中考数学圆的位置关系专题复习导学案.docx

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中考数学圆的位置关系专题复习导学案

2017年中考数学圆的位置关系专题复习导学案

2017年中考数学专题练习2《圆的位置关系》

【知识归纳】

1点与圆的位置关系共有三种：

①，②，③；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：

①dr，②dr，③dr

2直线与圆的位置关系共有三种：

①，②，③

对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：

①dr，②dr，③dr

3圆的切线过切点的半径；经过的外端，并且这条的直线是圆的切线

4从圆外一点可以向圆引条切线，相等，夹角

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点

6与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的

【基础检测】

1．、、是平面内的三点，，，，下列说法正确的是（）

A．可以画一个圆，使、、都在圆上

B．可以画一个圆，使、在圆上，在圆外

．可以画一个圆，使、在圆上，在圆外

D．可以画一个圆，使、在圆上，在圆内

2（2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙的直径，是⊙上的点，过点作⊙的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　）A．B．．D．

3（2016年浙江省台州市）如图，在△AB中，AB=10，A=8，B=6，以边AB的中点为圆心，作半圆与A相切，点P，Q分别是边B和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）A．6B．2+1．9D．

4．（2016•江苏无锡）如图，AB是⊙的直径，A切⊙于A，B交⊙于点D，若∠=70°，则∠AD的度数为（　　）A．70°B．3°．20°D．40°

（2016•福建龙岩•10分）如图，AB是⊙的直径，是⊙上一点，∠AD=∠B，AD⊥D．

（1）求证：

D是⊙的切线；

（2）若AD=1，A=2，求A的值．6（2016•青海西宁•10分）如图，D为⊙上一点，点在直径BA的延长线上，且∠DA=∠BD．

（1）求证：

D是⊙的切线；

（2）过点B作⊙的切线交D的延长线于点E，B=6，．求BE的长．

【达标检测】

一、选择题

1（201•重庆A9，4分））如图，AB是的直径，点在上，AE是的切线，A为切点，连接B并延长交AE于点D，　若A=80°，则ADB的度数为（）

A40°B0°60°D20°2（201•齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）　A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10．4≤AB≤D．4＜AB≤

3．（201•湖南张家界，第2题3分）如图，∠=30°，为B上一点，且=6，以点为圆心，半径为3的圆与A的位置关系是（　　）　A．相离B．相交　．相切D．以上三种情况均有可能

4．（2016•上海）如图，在Rt△AB中，∠=90°，A=4，B=7，点D在边B上，D=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　）A．1＜r＜4B．2＜r＜4．1＜r＜8D．2＜r＜8

．（2016•江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）A．2＜r＜B．＜r＜3．＜r＜D．＜r＜

二、填空题

6．（2016•江苏无锡）如图，△AB中，∠=90°，A=8，B=6，点从A点出发，在边A上以2/s的速度向点运动，与此同时，点D从点B出发，在边B上以1/s的速度向点运动，过的中点E作D的垂线EF，则当点运动了　　s时，以点为圆心，1为半径的圆与直线EF相切．7．（2016•呼和浩特）在周长为26π的⊙中，D是⊙的一条弦，AB是⊙的切线，且AB∥D，若AB和D之间的距离为18，则弦D的长为　　．

8（2016东省泰安市，3分）如图，半径为3的⊙与Rt△AB的斜边AB切于点D，交B于点，连接D交直线A于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为　　．9（2016•内蒙古包头•3分）如图，已知AB是⊙的直径，点在⊙上，过点的切线与AB的延长线交于点P，连接A，若∠A=30°，P=3，则BP的长为　　．10（2016•四川攀枝花）如图，△AB中，∠=90°，A=3，AB=，D为B边的中点，以AD上一点为圆心的⊙和AB、B均相切，则⊙的半径为　　．11．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点，sinA=，A=10，则AB长为．

12．矩形ABD的边AB=1，B=20，以点B为圆心作圆，使A，，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是________．

13（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边D相切于点D，则∠=　　度．三、解答题：

14（2016•湖北武汉）如图，点在以AB为直径的⊙上，AD与过点的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙于点E．

（1）求证：

A平分∠DAB；

（2）连接BE交A于点F，若s∠AD＝，求的值．1．（2016•东省滨州市）如图，过正方形ABD顶点B，的⊙与AD相切于点P，与AB，D分别相交于点E、F，连接EF．

（1）求证：

PF平分∠BFD．

（2）若tan∠FB=，DF=，求EF的长．

【知识归纳答案】

1点与圆的位置关系共有三种：

①点在圆内，②点在圆上，③点在圆外；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：

①d<r，②d=r，③d>r

2直线与圆的位置关系共有三种：

①相交，②相切，③相离

对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：

①d<r，②d=r，③d>r

3圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

4从圆外一点可以向圆引两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点

6与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

【基础检测答案】

1．、、是平面内的三点，，，，下列说法正确的是（）

A．可以画一个圆，使、、都在圆上

B．可以画一个圆，使、在圆上，在圆外

．可以画一个圆，使、在圆上，在圆外

D．可以画一个圆，使、在圆上，在圆内

【答案】B

【解析】由已知可知点B是线段A的中点，故A、B、三点不可能在同一个圆上，若A、B在同一个圆上，则点在这个圆外，若A、在同一个圆上，则点B在圆内，若B、在同一个圆上，则点A在圆外；故选项B正确，故选B

2（2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙的直径，是⊙上的点，过点作⊙的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　）A．B．．D．

【考点】切线的性质．

【分析】首先连接，由E是⊙切线，可证得⊥E，又由圆周角定理，求得∠B的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．

【解答】解：

连接，

∵E是⊙切线，

∴⊥E，

∵∠A=30°，

∴∠B=2∠A=60°，

∴∠E=90°﹣∠B=30°，

∴sin∠E=sin30°=．

故选A．3（2016年浙江省台州市）如图，在△AB中，AB=10，A=8，B=6，以边AB的中点为圆心，作半圆与A相切，点P，Q分别是边B和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）A．6B．2+1．9D．

【考点】切线的性质．

【分析】如图，设⊙与A相切于点E，连接E，作P1⊥B垂足为P1交⊙于Q1，此时垂线段P1最短，P1Q1最小值为P1﹣Q1，求出P1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，

P2Q2最大值=+3=8，由此不难解决问题．

【解答】解：

如图，设⊙与A相切于点E，连接E，作P1⊥B垂足为P1交⊙于Q1，

此时垂线段P1最短，P1Q1最小值为P1﹣Q1，

∵AB=10，A=8，B=6，

∴AB2=A2+B2，

∴∠=90°，

∵∠P1B=90°，

∴P1∥A

∵A=B，

∴P1=P1B，

∴P1=A=4，

∴P1Q1最小值为P1﹣Q1=1，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，

P2Q2最大值=+3=8，

∴PQ长的最大值与最小值的和是9．

故选．4．（2016•江苏无锡）如图，AB是⊙的直径，A切⊙于A，B交⊙于点D，若∠=70°，则∠AD的度数为（　　）A．70°B．3°．20°D．40°

【考点】切线的性质；圆周角定理．

【分析】先依据切线的性质求得∠AB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠BA的度数，然后由圆周角定理可求得∠AD的度数．

【解答】解：

∵A是圆的切线，AB是圆的直径，

∴AB⊥A．

∴∠AB=90°．

又∵∠=70°，

∴∠BA=20°．

∴∠DA=40°．

故选：

D．

（2016•福建龙岩•10分）如图，AB是⊙的直径，是⊙上一点，∠AD=∠B，AD⊥D．

（1）求证：

D是⊙的切线；

（2）若AD=1，A=2，求A的值．【考点】切线的判定．

【分析】

（1）连接，由圆周角定理得出∠AB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠B，证出∠D=∠A+∠B=∠AB=90°，即可得出结论；

（2）证明△AB∽△AD，得出A2=AD•AB，即可得出结果．

【解答】

（1）证明：

连接，如图所示：

∵AB是⊙直径，

∴∠AB=90°，

∵B=，

∴∠B=∠B，

又∵∠AD=∠B，

∴∠D=∠A+∠AD=∠A+∠B=∠AB=90°，

即⊥D，

∴D是⊙的切线；

（2）解：

∵AD⊥D，

∴∠AD=∠AB=90°，

又∵∠AD=∠B，

∴△AB∽△AD，

∴A2=AD•AB=1×4=4，

∴A=2．6（2016•青海西宁）如图，D为⊙上一点，点在直径BA的延长线上，且∠DA=∠BD．

（1）求证：

D是⊙的切线；

（2）过点B作⊙的切线交D的延长线于点E，B=6，．求BE的长．【考点】切线的判定与性质．

【分析】

（1）连D，E，根据圆周角定理得到∠AD+∠1=90°，而∠DA=∠BD，∠BD=∠1，于是∠DA+∠AD=90°；

（2）根据已知条得到△DA∽△BD由相似三角形的性质得到，求得D=4，由切线的性质得到BE=DE，BE⊥B根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】

（1）证明：

连结D，

∵B=D，

∴∠BD=∠BD，

∵∠DA=∠BD，

∴∠DA=∠DB，

又∵AB是⊙的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠AD+∠DB=90°，

∴∠AD+∠DA=90°，

即∠D=90°，

∴D⊥D，

∵D是⊙半径，

∴D是⊙的切线

（2）解：

∵∠=∠，∠DA=∠BD

∴△DA∽△BD

∴

∵，B=6，

∴D=4，

∵E，BE是⊙的切线

∴BE=DE，BE⊥B

∴BE2+B2=E2，即BE2+62=（4+BE）2

解得：

BE=．【达标检测答案】

一、选择题

1（201•重庆））如图，AB是的直径，点在上，AE是的切线，A为切点，连接B并延长交AE于点D，　若A=80°，则ADB的度数为（）

A40°B0°60°D20°

【解析】切线的性质．由AB是⊙直径，AE是⊙的切线，推出AD⊥AB，∠DA=∠B=∠A=40°，

推出∠AD=0°．

【解答】解：

∵AB是⊙直径，AE是⊙的切线，

∴∠BAD=90°，

∵∠B=∠A=40°，

∴∠ADB=90°﹣∠B=0°，

故选B．

【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接A，构建直角三角形，求∠B的度数．

2（201•齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）　A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10．4≤AB≤D．4＜AB≤

【解析】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．

【解答】解：

当AB与小圆相切，

∵大圆半径为，小圆的半径为3，

∴AB==8．

∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，

∴8≤AB≤10．

故选：

A．

【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．

3．（201•湖南张家界，第2题3分）如图，∠=30°，为B上一点，且=6，以点为圆心，半径为3的圆与A的位置关系是（　　）　A．相离B．相交

　．相切D．以上三种情况均有可能

【解析】直线与圆的位置关系．利用直线l和⊙相切⇔d=r，进而判断得出即可．

【解答】解：

过点作D⊥A于点D，

∵∠=30°，=6，

∴D=3，

∴以点为圆心，半径为3的圆与A的位置关系是：

相切．

故选：

．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．

4．（2016•上海）如图，在Rt△AB中，∠=90°，A=4，B=7，点D在边B上，D=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　）A．1＜r＜4B．2＜r＜4．1＜r＜8D．2＜r＜8

【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．

【分析】连接AD，

根据勾股定理得到AD=，

根据圆与圆的位置关系得到r＞﹣3=2，

由点B在⊙D外，

于是得到r＜4，

即可得到结论．

【解答】解：

连接AD，

∵A=4，D=3，∠=90°，

∴AD=，

∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，

∴r＞﹣3=2，

∵B=7，

∴BD=4，

∵点B在⊙D外，

∴r＜4，

∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，

故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

．（2016•江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）A．2＜r＜B．＜r＜3．＜r＜D．＜r＜

【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题．

【解答】解：

如图，∵AD=2，AE=AF=，AB=3，

∴AB＞AE＞AD，

∴＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B．【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型．

二、填空题

6．（2016•江苏无锡）如图，△AB中，∠=90°，A=8，B=6，点从A点出发，在边A上以2/s的速度向点运动，与此同时，点D从点B出发，在边B上以1/s的速度向点运动，过的中点E作D的垂线EF，则当点运动了　　s时，以点为圆心，1为半径的圆与直线EF相切．【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】当以点为圆心，1为半径的圆与直线EF相切时，即F=1，又因为∠EF=∠=90°，所以△EF∽△D，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．

【解答】解：

当以点为圆心，1为半径的圆与直线EF相切时，

此时，F=1，

∵A=2t，BD=t，

∴=8﹣2t，D=6﹣t，

∵点E是的中点，

∴E==4﹣t，

∵∠EF=∠=90°，∠FE=∠D

∴△EF∽△D

∴=

由勾股定理可知：

E2=F2+EF2，

∴（4﹣t）2=+，

解得：

t=或t=，

∵0≤t≤4，

∴t=．

故答案为：

7．（2016•呼和浩特）在周长为26π的⊙中，D是⊙的一条弦，AB是⊙的切线，且AB∥D，若AB和D之间的距离为18，则弦D的长为　24　．

【考点】切线的性质．

【分析】如图，设AB与⊙相切于点F，连接F，D，延长F交D于点E，首先证明E⊥D，在RT△ED中，利用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：

如图，设AB与⊙相切于点F，连接F，D，延长F交D于点E．∵2πR=26π，

∴R=13，

∴F=D=13，

∵AB是⊙切线，

∴F⊥AB，

∵AB∥D，

∴EF⊥D即E⊥D，

∴E=ED，

∵EF=18，F=13，

∴E=，

在RT△ED中，∵∠ED=90°，D=13，E=，

∴ED===12，

∴D=2ED=24．

故答案为24．

8（2016东省泰安市）如图，半径为3的⊙与Rt△AB的斜边AB切于点D，交B于点，连接D交直线A于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为　　．【分析】要求AE的长，只要求出A和E的长即可，要求A的长可以根据∠B=30°和B的长求得，E可以根据∠E和的长求得．

【解答】解：

连接D，如右图所示，

由已知可得，∠BA=90°，D==3，∠B=30°，∠DB=90°，

∴B=2D=6，∠BD=60°，

∴∠D=∠D=60°，A=Btan30°=，

∵∠E=90°，=3，

∴E=tan60°=，

∴AE=E﹣A=，

故答案为：

．【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条．

9（2016•内蒙古包头•3分）如图，已知AB是⊙的直径，点在⊙上，过点的切线与AB的延长线交于点P，连接A，若∠A=30°，P=3，则BP的长为　　．【考点】切线的性质．

【分析】在RT△P中，根据∠P=30°，P=3，求出、P即可解决问题．

【解答】解：

∵A=，∠A=30°，

∴∠A=∠A=30°，

∴∠B=∠A+∠A=60°，

∵P是⊙切线，

∴∠P=90°，∠P=30°，

∵P=3，

∴=P•tan30°=，P=2=2，

∴PB=P﹣B=，

故答案为．10（2016•四川攀枝花）如图，△AB中，∠=90°，A=3，AB=，D为B边的中点，以AD上一点为圆心的⊙和AB、B均相切，则⊙的半径为　　．【考点】切线的性质．

【分析】过点0作E⊥AB于点E，F⊥B于点F．根据切线的性质，知E、F是⊙的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△AB+S△BD=S△ABD=S△AD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．

【解答】解：

过点0作E⊥AB于点E，F⊥B于点F．

∵AB、B是⊙的切线，

∴点E、F是切点，

∴E、F是⊙的半径；

∴E=F；

在△AB中，∠=90°，A=3，AB=，

∴由勾股定理，得B=4；

又∵D是B边的中点，

∴S△ABD=S△AD，

又∵S△ABD=S△AB+S△BD，

∴AB•E+BD•F=D•A，即×E+2×0E=2×3，

解得E=，

∴⊙的半径是．

故答案为：

．【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

11．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点，sinA=，A=10，则AB长为．

【答案】16

【解析】

试题分析：

连接，∵大圆的弦AB与小圆相切于点，∴⊥AB，∴A=B，∵sinA=，A=10，∴=6，∴A=，∴AB=2A=16

考点：

1切线的性质；2垂径定理；3解直角三角形．

12．矩形ABD的边AB=1，B=20，以点B为圆心作圆，使A，，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是________．

【答案】1<r<2

【解析】1勾股定理；2点与圆的位置关系因为矩形ABD的边AB=1，B=20，所以AD=B=,所以要使A，，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是1<r<2．

13（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边D相切于点D，则∠=　4　度．【考点】切线的性质；平行四边形的性质．

【分析】连接D，只要证明△AD是等腰直角三角形即可推出∠A=4°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题．

【解答】解；连接D．∵D是⊙切线，

∴D⊥D，

∵四边形ABD是平行四边形，

∴AB∥D，

∴AB⊥D，

∴∠AD=90°，

∵A=D，

∴∠A=∠AD=4°，

∴∠=∠A=4°．

故答案为4．

三、解答题：

14（2016•湖北武汉•8分）如图，点在以AB为直径的⊙上，AD与过点的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙于点E．

（1）求证：

A平分∠DAB；

（2）连接BE交A于点F，若s∠AD＝，求的值．【考点】切线的性质；考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系的应用

【答案】

（1）略；

（2）

【解析】

（1）证明：

连接，则⊥D，又AD⊥D，∴AD∥，∴∠AD＝∠A，又A＝，∴∠A＝∠A，∴∠AD＝∠A，∴A平分∠DAB．

（2）解：

连接BE交于点H，易证⊥BE，可知∠A＝∠AD，

∴S∠HF＝，设H＝4,F＝，则FH＝3．

又△AEF∽△HF，设EF＝3x，则AF＝x，AE＝4x，∴H＝2x

∴BH＝HE＝3x＋3B＝＝2x＋4

一、在△BH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2

化简得：

9x2＋2x－7＝0，解得：

x＝（另一负值舍去）．

∴．

1．（2016•东省滨州市•4分）如图，过正方形ABD顶点B，的⊙与AD相切于点P，与AB，D分别相交于点E、F，连接EF．

（1）求证：

PF平分∠BFD．

（2）若tan∠FB=，DF=，求EF的长．【考点】切线的性质；正方形的性质．

【分析】

（1）根据切线的性质得到P⊥AD，由四边形ABD的正方形，得到D⊥AD，推出P∥D，根据平行线的性质得到∠PFD=∠PF，由等腰三角形的性质得到∠PF=∠FP，根据角平分线的定义即可得到结论；

（2）由∠=90°，得到BF是⊙的直径，根据圆周角定理得到∠BEF=90°，推出四边形BFE是