2C11年清华金秋营数学试题及解答.docx

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2C11年清华金秋营数学试题及解答

2011年清华金秋营数学试题及解答

1.求sin

sin

sin

的值。

解:

(i为虚数单位),则1,

的根。

,sin

sin

sin

=

=

=

=

2.定义符号Ord

(n)(其中n为整数,p为素数)满足:

若Ord

(n)=m,则表示p

|n,并且p

҂n,定义S

(n)表示n在p进制表示下各位数字之和.

(1)求证:

Ord

(n!

)=

(2)利用

(1)的结论证明:

为整数.

(3)利用

(1)的结论证明:

为整数.

证明:

(1)设n=a

p

+

+

+a

a

{0,1,

p-1}

则Ord

(n!

)=

=a

p

+

+

+a

p+a

+a

p

+

+

+a

+

+a

=

+

+

+

+

=

=

(2)设p

||(n+1)(P为n+1的任一素因子)

即n+1=a

p

+a

p

+

a

p

(0

a

p-1,且1

a

p-1)

则n=a

p

+a

p

+

+(a

-1)p

+(p-1)p

+(p-1)p

+

+(p-1)

2n=2a

p

+2a

p

+

+2(a

-1)p

+2(p-1)p

+2(p-1)p

+

+2(p-1)

显然

S

(n)=a

+a

+

+(a

-1)+

(p-1)

S

(2n)=2(a

+a

+

+(a

-1))-

(p-1)-t(p-1)(t

0)

Ord

(C

)=Ord

(2n!

)-2Ord

(n!

=

=

=

.

(3).由题知:

若p为n+1的素因子,且

则(p,m)=(1,(p,n))=1,

设n+1=a

p

+a

p

+

a

p

(a

mn=b

p

+b

p

+

b

(b

则,n=a

p

+a

p

+

(a

-1)p

+(p-1)p

+

+(p-1)

mn+n=(a

+b

)p

+(a

+b

)p

+

(a

+b

-1)p

+(b

+p-1)p

+

(b

+p-1)

S

(n)=a

+a

+

(a

-1)+

(p-1)

S

(mn)=b

+b

+

b

S

(mn+n)=(a

+b

)+(a

+b

)+

(a

+b

-1)-

(其中a

+b

a

+b

+

a

+b

共有t次进位)

显然

Ord

((mn+n)!

)-Ord

(n!

)-Ord

((mn)!

=

=

3.原有的乘法交换律为xy=yx,现定义新的乘法交换律为yx=pxy,而乘法结合律与分配率保持不变。

例如:

(x+y)

=x

+xy+yx+y

=x

+(p+1)xy+y

(1)设(x+y)

=

,求证:

a

是以p为变元的整系数多项式;

(2)求a

.

解:

(1)易知(x+y)

=

=

(x+y)

且a

=a

=1

a

是以p为变元的整系数多项式.

(2)

=C

(a

+pa

)+C

(a

+pa

)p

=C

a

+C

pa

+C

a

p

=

=C

a

+C

pa

+C

p

a

+

+C

p

a

=C

+(C

+C

)pa

+(C

+C

)p

a

+

+C

p

a

=C

+C

pa

+C

p

a

+

+C

p

a

=

=C

+C

p+C

p

+

+C

p

a

=1+C

p+C

p

+

+C

p

4.设

e

试求:

解:

的n个根.

由根与系数的关系知

,(

=

=

=

-

=

=

=

当t=1时,

=

=

=

=

=

=

=

=

当n=2m时,

=0

为上式的根

=

当n=2m+1时,类似可得

2

=

=

=

=

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