四边形导学案.docx

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四边形导学案

八年级第十八章四边形导学案

18.1.1平行四边形的性质.

（一）第1课时

一.温故知新：

1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________。

2.如图□ABCD中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。

（图1）

（图1）（图2）（图3）

二.学教互动：

1、自学课本P83～P84，填空：

平行四边形的性质（图2）

（1）边：

_________________________________________________________

（2）角：

_________________________________________________________

例：

（图3），□ABCD中，如果AB∥CD，那么AB=______，BC=______，∠A=______，∠B=______.

2、看例1，3、如图所示，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中AB边长为8m，则BC=m,DC=m,DA=m.

（完成课本P84的练习,1、2）

1、□ABCD中，AB=5，BC=3，周长=。

2、一个四边行的一个外角是38°，则这个平行四边形的内角分别是，，，。

3、若平行四边形的周长是54cm，两领边之差为22cm,则这两边的长度分别是，。

三.拓展延伸：

1.□ABCD中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________.

2.□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是__________.

3、在□ABCD中∠A:

∠B=4:

5，那么∠B=__________，∠C=_________

4、在□ABCD中，已知∠A+∠C=260°，则∠A=____，∠B=___，∠C=____，∠D=____。

5、在□ABCD中，已知∠B=50°，则∠A=____，∠C=____，∠D=______。

6.如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：

AF=CE．

5.如图，在□ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，BN=DM，请判断AM与CN有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？

四．巩固检测（课外作业）

1、在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）

A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1

2、□ABCD的周长为36cm，AB=

BC，则较长边的长为（）

A.15cmB.7.5cmC.21cmD.10.5cm

3、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，求□ABCD的周长和面积。

若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.

4、如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：

AB=CE

5、□ABCD中，E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，求CF的长.

五、小结归纳作业：

1.预习课本P85-86

18.1.1平行四边形的性质.

（二）第2课时

一.温故知新：

1.平行四边形的定义是：

_______________________________________________.

2.所学平行四边形的性质有：

平行四边形的对边______________，平行四边形的对角______________.

3.如图，在□ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，则∠BMC=___________.

二.学习新知：

1、自学课本P85～86内容，

2、【探究】：

请学生在纸上画两个全等的

ABCD和

EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将

ABCD绕点O旋转

，观察它还和

EFGH重合吗？

你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？

进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：

（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

（2）平行四边形的又一个性质是：

______________________________，当图形中没有平行四边形的对角线时，往往需作出对角线.

由此得到平行四边形的性质有：

（1）边：

_____________

（2）角：

_____________（3）对角线：

_____________

3、例2，（教材P85的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及

ABCD的面积．

分析：

由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：

平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得

ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算

例（补充）　已知：

如图4－21，

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

证明：

三.拓展练习：

1．判断对错

（1）在

ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）

（4）平行四边形是轴对称图形．（）

2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是________．

3．在平行四边形中，周长等于48，

1已知一边长12，求各边的长

2已知AB=2BC，求各边的长

3已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

4．如图，

ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_______cm．

5．

ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成

，

的两条线段，则

ABCD的周长是_____

．

6.在□ABCD中，AC、BD交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是_____________.

7.□ABCD的对角线交于点O，S△AOB=2cm2，则S□ABCD=__________.

3.□ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm.

8.□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________.

9.□ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：

AE=CF.

四.小结归纳：

五．巩固检测1、背诵：

平行四边形对角线互相平分

18.1.2平行四边形的判定

（一）第4-5课时

一.温故知新

1、什么样的四边形是平行四边形？

四边形与平行四边形的关系是：

图1

图2图3

2.如图2、在□ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE=.

3.如图3，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，试求□ABCD的面积。

二.学习新知

1.自学课本P86-P87，

（一）探究活动：

如图4，将两长两短的四根细木条用小钉铰合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个

。

得出结论：

两组对边分别的四边形是平行四边形。

平行四边形的判定定理1：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

已知：

四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC.

求证：

四边形ABCD是平行四边形

（二）探究活动：

如图5奖两根木条AC,BD的中点重叠，用小钉铰合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是。

得出结论：

对角线的四边形是平行四边形。

平行四边形的判定定理2：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

已知：

四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD.

求证：

四边形ABCD是平行四边形

证明：

2.例子3.已知：

如图

ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．

求证：

四边形BFDE是平行四边形．

证明：

问：

你还有其它的证明方法吗？

比较一下，哪种证明方法简单．

三、练习：

教材P87页：

1、解：

2.求证：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（自己画图）

已知：

如图，四边形ABCD中，=，=。

求证：

证明：

平行四边形的判定定理3：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3．已知：

如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．

求证：

（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；

（2）△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点

三.拓展延伸：

1.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有个。

2.一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，这个四边形是。

3．如左图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=____cm，CD=___cm时，

四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，

四边形ABCD为平行四边形．

4．已知：

如图，

ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．

求证：

EO=OF．

5．灵活运用如图：

由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：

①第4个图形中平行四边形的个数为_____．②第8个图形中平行四边形的个数为_____．

6.小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？

并说说你的理由．

7.如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H，求证：

四边形GEHF是平行四边

18.1.2平行四边形的判定

（二）第6课时

一.温故知新

平行四边形定义：

。

平行四边形判定1：

。

平行四边形判定2：

。

选择题：

如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12，那么它的边长不能取（）

A.10，B.8，C.7，D.6

二.学习新知（自学课本P88探究、平行四边形的判定定理）

1.【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？

如果是平行四边形，请你写出证明过程.

已知：

求证：

证明：

结论：

平行四边形的判定定理4：

一组对边的四边形是平行四边形。

2.现在你有几种方法判断一个四边形是平行四边形？

三.拓展延伸

练一练：

（每个题都思考看有几种方法证明）

1.已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，

求证：

BE=DF

证明：

2.已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．

求证：

四边形BEDF是平行四边形．

证明：

3、已知：

如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF。

求证：

四边形BFDE是平行四边形。

4、如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠BCD=150°，求AD的长。

5、如图，在□ABCD中，EF∥AB交BC于E，交AD于F，连结AE、BF交于点M，连结CF、DE交于点N，求证：

（1）MN∥AD；

（2）MN=

AD。

四.小结归纳：

平行四边形的判断方法有:

1、定义：

2、判定1：

3、判定2：

4、判定3：

5、判定4：

作业：

1、记忆平行四边形判定及性质

18.1.2平行四边形的判定（三）第7课时（三角形的中位线）

一.温故知新：

（忆一忆）

1、定义：

2、判定1：

3、判定2：

4、判定3：

5、判定4：

二.学习新知（引一引）

1.你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？

说明你分割的理由。

图1图2

2.如图，DE∥BC，EF∥AB，DF∥AC，图中有几个平行四边形？

你是如何判断的？

（试一试：

）

例4.如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，

求证：

DE∥BC且DE=

BC．

（分析：

所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．）

三角形中位线定义：

．想一想：

（1）①一个三角形的中位线共有几条？

②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

三角形中位线的定理：

三、巩固新知：

1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是m，理由是．

2．已知：

三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，求连结各边中点所成三角形的周长．

3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；

（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？

证明你的猜想．

四、拓展练习：

1.已知：

如图

（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：

四边形EFGH是平行四边形

此题可得结论：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

2、如图2，a，b是两条平行线，从直线a上的任意一点A向直线b作垂线l，垂足为B，我们得到线段AB，按同样的作法，我们作出线段CD，你能发现AB与CD的关系吗？

发现后给出证明。

图1图2

（过P作直线c的垂线段）

结论：

像上面图2，AB，CD这样的线段的长度叫做两条平行线间的距离

18.2.1矩形.

（一）第8-9课时矩形的性质

一、温故知新：

回顾平行四边形有哪些性质？

然后填空。

1、平行四边形的__________相等。

表示方法：

若四边形ABCD是平行四边形，则___________;

2、平行四边形的__________相等。

表示方法：

若四边形ABCD是平行四边形，则___________;

3、平行四边形的对角线________.表示方法：

在□ABCD中，AC与BD相交于O，则______________

4、平行四边形的对称性：

平行四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________.

二、学习新知：

自学P94-95页。

1、拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？

2、【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

随着∠α的变化，哪些量发生了变化？

哪些量没有变化？

两条对角线的长度分别是怎样变化的？

当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？

它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

（

1．矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。

由此可见，矩形是特殊的，它具有平行四边形的所有性质。

2．结合上面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？

3、矩形的四个角都是直角

4、矩形对角线相等

5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

18.2.1矩形第10课时矩形的判定

一、温故知新：

1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

3.想一想：

矩形有哪些性质？

在这些性质中那些是平行四边形所没有的？

列表进行比较.

平行四边形

矩形

边

角

对角线

二、学习新知：

自学教材95—96页

1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?

请说出最基本的方法：

矩形具有平行四边形不具有的性质是：

思考：

小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？

看看谁的方法可行？

（得到矩形的一个判定）

2.做一做：

按照画“边―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?

说明理由.（探索得到矩形的另一个判定）

总结：

矩形的判定方法．矩形判定方法1：

______________________________

矩形判定方法2：

_______________________________

（指出：

判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）

3.议一议：

下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）

4、例题学习。

（P96:

2）例1.：

已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，且AB=4cm，求这个平行四边形的面积．

（例1）

例2已知：

如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：

四边形EFGH是矩形．

课内练习：

1、（选择）下列说法正确的是（）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形

2.满足下列条件（）的四边形是矩形。

A．有三个角相等B.有一个角是直角C.对角线相等且互相垂直D.对角线相等且互相平分

3．已知：

如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

4.已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，

求证：

四边形ABCD是矩形。

练习：

102页习题2题、3题。

三、拓展延伸：

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．

A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角

2、能判断四边形是矩形的条件是（）

A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等

C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。

3、EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,证明:

四边形ABCD是矩行

4、如图，M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，

求证，四边形PMQN是矩形。

四、作业:

1、指导丛书p44:

8题

2、记忆矩形的判定及性质

五、教学反思：

18.2.2菱形

（一）第11-12课时菱形的性质

一、学习新知：

1、有一组邻边的平行四边形叫做菱形。

菱形是的平行四边形。

2、探究菱形的性质，并用模式表述菱形的特殊性质：

3、解析教材97页探究

二、知识梳理

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.与一般平行四边形相比，菱形具有哪些性质？

定理：

菱形的四条边都；

定理：

菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角。

一、定理证明：

（学生完成）

1、定理：

菱形的四条边都相等

已知：

如图，四边形ABCD是菱形

求证：

AB=BC=CD=AD

证明：

2、定理：

菱形的对角线互相平分，并且每一条对角线平分一组对角

已知：

求证:

证明：

P98：

教师画出图形讲解例2

四、典型例题

（补充）例3.如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

五、合作交流

1.证明：

菱形的面积是它两条对角线长的乘积的一半.

2.已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：

OE=OF=OG=OH

六、小结

菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为_______三角形（_____三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。

七、课堂练习

1.己知：

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为.

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边长是________cm．面积是：

cm2

3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．（第1题）

4．四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为____，∠DAB的度数为____