2C11年清华金秋营数学试题及解答.docx
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2C11年清华金秋营数学试题及解答
2011年清华金秋营数学试题及解答
1.求sin
sin
sin
的值。
解:
设
(i为虚数单位),则1,
为
的根。
,sin
sin
sin
=
=
=
而
=
2.定义符号Ord
(n)(其中n为整数,p为素数)满足:
若Ord
(n)=m,则表示p
|n,并且p
҂n,定义S
(n)表示n在p进制表示下各位数字之和.
(1)求证:
Ord
(n!
)=
(2)利用
(1)的结论证明:
为整数.
(3)利用
(1)的结论证明:
为整数.
证明:
(1)设n=a
p
+
+
+a
a
{0,1,
p-1}
则Ord
(n!
)=
=a
p
+
+
+a
p+a
+a
p
+
+
+a
+
+a
=
+
+
+
+
=
=
(2)设p
||(n+1)(P为n+1的任一素因子)
即n+1=a
p
+a
p
+
a
p
(0
a
p-1,且1
a
p-1)
则n=a
p
+a
p
+
+(a
-1)p
+(p-1)p
+(p-1)p
+
+(p-1)
2n=2a
p
+2a
p
+
+2(a
-1)p
+2(p-1)p
+2(p-1)p
+
+2(p-1)
显然
S
(n)=a
+a
+
+(a
-1)+
(p-1)
S
(2n)=2(a
+a
+
+(a
-1))-
(p-1)-t(p-1)(t
0)
Ord
(C
)=Ord
(2n!
)-2Ord
(n!
)
=
=
=
即
.
(3).由题知:
若p为n+1的素因子,且
则(p,m)=(1,(p,n))=1,
设n+1=a
p
+a
p
+
a
p
(a
mn=b
p
+b
p
+
b
(b
则,n=a
p
+a
p
+
(a
-1)p
+(p-1)p
+
+(p-1)
mn+n=(a
+b
)p
+(a
+b
)p
+
(a
+b
-1)p
+(b
+p-1)p
+
(b
+p-1)
S
(n)=a
+a
+
(a
-1)+
(p-1)
S
(mn)=b
+b
+
b
S
(mn+n)=(a
+b
)+(a
+b
)+
(a
+b
-1)-
(其中a
+b
a
+b
+
a
+b
共有t次进位)
显然
,
Ord
((mn+n)!
)-Ord
(n!
)-Ord
((mn)!
)
=
=
即
。
3.原有的乘法交换律为xy=yx,现定义新的乘法交换律为yx=pxy,而乘法结合律与分配率保持不变。
例如:
(x+y)
=x
+xy+yx+y
=x
+(p+1)xy+y
(1)设(x+y)
=
,求证:
a
是以p为变元的整系数多项式;
(2)求a
.
解:
(1)易知(x+y)
=
=
(x+y)
且a
=a
=1
a
是以p为变元的整系数多项式.
(2)
=C
(a
+pa
)+C
(a
+pa
)p
=C
a
+C
pa
+C
a
p
=
=C
a
+C
pa
+C
p
a
+
+C
p
a
=C
+(C
+C
)pa
+(C
+C
)p
a
+
+C
p
a
=C
+C
pa
+C
p
a
+
+C
p
a
=
=C
+C
p+C
p
+
+C
p
a
=1+C
p+C
p
+
+C
p
4.设
e
试求:
,
,
解:
为
的n个根.
由根与系数的关系知
,(
)
=
=
=
-
=
=
=
当t=1时,
=
=
,
=
=
=
=
=
又
=
当n=2m时,
=0
为上式的根
=
当n=2m+1时,类似可得
2
=
=
=
=
。