与名师对话文专题研究 坐标系与参数方程.docx

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与名师对话文专题研究坐标系与参数方程

高考概览：

1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；4.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程；5.了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

[知识梳理]

1．极坐标与直角坐标

（1）极坐标系：

在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），就建立了极坐标系．

（2）点的极坐标：

对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|＝ρ（ρ≥0），以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对（ρ，θ）表示．

（3）极坐标与直角坐标的互化公式：

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则相互转化公式为

2．常用简单曲线的极坐标方程

曲线形状（特征）

极坐标方程

过极点且与极轴成α角的直线

θ＝α（ρ∈R）

过（a,0）且垂直于极轴的直线

ρcosθ＝a

过且平行于极轴的直线

ρsinθ＝b

过（ρ1，θ1）且与极轴成α角的直线

ρsin（α－θ）＝ρ1sin（α－θ1）

圆心在极点，半径为|r|的圆

ρ＝r

圆心在（r,0），半径为|r|的圆

ρ＝2rcosθ

圆心在，半径为|r|的圆

ρ＝2rsinθ

3.参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数（*），如果对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组（*）就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．

4．直线、圆、椭圆的参数方程

曲线

参数方程

过点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l

（t为参数）

圆心在点M（x0，y0），半径为R的圆

（θ为参数）

圆心在原点，半径为R的圆

（θ为参数）

椭圆＋＝1（a>b>0）

（φ为参数）

[辨识巧记]

1．明辨两个坐标

伸缩变换关系式点（x，y）在原曲线上，点（x′，y′）在变换后的曲线上，因此点（x，y）的坐标满足原来的曲线方程，点（x′，y′）的坐标满足变换后的曲线方程．

2．参数方程化普通方程

（1）常用技巧：

代入消元、加减消元、平方后加减消元等．

（2）常用公式：

cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．（　　）

（2）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线．（　　）

（3）过M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．参数t的几何意义表示：

直线l上以定点M0为起点，任一点M（x，y）为终点的有向线段的数量．（　　）

（4）方程（θ为参数）表示以点（0,1）为圆心，以2为半径的圆．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）√

2．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（　　）

A．B．－C．D．－

[解析]　由（t为参数）得直线方程为4x＋3y－10＝0，且斜率为k＝－，令直线l的倾斜角为α，则tanα＝－，所以cosα＝－.故选D．

[答案]　D

3．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．

[解析]　由得

代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，

故变换后的方程为y′＝3sin2x′.

[答案]　y′＝3sin2x′

4．（2018·北京卷）在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a（a>0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________.

[解析]　利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线的方程为x＋y－a＝0，圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，所以圆心（1,0），半径r＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即＝1，∴a＝1＋或1－，又a>0，∴a＝1＋.

[答案]　1＋

5．（2018·天津卷）已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．

[解析]　直线的普通方程为x＋y－2＝0，圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝1，圆心为C（1,0），半径为1，点C到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，所以S△ABC＝××＝.

[答案]　

考点一　极坐标方程与直角坐标方程的互化

【例1】　（2017·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

[解]　

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ（ρ>0）．

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0），由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB

＝4cosα·

＝4

＝2|cosαsinα－cos2α|

＝2

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

　极坐标方程与直角坐标方程互化技巧

（1）巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到直角坐标方程．

（2）巧借两角和差公式，转化ρsin（θ±α）或ρ＝cos（θ±α）的结构形式，进而利用互化公式得到直角坐标方程．

（3）将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．

[对点训练]

在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

[解]　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为：

x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρsin＝，

即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：

y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

考点二　参数方程与普通方程的互化

【例2】　（2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．

[解]　

（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

　参数方程与普通方程互化技巧

（1）将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响．

（2）普通方程转化为参数方程时，选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程．

[对点训练]

（2017·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求A．

[解]　

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，

由解得或

从而C与l的交点坐标为（3,0），.

（2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点（3cosθ，sinθ）到l的距离为d＝.

当a≥－4时，d的最大值为.由题设知＝，所以a＝8；

当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

考点三　直线参数方程的应用

【例3】　（2018·全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

[解]　

（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

（2）l的参数方程为（t为参数，<α<）．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是

（α为参数，<α<）．

　直线的参数方程在交点问题中的应用

已知直线l经过点M0（x0，y0），倾斜角为α，点M（x，y）为l上任意一点，则直线l的参数方程（t为参数）．

（1）若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.

（2）若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数方程为t1，t2，t3，则t3＝.

（3）若直线l上的线段M1M2的中点为M0（x0，y0），则t1＋t2＝0，t1t2<0.

[对点训练]

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.

（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）若点P坐标为（3，），圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

[解]　

（1）由两式相加得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0.

又由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－）2＝5.

（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝（3）2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4.又直线l过点P（3，），A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.

考点四　极坐标、参数方程的综合应用

【例4】　（2019·太原市一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a,1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．

[解]　

（1）由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.

曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘以ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x，所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

（2）将曲线C1的参数方程化为（m为参数，a∈R）代入曲线C2的方程y2＝4x，得m2－m＋1－4a＝0，由Δ＝（－）2－4×（1－4a）>0，得a>0.

设A，B对应的参数分别为m1，m2，则m1＋m2＝2，m1m2＝2（1－4a），由题意得|m1|＝2|m2|，即m1＝2m2或m1＝－2m2.

当m1＝2m2时，解得a＝.

当m1＝－2m2时，解得a＝.

综上可得a＝或a＝.

　极坐标与参数方程综合应用要点

（1）在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．

（2）解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．

[对点训练]

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

[解]　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

（2）解法一：

由直线l的参数方程（t为参数）

可知直线l的普通方程为y＝kx，其中k为直线l的斜率，则点C（－6,0）与直线l的距离d＝.

因为|AB|＝，所以2＋＝25，

解得k＝±，

故直线l的斜率为或－.

解法二：

在

（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.

所以l的斜率为或－.

课后跟踪训练（六十八）

1．（2018·江苏卷）在极坐标系中，直线l的方程为

ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．

[解]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，

所以曲线C是圆心为（2,0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为

ρsin＝2，

则直线l过A（4,0），倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB＝.

连接OB．因为OA为直径，

从而∠OBA＝，

所以AB＝4cos＝2.

因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.

2．（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[解]　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（－1,0），半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

3．（2019·湖南五市十校高三联考）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

（1）若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；

（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3,0），求|PA|·|PB|的值．

[解]　

（1）由曲线C：

（θ为参数），可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数），

代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，

故线段AB的中点的直角坐标为.

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得

（cos2α－sin2α）t2＋6tcosα＋8＝0，

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝，

由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝.

4．（2019·石家庄市高三一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝1，直线l与曲线C相切．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）在曲线C上取两点M，N，与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．

[解]　

（1）由题意可知，直线l的直角坐标方程为y＝x＋2.

由曲线C的参数方程知，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆．

由直线l与曲线C相切，可得r＝＝2，所以曲线C的直角坐标方程为（x－）2＋（y－1）2＝4.

又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，

即ρ＝4sin.

（2）不妨设M（ρ1，θ）（ρ1>0），N（ρ2>0），

所以S△MON＝||·||sin＝ρ1·ρ2＝×4sin×4sin＝2sinθcosθ＋2cos2θ＝sin2θ＋cos2θ＋＝2sin＋≤2＋，

所以△MON面积的最大值为2＋.