北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题经典.docx

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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题经典

第一章勾股定理知识点一：

勾股定理定义画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角△ABC，量AB的长222222发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

A222直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：

a+b＝c）1．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）D⑴两锐角之间的关系：

；⑵若D为斜边中点，则斜边中线；CB⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；（给出证明）⑷三边之间的关系：

。

知识点二：

验证勾股定理知识点三：

勾股定理证明（等面积法）CD例1。

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

222求证：

a＋b=c。

证明：

abcAB例2。

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

222求证：

a＋b=c。

baba证明：

caaacbcccbbbcaabab知识点四：

勾股定理简单应用在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知：

a=6,b=8，求c

（2）已知：

b=5，c=13，求a

知识点五：

勾股定理逆定理222abca,b,c如果三角形的三边长为，满足，那么，这个三角形是直角三角形．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

①先找出最大边（如c）222cab②计算与，并验证是否相等。

222cab若=，则△ABC是直角三角形。

222cab若≠，则△ABC不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=522（ab）c2ab2.三角形的三边长为,则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形2x,y,zx6y8（z10）03.已知,则由此为三边的三角形是三角形.知识点六：

勾股数222abc

（1）满足的三个正整数，称为勾股数．

（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤11、60、61；⑥9、40、41．acacbb1.设、、是直角三角形的三边,则、、不可能的是（）.A.3,5,4B.5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：

确定最短路线DC1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,CA有一只甲虫从A出发，沿表面爬到，最近距离是多少？

ABD'C'BA'B'2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（取3）是.知识点八：

逆定理判断垂直222ABCABBCCAABC1．在△中，已知－＝，则△的形状是（）BCA．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．无法确定．ABCABC2．如图，正方形网格中的△，若小方格边长为1，则△是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对A

知识点九：

勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3米5米3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？

4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？

综合练习一一、选择题222a2222a1a21、下面几组数:

①7,8,9;②12,9,15;③m+n,m–n,2mn（m,n均为正整数,mn）;④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是（）A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14C.7D.7或2522（ab）c2ab3.三角形的三边长为,则这个三角形是（）A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.24.△ABC的三边为a、b、c且（a+b）（a-b）=c，则（）A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角C.c边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41A、1个B、2个C、3个D、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形2227.若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（a+b-c）=0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形CABADBCCDB8.如图，∠=∠=90°，=5，=8，=11，则的长为（）A、10B、11C、12D、13mmmABBCAC9.如图、山坡的高=5，水平距离=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶树,则从上到下共（）A、19棵B、20棵C、21棵D、22棵222、accabcCACbB10.Rt△ABC中，∠=90°，∠∠、∠所对的边分别是、、，若=2，则++的值是（）A、6B、8C、10D、411.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）53Ａ、9，12，15B、，1，C、0.2，0.3，0.4D、40，41，94412.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S=________Rt△ABCcmcmcmcmcm2.现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明．AB4.如图中字母所代表的正方形的面积：

==．81A225B225400

ABCCabc5.在△中，∠＝90°，若＝5，＝12，则＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD=，S=。

△ABC7.在Rt△ABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是。

8.在△ABC中，AC=17cm，BC=10cm，AB=9cm，这是一个_________三角形（按角分）。

9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为。

三、简答题1.判断正误，并指出为什么？

（1）△ABC的两边为3和4，求第三边解：

由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。

（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为522222.在△ABC中，BC=m-n，AC=2mn，AB=m+n（m＞n）。

求证：

△ABC是直角三角形。

3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．（画图求解）km/hkm/h4.已知一艘轮船以16的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？

（画图求解）5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

9米12米

90906.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=，∠DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD；DA家庭作业：

一、基础达标:

C1.下列说法正确的是（）B222222A.若a、b、c是△ABC的三边，则a＋b＝c；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a＋b＝c；222C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a＋b＝c；A90222D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a＋b＝c．C90acb2.△ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（）abcabcabc222abcA．B.C.D.3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121B．120C．90D．不能确定17cm8cm4．斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是．ac5．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、、之间应满足，其中边是直角所对的边；如果一bac个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是三角形，其中边是边，边所对的角bbb222acb是．B6．一个三角形三边之比是，则按角分类它是三角形．10:

8:

6BCABCC90BA15AC127．如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是．CA23cm12cm8．一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是．二、综合发展:

3m4m1．如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．15cm20cm25cm2.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少？

3．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.3m420mm4．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

勾股定理综合二1．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于cmcm2．已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为2cm（）AADEDAEECBBFCFDBC第2题1题ABCDACAEDF3．已知：

将正长方形纸片折叠两次，第一次折痕为，第二次折痕为，且点落在处.若长方形长为4，宽DE为3，求.ABCCADCDBDAC4．已知：

如图，△中，∠＝90º，是角平分线，＝15，＝25．求的长．分类讨论思想ABC1．在Rt△中，已知两边长为3、4，则第三边的长为ABC2．在Rt△中，已知两边长为5、12，则第三边的长为3．等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10确定三角形形状2222441．已知a、b、c是△ABC的三边，且ac－bc＝a－b，试判断三角形的形状．22.在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？

为什么？

2223.若△ABC的三边a、b、c满足a+b+c+338=10a+24b+26c，则△ABC为三角形（填锐角、直角或钝角）4.已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？

最短距离问题1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

BALCD2.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是4.如图，在直角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）ABCD5.如图，在正方形的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上nABCD述过程，如果第一个正方形的边长为1，那么第个正方形的面积为．

综合练习三一、选择题1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为（）.（A）30（B）28（C）56（D）不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）（A）13（B）8（C）25（D）645.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）725202420252424252024152071572515157（D）（B）（C）（A）6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.D7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（）AC（A）25（B）12.5（C）9（D）8.522（ab）c2ab8.三角形的三边长为,则这个三角形是（）B（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形.9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草a皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）.aaaa（A）50元（B）600元（C）1200元（D）1500元10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（）.A（A）12（B）7（C）5（D）13E3米5米CD（第10题）（第11题）（第14题）B二、填空题11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要______米.222ABCABACBCAB12.在直角三角形中，斜边=2，则=______.13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.

14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是___________.ADECB（第15题）（第16题）（第17题）15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.ABCCABBCDBCADAC16.如图，△中，∠=90°，垂直平分线交于若=8，=5，则等于______________.ABCDAEBEAEBE17.如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的CD2正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm.BA三、解答题第1819.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

题7cm图“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

BALCD第21题图CD22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

BA23.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

AA1BBC1