北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学文试题.docx

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北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学文试题

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【全国百强校】北京市海淀区2017学年高二上学期期中考试数学（文）试题

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一、单选题

1．抛物线

的焦点到准线的距离为（）

（A）

（B）1（C）

（D）

2．过点

且平行于直线

的直线方程为（）．

A．

B．

C．

D．

3．

的

，

，

的对边分别为

，

，

，若

，则

的大小为（）．

A．

B．

C．

D．

4．圆

的方程为

，则其圆心坐标及半径分别为（）．

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

5．已知两直线

，

及两个平面

，

，给出下列四个命题，正确的命题是（）．

A．若

，

则

B．若

，

，

则

C．若

，

则

D．若

，

则

6．已知双曲线

的一条渐近线方程为

，它的焦距为

，则此双曲线的方程为（）．

A．

B．

C．

D．

7．

是椭圆

的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠

，则

Δ

的面积为（）

A．7B．

C．

D．

8．若抛物线

上总存在两点关于直线

对称，则实数

的取值范围是（）．

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

9．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为

10．等差数列

满足

，公差

，则其通项公式

____________，前

项和公式

___________．

11．抛物线的焦点在直线

上，则抛物线的标准方程为____________．

12．圆锥的底面半径等于

，其轴截面的面积等于

，则此圆锥侧面展开图的圆心角等于__________．

13．已知

，

是椭圆

在左，右焦点，

是椭圆上一点，若

是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．

14．以下关于圆锥曲线的

个命题中：

（

）方程

的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

（

）设

，

为平面内两个定点，若

，则动点

的轨迹为双曲线的一支；

（

）方程

表示椭圆，则

的取值范围是

；

（

）双曲线

与椭圆

有相同的焦点．

其中真命题的序号为___________（写出所有真命题的序号）．

评卷人

得分

三、解答题

15．求解下列各题

（

）正四棱柱

的体对角线

的长等于

，则棱

的长等于

，求此四棱柱底面边长和表面积．

（

）一个球被一个平面所截，截面的面积等于

，且球心到截面的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积．

16．在

中，角

，

，

的对边分别为

，

，

．

．

（

）求角

的大小．

（

）若

，求边

的最小值．

17．如图，在直三棱柱

中，

，

，点

是

的中.

求证：

（

）

平面

．

（

）

．

（

）

平面

．

18．已知两点

，

在椭圆

上．

（

）求椭圆

的标准方程和焦点坐标．

（

）若

是椭圆上的动点，

是

轴正半轴上的一个定点，求线段

的长度

关于

的函数表达式，并求

的最小值．

19．设数列

满足

，且

．

（

）求

，

，

的值．

（

）证明：

数列

为等比数列，并求出数列

的前

项和

．

（

）若数列

，求数列

的前

项和

．

20．已知椭圆

过点

，

为椭圆的半焦距，且

．

（

）求椭圆

的方程．

（

）过点

作两条互相垂直的直线

，

，与椭圆

分别交于另两点

，

．

①若直线

的斜率为

，求

的面积．

②若线段

的中点在

轴上，求直线

的方程．

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：

由已知

，故抛物线

的焦点到准线的距离为

考点：

抛物线的性质

2．B

【解析】由条件知直线的斜率为

，又过

，即

，化简得到

即

．

故选

．

3．A

【解析】由余弦定理得到

，根据条件又

，代入上式得到

，又为三角形内角故

，∴

．

故选

．

4．D

【解析】圆

，化为标准式得到

．由标准方程的定义得到，圆心为

，半径为

．

故选

．

5．B

【解析】

中，

与

可能相交，不一定是平行的故

错误．

中，两条线垂直于两个垂直的平面，则两条线应是垂直关系，故

正确．

中，

与

可能平行，故

错误．

中，

可能在

上，此时不满足

错误．

故选

．

6．C

【解析】由题知

，∴

．又

，

∴

，

．又

，

∴

．得

，

．故双曲线方程为

．

故选

．

点睛：

根据双曲线的渐近线方程得到

，再结合

，可以求得双曲线方程。

明确双曲线的焦点位置，可以确定渐近线方程为

，根据双曲线中基本量的关系，得到

，二元二次方程组，可以求得方程。

7．C

【解析】试题分析：

由题意

得

，由椭圆的定义可以得到

，利用余弦定理

，求出

，故三角形

面积

考点：

1.椭圆的定义、标准方程；2.椭圆的性质；3.余弦定理的应用.

8．D

【解析】设两个对称点为

，

，

线段

的中点为

，

设直线

的方程为

，

由于

，

两点存在，

故

，有两组不同的实数解，

即

，

∵

．①

由中点坐标公式可得

，

．

∵

在直线

上，

∴

，

即

，代入①解得

．

故选

．

点睛：

本题考查的是点的对称性和抛物线结合，设两个对称点为

，

，根据对称的方程可设直线

的方程为

，由于

，

两点存在，故

，转化为上方程有两组不同的实数解问题。

9．

【解析】

试题分析：

根据题意由于三视图，可知该几何体提的底面是直角三角形，直角边为2，和4，同时高为3，那么利用三棱锥的体积公式可知，

故答案为4.

考点：

三视图，三棱锥体积

点评：

解决该试题的关键是还原几何体，运用相应的体积公式来得到，属于基础题。

10．

，

【解析】由等差数列的通项的性质得到：

，

．∴

．

由等差数列前n项和的性质得到：

．

故

，

.

11．

或

【解析】

与坐标轴的交点为

和

．当抛物线焦点为

时，

，

．故抛物线为

．

当抛物线焦点为

时，

，

．

故抛物线为

12．

【解析】圆锥展开后是扇形，要求扇形的圆心角先求得弧长，即圆锥的底面圆的周长，由周截面面积公式得到：

，h

，母线

，故

，

得

．

13．

或

【解析】由

是等腰直角三角形，若

为直角顶点，即有

，

即为

，即有

．则

．

角

或角

为直角，不妨令角

为直角，此时

，代入椭圆方程

，得

．又等腰直角

，得

，故得

，即

，即

．得

，又

，得

．

故椭圆离心率为

或

．

点睛：

这个题目考考查了分类讨论的思想，已知

是等腰直角三角形，可得到要讨论哪个角是直角，若

为直角顶点，可得

，进而求得离心率。

令角

为直角，此时

，代入椭圆方程得到基本量的关系。

14．（

）（

）（

）

【解析】（

）中

的两实根为

和

，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确．

（

）中，由双曲线定义动点到两定点距离之差是定值，且定值小于两定点距离。

知（

）正确．

（

）中，

，

且

，故

的取值范围为

，（

）错误．

（

）中，双曲线和椭圆焦点都为

．

，（

）正确．

故正确的选项为（

）（

）（

）。

点睛：

这个题目的综合性较强，首先明确椭圆离心率是介于

之间的而双曲线是大于1的；再就是考查双曲线的课本定义；第三个根据椭圆的基本方程得到

且

，第四个根据各自的基本量的关系得到焦点坐标。

15．

（1）表面积为

，底面边长为

；

（2）球体积

，球表面积

．

【解析】试题分析：

（

）正四棱柱就是地面为正方形的长方体，侧棱垂直于底面，根据勾股定理可得底面边长为

，则

，得

，知道长宽高，即可求得结果。

（

）由截面面积可求得截面的半径，截面圆半径

，再根据圆中垂面定理求得球的半径，进而得到结果。

（

）设底面边长为

，则

，得

表面积

．故底面边长为

．表面积为

．

（

）设球半径为

，则截面圆半径

，故

，

得

．故球表面积

．球体积

．

16．

（1）

；

（2）

.

【解析】试题分析：

（1）由正余弦公式得到

，再解二次方程得到余弦值，从而得角；

（2）根据余弦定理

再结合

，最终得到

，再由均值不等式得到

，从而得到

.

（

）

，则

，即

，

故

或

（舍去）．∴

，又

，∴

．

（

）

，

，即

，即

．

又

，故

，∴

．故当且仅当

时，

，

17．

（1）见解析；

（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：

（1）由原图是直棱柱得到

，再有

，

，点

是

的中得到

；

（2）由AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，能证明AC⊥BC1．（3）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，由已知推导出DE∥AC1，由此能证明AC1∥平面CDB1．

（

）∵

，且

为

中点，

∴

．

∵直三棱柱

，

∴

面

，

又

面

，

∴

，

又

，

，

，

面

，

∴

面

．

（

）由（

）知，

面

，

又

面

，

∴

．

又

，

，

，

面

，

∴

面

，

又

面

，

∴

．

（

）连接

，交

于

点，连接

．

易知

为

中点，

又

为

中点，

∴

是

中位线．

∴

又

面

，

面

，

∴

面

．

18．

（1）焦点坐标为

，

；

（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）由椭园中的已知点和

这一关系可以得到椭圆

标准方程为

；

（2）直接翻译条件根据点点距离公式到得到

再根据二次函数和

求得式子的范围.

（

）将

，

代入椭圆方程，得

，

．∴

，

．

，

．故椭圆

标准方程为

．焦点坐标为

，

．

（

）

．

．①

时，

，

．此时

时

．②

时，

，

，此时

时，

．

19．

（1）

，

，

；

（2）见解析；（3）

.

【解析】试题分析：

（1）根据

这一表达式直接带入求得每一项的值；

（2）构造等比数列

检验首相，满足等比数列的概念；（3）

，

，裂项求和即可。

（

）

，

，

，

．

（

）由

，得

，又

，可知

是首项为

，公比为

的等比数列．

（

）

，即

，

，∴

，∴

点睛：

这个题目考查了数列特定项的求法，直接带入递推公式求出即可；

（2）根据要求证的式子构造数列，证明满足等比数列概念即可；（3）观察数列通项，裂项求和即可.总体来说考查了数列中的基本知识方法。