七年级数学轴对称的认识华东师大版知识精讲.docx
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七年级数学轴对称的认识华东师大版知识精讲
初一数学轴对称的认识华东师大版
【本讲教育信息】
一.教学内容：
轴对称的认识
［教学目标］
1.通过画轴对称图形的对称轴，探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
2.能够按要求画出简单平面图形经过一次轴对称后的图形。
3.能利用轴对称进行图案设计。
［知识内容］
（一）轴对称图形
如果把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
（二）两个图形成轴对称
把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
（三）画图形的对称轴
（1）对称轴的画法
先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点，再画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。
（2）轴对称的性质
如果图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上。
（3）两个图形关于某直线对称的识别
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（四）画轴对称图形
（1）依据：
如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。
（2）画复杂图形的轴对称图形的步骤：
①找出复杂图形中有哪些基本图形。
②画基本图形中的特殊点。
（如线段的端点，角的顶点等）
③顺次连结对称点。
（五）设计轴对称图案
（1）轴对称性质是设计图案的依据。
（2）正确找出对应点是设计轴对称图案的关键。
（3）联系生活实际，使单纯的知识目标向能力目标转变，由知识的继承向知识的创新转变。
【典型例题】
例1.已知：
如图，直线及直线外一点P。
求作：
点P'，使它与点P关于直线对称。
作法：
（1）过点P作PQ⊥，交于点O。
（2）在直线PQ上，取。
点P'为所求作的点。
例2.已知△ABC和过点A的直线MN。
求作：
△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于MN对称。
作法：
（1）作BD⊥MN，垂足是D，延长BD到B'，使DB'＝BD，得到点B的对称点B'。
（2）同法作点C的对称点C'。
（3）因为点A在对称轴MN上，所以点A的对称点A'与A重合。
（4）连结A'B'，B'C'，C'A'。
△A'B'C'就是所求的三角形。
例3.设计轴对称图形。
请准备一张正方形纸片，按以下步骤画：
（1）在正方形纸片上用虚线画出四条对称轴。
（2）如图，在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条。
（3）按照其中一条斜的对称轴画出
（2）中图形的对称图形。
（4）按照另一条斜的对称轴画出（3）中图形的对称图形。
（5）按照水平（或垂直）对称轴画出（4）中图形的对称图形，即得所求作的图形。
画好之后，你可以在图案上涂上你喜欢的颜色，擦掉其他多余的线条，一幅对称的图案就完成了。
例4.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可以使所用的水管最短？
已知：
直线a和a的同侧两点A、B。
求作：
点C，使C在直线a上，并且AC＋CB最短。
作法：
（1）作点A关于直线a的对称点A'。
（2）连结A'B交a于点C。
点C就是所求的点。
这是为什么呢？
我们不妨在直线a上另取一点C'，连结AC、AC'、A'C'、C'B。
因为直线a是点A、A'的对称轴，点C、C'在对称轴上。
所以
在△A'C'B中，
即：
最小
说明：
证明“最大”、“最小”这类问题，常常采用另选一个量，通过与求证的那个“最大”、“最小”的量比较来证明，有同学对证明中只选一个点C'不放心，可以再选一个点C"证明一次，这时就会发现，证明过程中，只用到C'与C点不同，不涉及C'在什么位置。
实际上，“任意”选一点C'，就是除点C以外在什么地方选都可以，因为C'的位置是任意的，所以对于直线a上每一点（除点C外），结论都成立，这是数学中常用的一种方法。
例5.如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。
（1）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？
行驶到什么位置时距村庄N最近？
（2）当汽车行驶到什么位置时，汽车与村庄M、N的距离相等？
（3）当汽车行驶到什么位置时，汽车到村庄M、N的距离之和最短？
（4）是否存在一点P，使汽车行驶到该点时，汽车到村庄M、N的距离之差最大？
如果存在，请指出该点的位置；如果不存在，请说明理由。
解：
（1）如图
（1），过点M作MP1⊥AB，过点N作NP2⊥AB，垂足分别为P1、P2，当汽车运动到P1时距村庄M最近，当汽车运动到P2时距村庄N最近。
理由：
点到直线的垂线段最短。
（2）如图
（2），连结MN，作MN的垂直平分线交AB于P3，则汽车运动到P3时，与村庄M、N的距离相等，即PM＝PN。
理由：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
（3）如图
（2），连结MN交AB于P4，当汽车运动到P4时，汽车到村庄M、N的距离之和最短，理由同例4。
（4）存在这样一点。
如图（3），作点N关于直线AB的对称点N'，连结MN'，并延长MN'交AB于点P5，则点P5就是汽车到村庄M、N距离之差最大的点。
理由：
在AB上另取一点P6，连结，则
在中，由三角形三边关系可知
即：
∴当汽车运动到时，汽车距村庄M、N的距离之差最大
例6.从给出的图形“○○、△△、====”（两个圆，两个三角形，两条平行线）为构件，设计一个构思独特且有意义的轴对称图形。
举例：
如图所示是符合要求的一个图形，你还能构思出其他图吗？
请画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词。
思路分析：
题目中给出的几个基本构件图形都是轴对称图形，所以设计的关键就在于如何把它们组合在一起成为一个整体性的轴对称图形，并富有新意，有内涵。
解答：
以下提供几种设计图案，如图所示，图案精美，解说词精妙，称得上是图文并茂、令人赏心悦目。
例7.如图所示的4个图案都是轴对称图形，它们都分别有自己的含义，比如：
图案
（1）可以代表针织品、联通；图案
（2）可以代表法律、公正；图案（3）可以代表航海、坚固；图案（4）可以代表邮政、友谊等。
请你以“环保”为主题设计一个轴对称图形。
思路分析：
以环保为主题设计一个轴对称图形，一般应涉及花草树木、水、空气等自然资源。
同时可以用圆代替地球。
解答：
此题答案不惟一，下面仅供几例，如图所示。
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
1.一枚图章上刻有，那么印在纸上的图案是（）
A.B.C.D.
2.如图所示，△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（）
A.是等腰三角形
B.MN垂直平分
C.这两个三角形面积相等
D.直线的交点不一定在MN上
3.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，连BF，，则△BCF的周长为（）
A.16cmB.大于16cm
C.小于16cmD.无法确定
4.如图所示，画出所示图形关于直线的对称图形。
5.在下面各图中，画出你认为是轴对称图形的所有对称轴。
6.“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和A、B两个城镇（如图所示），准备建立一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。
7.如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
（1）使面积为3的三角形；
（2）使面积为8的轴对称三角形。
8.找出图中各个轴对称图形的对称轴，并分别指出各图形中对称轴的条数。
9.如图所示，△ABC中，AB＝AC＝16cm，DE垂直平分AB。
（1）当AE＝13cm时，那么BE＝__________；
（2）当△BEC的周长为26cm，则BC＝__________；
（3）若BC＝15cm，则△BEC的周长为__________。
10.世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活中的图形都有圆，如图所示，它们看上去多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称的性质，请你在下面的两个圆中，分别画出与图不重复的轴对称图形，但要尽可能准确美观。
11.如图所示，在直线MN两旁各有一点A、B，且A、B到MN的距离不等，请你在MN上求作一点P，使PA－PB最大，并说明理由。
12.请在下图这一组图形中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。
13.已知如图所示，A、B分别是6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请你观察图形并解答下列问题。
（1）填空：
____________。
（2）请在图C中的网格上画出一个面积为8个平方单位的轴对称图形。
14.如图所示，两块黑白两色的瓷砖可以拼成一个等边三角形。
某展览大厅的地面由正六边形图案组成，要求每个正六边形图案黑白两色的直角三角形瓷砖各六块组成，并且形成轴对称图形（要求同色对称），现向社会征集设计图案，你能否设计几个正六边形图案。
15.如图所示，设是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A放在之间，小球在镜中的像为，在镜中的像为，当间的距离为18cm。
（1）试求A与间的距离；
（2）若小球在间运动，A与间的距离改变吗？
【试题答案】
1.B
2.D
3.A
（点拨：
△BCF的周长
）
4.如图所示。
（步骤略）
5.图
（1）
（2）（4）是轴对称轴图形，其对称轴如图所示。
6.中心站的位置是下图中的点P，即两高速公路所成角的平分线与连结AB所成线段的垂直平分线的交点，如图所示。
（点拨：
此题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合应用题。
）
7.答案不惟一。
图略。
（点拨：
在
（2）小题中应画等腰三角形）
8.图
（1）中有2条对称轴，图
（2）中有1条对称轴，图（3）中有6条对称轴，图（4）中有2条对称轴。
（点拨：
图
（2）中的“”字左、右轴对称）
9.
（1）13cm
（2）10cm（3）31cm
10.答案不惟一，图略。
11.作法：
（1）作点B关于直线MN的对称点B'。
（2）连结AB'并延长交MN于点P，则点P即为所求。
理由：
在MN上另任取一点P'，连结P'A、BP'、PB（如图所示）
∵B、B'关于MN对称，P、P'在MN上
在△AB'P'中，
最大
12.设计的图形应为“”。
（点拨：
（1）这组图形显然都是轴对称图形。
（2）规律是：
这组图形分别是由数字“1、2、3、4、5……”与它的成轴对称的图形组合而成）
13.
（1）9：
11
（2）答案不惟一，图略。
14.设计的图案不惟一，下面仅提供几例。
（如图所示）
15.
（1）由平面镜成像原理可知（如图所示）
（2）由
（1）可知，当小球在间运动，A与间的距离不改变。
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