高中数学第二章随机变量及其分布211离散型随机变量学案23.docx

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高中数学第二章随机变量及其分布211离散型随机变量学案23

2．1.1　离散型随机变量

[学习目标]

1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．

2．了解随机变量与函数的区别与联系．

3．会用离散型随机变量描述随机现象．

[知识链接]

1．掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？

答　掷一枚硬币，可能出现正面向上、正面向下两种结果，我们可以分别用1和0表示，这样就可以用数字来表示试验结果，数字随试验结果的变化而变化，这就是随机变量．

2．非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？

答　非离散型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量，又称为连续型随机变量．

它们的区别在于：

离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间的一切值，无法对其中的值一一列举．

[预习导引]

1．随机试验

一般地，一个试验如果满足下列条件：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；

（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．

2．随机变量

在随机试验中，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

3．离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

要点一　随机变量的概念

例1　指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

（1）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；

（2）投一颗质地均匀的骰子出现的点数（最上面的数字）；

（3）某个人的属相随年龄的变化；

（4）在标准状况下，水在0℃时结冰．

解　

（1）任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．

（2）投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．

（3）属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．

（4）标准状况下，在0℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．

规律方法　解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．

跟踪演练1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？

并说明理由．

（1）上海国际机场候机室中2015年10月1日的旅客数量；

（2）2015年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；

（3）2015年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；

（4）体积为1000cm3的球的半径长．

解　

（1）候机室中的旅客数量可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．

（2）D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．

（3）在《拉呱》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量．

（4）体积为1000cm3的球半径长为定值，故不是随机变量．

要点二　离散型随机变量的判定

例2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

（1）从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数；

（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；

（3）某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度；

（4）某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．

解　

（1）只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

（2）从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：

3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

（3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．

（4）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

规律方法　离散型随机变量的判定方法

判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：

（1）明确随机试验的所有可能结果；

（2）将随机试验的试验结果数量化；

（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

跟踪演练2　①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X；

②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；

③射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．

上述问题中的X是离散型随机变量的是（　　）

A．①②③B．①②C．①③D．②③

答案　A

解析　①②③中的变量取值均可一一列出．

要点三　随机变量的应用

例3　写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

（1）抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.

（2）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.

（3）一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.

解　

（1）Y的可能取值为2，3，4，…12，

若以（i，j）表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示（1，1）；{Y＝3}表示（1，2），（2，1）；{Y＝4}表示（1，3），（2，2），（3，1）；…；{Y＝12}表示（6，6）．

（2）ξ可取1，2，3.

{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1，2，3.

η可取0，1，2.

{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝0，1，2.

（3）ξ可取3，4，5.

{ξ＝3}表示取出的3个球的编号为1，2，3；

{ξ＝4}表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；

{ξ＝5}表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5.

规律方法　随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用．这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．

跟踪演练3　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果．

（1）从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；

（2）在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是一个随机变量．

（3）一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．

解　

（1）X的可能取值为1，2，3，…，10，{X＝k}（k＝1，2，…，10）表示取出编号为k号的球．

（2）随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4.

{X＝0}，表示“抽出0件次品”；

{X＝1}，表示“抽出1件次品”；

{X＝2}，表示“抽出2件次品”；

{X＝3}，表示“抽出3件次品”；

{X＝4}，表示“抽出4件次品”．

（3）随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.

{ξ＝0}，表示“取出0个白球，3个黑球”；

{ξ＝1}，表示“取出1个白球，2个黑球”；

{ξ＝2}，表示“取出2个白球，1个黑球”；

{ξ＝3}，表示“取出3个白球，0个黑球”.

1．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是（　　）

A．出现正面的次数

B．出现正面或反面的次数

C．掷硬币的次数

D．出现正、反面次数之和

答案　A

解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．故选A.

2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（　　）

A．取到产品的件数B．取到正品的概率

C．取到次品的件数D．取到次品的概率

答案　C

解析　对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．

3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是（　　）

A．2枚都是4点

B．1枚是1点，另1枚是3点

C．2枚都是2点

D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点

答案　D

解析　抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.

而ξ＝x＋y，

ξ＝4⇔

或

4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．

（1）从10张已编号的卡片（编号从1号到10号）中任取2张（一次性取出），被取出的卡片的较大编号为ξ；

（2）某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.

解　

（1）ξ的所有可能取值为2，3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：

取出的两张卡片编号分别为1和4，2和4，3和4.

（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．

1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．

2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：

（1）可用数来表示；

（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.

一、基础达标

1．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（　　）

A．取到的球的个数

B．取到红球的个数

C．至少取到一个红球

D．至少取到一个红球的概率

答案　B

解析　袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.

2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；

②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；

③测量一批电阻，在950Ω～1200Ω之间的阻值记为X；

④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.

其中是离散型随机变量的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．①②④

答案　A

3．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是（　　）

A．小球滚出的最大距离

B．倒出小球所需的时间

C．倒出的三个小球的质量之和

D．倒出的三个小球的颜色的种数

答案　D

解析　A．小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．

4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是（　　）

A．第5次击中目标B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标

答案　C

解析　ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．

5．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是________．

答案　9

解析　两个球号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．

6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．

答案　21

解析　ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C

种方法，即21种．

7．某篮球运动员在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得0分，则该队员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．

（1）写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；

（2）若记该队员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．

解　

（1）ξ可取0，1，2，3，4，5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次．

（2）η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．

二、能力提升

8．设实数x∈R，记随机变量ξ＝

则不等式

≥1的解集所对应的ξ的值为（　　）

A．1B．0C．－1D．1或0

答案　A

解析　解

≥1得其解集为{x|0＜x≤1}，∴ξ＝1.

9．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是（　　）

A．6B．7C．10D．25

答案　C

解析　X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．

10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数（两两不同），设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．

答案　24

解析　后3个数是从6，7，8，9四个数中取3个组成的，共有A

＝24（个）．

11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．

解　ξ＝0，1，2，3，4，5.ξ＝k（k＝0，1，2，3，4）表示在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下．ξ＝5表示在途中没有停下，直达目的地．

12．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．

解　ξ的可能取值为0，1，2.

ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品．

ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．

ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．

三、探究与创新

13.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．某选手抽到科技类题目ξ道．

（1）试求出随机变量ξ的值域；

（2）{ξ＝1}表示的事件是什么？

可能出现多少种结果？

解　

（1）由题意得ξ的值域是{0，1，2，3}．

（2）{ξ＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技题”．

考虑顺序，三类题目各抽取一道有C

·C

·C

·A

＝180种结果．

1道科技题，2道文史题有C

·C

·A

＝180种结果．

1道科技题2道体育题有C

·C

·A

＝18种结果．

由分类加法计数原理知可能出现180＋180＋18＝378种结果．