,0）不是f（x,y）的极值点
（B）点（0,0）是f（x,y）的极大值点
（C）点（0,0）是f（x,y）的极小值点
（D）根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f（x,y）的极值点
（4）
设向量组I
：
1,
2,,r可由向量组II
：
1,2,
s线性表示，则
（A）当
rs时，
向量组
II必线性相关.
（B）当
rs时，
向量组II必线性相关
（C）当
rs时，
向量组
I必线性相关.
（D）当
rs时，
向量组I必线性相关
[]
（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mn矩阵，现有4个命题：
1若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩（A）秩（B）；
2若秩（A）秩（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解；
3若Ax=0与Bx=0同解，则秩（A）=秩（B）；
4若秩（A）=秩（B），则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是
（A）
①②.
（B）①③.
（C）
②④.
（D）③④.
[]
（6）
设随机变量X~t（n）（n
1）,Y
1
X2
，则
（A）
Y~2（n）.
（B）
Y~
2（n1）.
（C）
Y~F（n,1）.
（D）
Y~
F（1,n）.
[]
三、
（本题满分10分）
过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.
（1）求D的面积A;
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、（本题满分12分）
12x
（1）n
将函数f（x）arctan展开成x的幂级数，并求级数的和.
五、（本题满分
10分）
已知平面区域D
{（x,y）0
x
0y
}，L为D的正向边界.试证：
（1）
sinyxedy
sinxyedx
xe
L
sinydy
sinxyedx;
（2）
sinyxedyL
sinxyedx
22.
六
、（本题满分
10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层
.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功
设土层
am.根据
12xn02n1
对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下
设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：
m表示长度单位米.）
七、（本题满分12分）设函数y=y（x）在（,）内具有二阶导数，且y0,xx（y）是y=y（x）的反函数
d2x
（1）试将x=x（y）所满足的微分方程2（ydy2
dx
sinx）（）30变换为y=y（x）满足的微分方程；dy
（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）
0,y（0）
3的解.
2
八、（本题满分12分）设函数f（x）连续且恒大于零，
f（x2y2z2）dv
（t）
f（x
D（t）
F（t）
2
y2
）d
，G（t）
f（x2
D（t）
t2
1f（x2）dx
其中（t）{（x,y,z）
22
zt}，
D（t）
（1）讨论F（t）在区间（0,
）内的单调性
（2）证明当t>0时，F（t）
2G（t）.
九、（本题满分
10分）
设矩阵A2
2，
3
1，
1
y2）d
{（x,y）x2
1*
P1A*P，
22
yt}.
求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A
的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数的数学期望；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）设总体X的概率密度为
ab
0.
3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲
其中
0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本
X1,X2,,Xn，记?
min（X1,X2,,Xn）.
（1）
求总体X的分布函数F（x）;
（2）
求统计量?
的分布函数F?
（x）；
1:
ax
2by
3c
0，
2:
bx
2cy
3a
0，
3:
cx
2ay
3b
0.
（3）如果用?
作为的估计量，讨论它是否具有无偏性
2003年考研数学一真题评注
、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
1）lim（cosx）
1
ln（1x2）
分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式
lim
g（x）
f（x）（1
）=elim（f（x）1）g（x）进行计算求极限均可
11
2lim2lncosx
2）x0ln（1x2）
=e
而limlncosx
x0ln（1
x2）
lncosxlim2x0x2
lxim0co2sxx
故原式=e
1.
e.
详解2】
因为
lim（cosx
x0
1）ln（1
1
x2）
12xlim22x0x2
1
所以原式=e2
1.
e.
2）曲面z
2y2与平面2x4y
z0平行的切平面的方程是
2x4yz5.
分析】待求平面的法矢量为n{2,4,
1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根
据曲面zx2y2切平面的法矢量与n{2,4,
1}平行确定.
详解】令F（x,y,z）zx2y2，则
Fx2x，Fy2y，Fz1.
设切点坐标为（x0,y0,z0），则切平面的法矢量为
{2x0,
2y0,1}，其与已知平面2x4yz0平行，因
此有
2x02y0
4
1，
1
可解得
x01,y0
2，
相应地有
z0
2
x0
y025.
详解1】lim（cosx）ln（1x）x0
sinx
故所求的切平面方程为
2（x1）4（y
2）
（z5）
0，即
2x
4yz
5.
3）设x2
ancosnx（
x），则a2=1
n0
分析】
将f（x）x2（
）展开为余弦级数
ancosnx（x
n0
），其系数计算公式
为an
2
0
详解】
f（x）cosnxdx.
根据余弦级数的定义，
=1[x2sin2x
sin2x2xdx]
10xdcos2x
1[xcos2x
00
cos2xdx]
=1.
本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算
2
1
1
1
4）从R2的基1
2
到基1
02
11
1
评注】
分析】n维向量空间中，从基1,2,,n到基
[1,2,
n]=[
1,
2,
n]P，
因此
过渡矩阵
P为：
【详解
】
根据定义，
从
2
R2的基
1
1,
0,
2
1
1
1
1
1
1
1
1
P=[
1
2]
1[
1,
2]
20
1
1
2
1
1
1
1
2
3.
0
1
1
2
1
2.
1
2
3
22的过渡矩阵为
1
2.
1,2,
n
的过渡矩阵
P满足
P=[1,
2,
n]1[1
2,
n]
1
1
到基1
1
2
的过渡矩阵为
22
（5）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
1
则P{XY1}.
4
【分析】已知二维随机变量（X,Y）的概率密度f（x,y），
求满足一定条件的概率P{g（X,Y）z0}，一般可转
化为二重积分P{g（X,Y）z0}=f（x,y）dxdy进行计算
g（x,y）z0
【详解】由题设，有
1221
=2（6x12x2）dx.
=04
【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式xy1的公共部分D，再在其上积分即可.
（6）已知一批零件的长度X（单位：
cm）服从正态分布N（,1），从中随机地抽取16个零件，得到长度的平
均值为40（cm），则的置信度为0.95的置信区间是（39.51,40.49）
（注：
标准正态分布函数值（1.96）0.975,（1.645）0.95.）
X
分析】已知方差
1，对正态总体的数学期望进行估计，可根据
~N（0,1），由
1
1n
由题设，
}1
确定临界值u，进而确定相应的置信区间
2
0.95，可见0.05.于是查标准正态分布表知u1.96.本题n=16,
2
x40,因此，根据
P{
X
1n
n
1.96}0.95，有
P{
40
1
16
1.96}0.95，即P{39.51,40.49}0.95，故的置信度为0.95的置信区间是
（39.51,40.49）.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1）设函数f（x）在（,）内连续，其导函数的图形如图所示，则f（x）有
（D）一个极小值点和两个极大值点
（E）两个极小值点和一个极大值点
（F）两个极小值点和两个极大值点
（D）三个极小值点和一个极大值点.
y
Ox
4个，是极大值点
分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共
还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定
【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f（x）共有两个极小值点和两个极大值点，应选（C）.
【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f（x）的图象去推导f（x）的图象，本题是其逆问题.
2）
设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limann
0,limbn1,limcn
nn
则必有
（A）
anbn对任意n成立.
（B）
bn
cn对任意n成立.
（C）
极限limancn不存在.n
（D）
极限limbncn不存在.n
分析】
本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除
（A）,（B）；而极限
limancn是0n
型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限
limbncn属1型，必为无穷大n
量，即不存在.
详解】用举反例法，取an2，bn1，cnn
1n（n1,2,），则可立即排除（A）,（B）,（C），因此正确
选项为（D）.
【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，
通过排除法找到正确选项
3）
已知函数f（x,y）在点（0,0）的某个邻域内连续，且
lim
x0,y
f（x,y）xy
0（x2
221，y2）2
（A）
（B）
（C）
（D）
点（0,0）不是f（x,y）的极值点.点（0,0）是f（x,y）的极大值点.点（0,0）是f（x,y）的极小值点.根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f（x,y）的极值点.
【分析】由题设，容易推知f（0,0）=0，因此点（0,0）是否为f（x,y）的极值，关键看在点f（x,y）是恒大于零、恒小于零还是变号.
]
（0,0）的充分小的邻域内
详解】
limf（x2,y）2x2y1知，分子的极限必为零，从而有f（0,0）=0,
0,y0（x2y2）2
f（x,y）xy
（x2
y2）2（x,y充分小时）
，于是
可见当y=x且
x充分小时，f（x,y）f（0,0）x24x4
0；而当y=-x且x充分小时，
24f（x,y）f（0,0）x4x0.故点（0,0）不是f（x,y）的极值点，应选（A）.
【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度.将极
限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.
（4）设向量组I：
1,2,,r可由向量组II：
1,2,,s线性表示，则
（A）当rs时，向量组II必线性相关.（B）当rs时，向量组II必线性相关.
（C）当rs时，向量组I必线性相关.（D）当rs时，向量组I必线性相关.
I：
1,2,,r可由向量组II：
s线性表示，则当rs时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：
若向量组I：
1,2,,r可由
分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：
若向量组
向量组II：
1
2,,
s线性表示，且向量组
I线性无关，则必有rs.
可见正确选项为（D）.本题也可通过举
反例用排除法找到答案
【详解】
用排除法
：
如
0,
10,1
10
2，则10
0211
102，但1,2线性无关，排
除（A）；1
0,
1
1
2
0
1，则
1,2可由1线性表示，但
1线性无关，排除（B）；
02
10
1,
1,
0
10,1
0,
2
，1可由
2线性表示，但1线性无关，排除（C）.故正确选项为（D）.
11
【评注】
本题将一
已知定理改造成选择题，
如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可
12
通过构造适当的反例找到正确选项.
（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mn矩阵，现有4个命题：
1若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩（A）秩（B）；
2若秩（A）秩（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解；
3若Ax=0与Bx=0同解，则秩（A）=秩（B）；
4若秩（A）=秩（B），则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是
（A）①②.（B）①③.
（C）②④.（D）③④.[B]
【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与
④，迅速排除不正确的选项.
【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩（A）=n-秩（B）,即秩（A）=秩（B），命题③成立，可排除（A）,（C）；但反
1000
过来，若秩（A）=秩（B），则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A，B，则秩（A）=秩（B）=1，
0001
但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除（D）,故正确选项为（B）.
【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件
（A）r（A）=r（B）.
（C）A,B的行向量组等价.有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案
（B）
（D）
A,B为相似矩阵.
A,B的列向量组等价.
[C]
（6）
设随机变量X~t（n）（n
1）,Y
1
X2
，则
（A）
Y~2（n）.
（B）
Y~
2（n
1）.
（C）
Y~F（n,1）.
（D）
Y~
F（1,n）.
[C]
分析】先由t分布的定义知XU，其中U~N（0,1）,V~2（n），再将其代入Y12，然后利
tXVn，其中U~N（0,1）,V~（n），再将其代入YX2，然后利
用F分布的定义即可.
详解】
由题设知，XU，
2
其中U~N（0,1）,V~2（n），于是
1
Y2=22
X2U2U2
n，这里U2
2
2
（1），根据F分布的定义知Y
12~F（n,1）.故应选（C）.
X2
评注】本题综合考查了
t分布、
2
2分布和
F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义
三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx
（3）求D的面积A;
（4）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
的切线，该切线与曲线
y=lnx及x轴围成平面图形D.
V.
【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.
A;旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去
详解】
（1）设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点（x0,lnx0）处的切线方程是
由该切线过原点知lnx010，从而x0e.所以该切线的方程为
平面图形D
2）切线
的面积
1
x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为e
V1
12
e.
3
曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为
（eey）2dy，
V2
0
.也可考虑用微元法分析
的和.
1
分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，
转化为可利用已知幂级数展开的情形
.本题可先求导，再利用函数
即通过适当的恒等变形、求导或积分等，
1
的幂级数展开
1x
11x1x
x2
即可，
然后取x为某特殊值，
得所求级数的和
详解】
因为f
（x）
2
14x2
2
（1）n4nx2n,x
n0
（12,12）
22
又f（0）=4,所以
因为级数
（1）n4nxxn02n1
2n1
x
（12,12）.
22
（1）n收敛，
1
02n
函数f（x）在x
1
处连续，所以
2
令x12
f（12）
[
（1）4n
0[2n
22n1]
（1）nn02n1
1
再由f（）0，
10分）
2
五、（本题满分
已知平面区域D
{（x,y）0
0
｝，L为D的正向边界.试证：
siny
（1）xedy
ye
sinx
dx
Lxe
sinx
sinysinx
dyyedx;
siny
（2）xedy
ye
sinx
dx
22
【分析】到用格林公式；
【详解】
（1）的结果.
本题边界曲线为折
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