与名师对话文专题研究 坐标系与参数方程.docx
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与名师对话文专题研究坐标系与参数方程
高考概览:
1.理解坐标系的作用,了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化;4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程;5.了解参数方程,了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
[知识梳理]
1.极坐标与直角坐标
(1)极坐标系:
在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系.
(2)点的极坐标:
对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设|OM|=ρ(ρ≥0),以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角为θ,则点M可用有序数对(ρ,θ)表示.
(3)极坐标与直角坐标的互化公式:
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,射线Ox的正方向为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则相互转化公式为
2.常用简单曲线的极坐标方程
曲线形状(特征)
极坐标方程
过极点且与极轴成α角的直线
θ=α(ρ∈R)
过(a,0)且垂直于极轴的直线
ρcosθ=a
过且平行于极轴的直线
ρsinθ=b
过(ρ1,θ1)且与极轴成α角的直线
ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)
圆心在极点,半径为|r|的圆
ρ=r
圆心在(r,0),半径为|r|的圆
ρ=2rcosθ
圆心在,半径为|r|的圆
ρ=2rsinθ
3.参数方程的概念
在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*),如果对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参数.
4.直线、圆、椭圆的参数方程
曲线
参数方程
过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l
(t为参数)
圆心在点M(x0,y0),半径为R的圆
(θ为参数)
圆心在原点,半径为R的圆
(θ为参数)
椭圆+=1(a>b>0)
(φ为参数)
[辨识巧记]
1.明辨两个坐标
伸缩变换关系式点(x,y)在原曲线上,点(x′,y′)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点(x′,y′)的坐标满足变换后的曲线方程.
2.参数方程化普通方程
(1)常用技巧:
代入消元、加减消元、平方后加减消元等.
(2)常用公式:
cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ=.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( )
(2)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )
(3)过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示:
直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段的数量.( )
(4)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)√ (4)√
2.若直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的倾斜角的余弦值为( )
A.B.-C.D.-
[解析] 由(t为参数)得直线方程为4x+3y-10=0,且斜率为k=-,令直线l的倾斜角为α,则tanα=-,所以cosα=-.故选D.
[答案] D
3.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为________.
[解析] 由得
代入y=sinx,得y′=sin2x′,
故变换后的方程为y′=3sin2x′.
[答案] y′=3sin2x′
4.(2018·北京卷)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=________.
[解析] 利用x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得直线的方程为x+y-a=0,圆的方程为(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径r=1,由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即=1,∴a=1+或1-,又a>0,∴a=1+.
[答案] 1+
5.(2018·天津卷)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为________.
[解析] 直线的普通方程为x+y-2=0,圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C(1,0),半径为1,点C到直线x+y-2=0的距离d==,所以|AB|=2=,所以S△ABC=××=.
[答案]
考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例1】 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
[解]
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cosα·
=4
=2|cosαsinα-cos2α|
=2
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
极坐标方程与直角坐标方程互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.
(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ,将y换成ρsinθ,即可得到其极坐标方程.
[对点训练]
在极坐标系下,已知圆O:
ρ=cosθ+sinθ和直线l:
ρsin=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
[解]
(1)圆O:
ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
圆O的直角坐标方程为:
x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0,
直线l:
ρsin=,
即ρsinθ-ρcosθ=1,
则直线l的直角坐标方程为:
y-x=1,即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
考点二 参数方程与普通方程的互化
【例2】 (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
[解]
(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,
当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
参数方程与普通方程互化技巧
(1)将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程,消去参数时常用的方法是代入法,有时也可根据参数的特征,通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数,消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响.
(2)普通方程转化为参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.
[对点训练]
(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求A.
[解]
(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.
当a≥-4时,d的最大值为.由题设知=,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
考点三 直线参数方程的应用
【例3】 (2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
[解]
(1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1.
当α=时,l与⊙O交于两点.
当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
综上,α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数,<α<).
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.
于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.
又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
(α为参数,<α<).
直线的参数方程在交点问题中的应用
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为l上任意一点,则直线l的参数方程(t为参数).
(1)若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则||||=|t1t2|,||=|t2-t1|=.
(2)若线段M1M2的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数方程为t1,t2,t3,则t3=.
(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.
[对点训练]
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为ρ=2sinθ.
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)若点P坐标为(3,),圆C与直线l交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
[解]
(1)由两式相加得直线l的普通方程为x+y-3-=0.
又由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-)2=5.
(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得2+2=5,即t2-3t+4=0.由于Δ=(3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实数根,所以t1+t2=3,t1·t2=4.又直线l过点P(3,),A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
考点四 极坐标、参数方程的综合应用
【例4】 (2019·太原市一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R),以坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.
[解]
(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0.
曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,两边同乘以ρ得ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得y2=4x,所以曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.
(2)将曲线C1的参数方程化为(m为参数,a∈R)代入曲线C2的方程y2=4x,得m2-m+1-4a=0,由Δ=(-)2-4×(1-4a)>0,得a>0.
设A,B对应的参数分别为m1,m2,则m1+m2=2,m1m2=2(1-4a),由题意得|m1|=2|m2|,即m1=2m2或m1=-2m2.
当m1=2m2时,解得a=.
当m1=-2m2时,解得a=.
综上可得a=或a=.
极坐标与参数方程综合应用要点
(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦时,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.转化时要注意两坐标系的关系,注意ρ,θ的取值范围,取值范围不同对应的曲线不同.
(2)解答参数方程的有关问题时,首先要弄清参数是谁,代表的几何意义是什么;其次要认真观察方程的表现形式,以便于寻找最佳化简途径.
[对点训练]
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
[解]
(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.
(2)解法一:
由直线l的参数方程(t为参数)
可知直线l的普通方程为y=kx,其中k为直线l的斜率,则点C(-6,0)与直线l的距离d=.
因为|AB|=,所以2+=25,
解得k=±,
故直线l的斜率为或-.
解法二:
在
(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=得cos2α=,tanα=±.
所以l的斜率为或-.
课后跟踪训练(六十八)
1.(2018·江苏卷)在极坐标系中,直线l的方程为
ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.
[解] 因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,
所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为
ρsin=2,
则直线l过A(4,0),倾斜角为,
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B,则∠OAB=.
连接OB.因为OA为直径,
从而∠OBA=,
所以AB=4cos=2.
因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.
2.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
[解]
(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由
(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
3.(2019·湖南五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C:
(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(1)若α=,求线段AB的中点的直角坐标;
(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|·|PB|的值.
[解]
(1)由曲线C:
(θ为参数),可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.
当α=时,直线l的参数方程为(t为参数),
代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=6,所以线段AB的中点对应的t==3,
故线段AB的中点的直角坐标为.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得
(cos2α-sin2α)t2+6tcosα+8=0,
则|PA|·|PB|=|t1t2|==,
由已知得tanα=2,故|PA|·|PB|=.
4.(2019·石家庄市高三一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(r>0,φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=1,直线l与曲线C相切.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)在曲线C上取两点M,N,与原点O构成△MON,且满足∠MON=,求△MON面积的最大值.
[解]
(1)由题意可知,直线l的直角坐标方程为y=x+2.
由曲线C的参数方程知,曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆.
由直线l与曲线C相切,可得r==2,所以曲线C的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4.
又x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0,
即ρ=4sin.
(2)不妨设M(ρ1,θ)(ρ1>0),N(ρ2>0),
所以S△MON=||·||sin=ρ1·ρ2=×4sin×4sin=2sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ+=2sin+≤2+,
所以△MON面积的最大值为2+.