2C11年清华金秋营数学试题及解答.docx

1、2C11年清华金秋营数学试题及解答2011年清华金秋营数学试题及解答1.求sinsinsin的值。解：设（i为虚数单位）,则1,为的根。，sinsinsin=,而=,2.定义符号Ord (n)(其中n 为整数，p为素数）满足：若Ord (n)= m ，则表示p|n,并且pn ,定义S (n)表示n在p进制表示下各位数字之和.（1)求证：Ord (n!)= （2)利用（1）的结论证明：为整数.（3)利用（1）的结论证明：为整数.证明：（1）设n=ap+a,a0,1, ,p-1则Ord（n!)= =ap+ap+a +ap+a +a =+ = =(2)设p|(n+1) (P为n+1的任一素 因子)即

2、n+1=ap+ ap+ap (0ap-1,且1ap-1)则n=ap+ap+(a-1)p+(p-1)p+(p-1)p+(p-1) 2n=2ap+2ap+2(a-1)p+2(p-1)p+2(p-1)p+2(p-1)显然S (n)=a+a+(a-1)+ (p-1)S (2n)=2(a+a+(a-1)- (p-1)-t(p-1) (t0)Ord（C)=Ord（2n!)-2Ord（n!) =, 即.(3).由题知：若p为n+1的素因子，且,则（p,m)=(1,(p,n)=1,设n+1=ap+ ap+ap (amn=bp+ bp+b (b则，n=ap+ ap+ (a-1)p+(p-1)p+(p-1)mn+

3、n=(a+b)p+(a+b)p+ (a+b-1)p+(b+p-1)p+ (b+p-1)S (n)=a+ a+ (a-1)+ (p-1)S (mn)=b+ b+b, ,S (mn+n)=(a+b)+(a+b)+ (a+b-1)- (其中a+b,a+b,+a+b,共有t次进位）显然，Ord（mn+n)!)-Ord（n!)-Ord（(mn)!) = =,即。3.原有的乘法交换律为xy=yx,现定义新的乘法交换律为yx=pxy,而乘法结合律与分配率保持不变。例如：（x+y) =x+xy+yx+y=x+(p+1)xy+y(1)设（x+y) =，求证： a 是以p为变元的整系数多项式；(2)求a.解：(1)易知（x+y) = = (x+y),且a=a=1a 是以p为变元的整系数多项式.(2) =C (a+pa)+C (a+pa)p =Ca+Cpa+Cap = =Ca+Cpa+Cpa+Cpa =C+(C+C)pa+(C+C)pa+Cpa =C+Cpa+Cpa+Cpa = =C+Cp+Cp+Cpa=1+Cp+Cp+Cp4.设e,试求：， 解：,为的n个根.由根与系数的关系知，()=-= = = 当t=1时， =，= = =又=当n=2m时， =0为上式的根=当n=2m+1时，类似可得2=。