世界经典数学名题.docx
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世界经典数学名题
世界经典数学名题
鸡兔同笼
《孙子算经》卷下第31题叫“鸡兔同笼”问题，也是一道世界数学名题。
“有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里，头数是35，脚数是94。
问野鸡和兔子的数目各是多少？
”这个题目编得很有趣，如果35只动物全是鸡，就应该有70只脚；如果全是兔，就应该有140只脚，而题中却说共有94只脚，给人一种左右为难的印象。
其实，解题关键也正在这里，假设35只动物全是鸡，则共有70只脚，与题中“脚数是94”相比较，还差24只脚，将1只兔看作是鸡，脚数就会相差2，有多少只兔被看作是鸡了呢？
242=12。
算到这里，答案也就呼之欲出了。
清朝时，作家李汝珍把这类问题写进了小说《镜花缘》中。
书中有这样一个情节，一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。
一位才女把大灯看作是头，小灯看作是脚；把一种灯球看作是鸡，把另一种看作是兔，运用“脚数的一半减头数得兔数，头数减兔数得鸡数”的算法，很快就算出了一大二小的灯是120盏，一大四小的灯是240盏，赢得了一片喝彩声。
伴随古代中外文化交流，鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。
不过到了日本之后，鸡变成了仙鹤，兔变成了乌龟，鸡兔同笼变成了赫赫有名的“鹤龟算”。
狗跑与兔跳
行程问题是中小学里常见的一类数学应用题，也是一类很古老的数学问题。
在我国古代数学名著《九章算术》里，收集了很多这方面的题目如书中第6章第14题：
“狗追兔子。
兔子先跑100步，狗只追了250步便停了下来，这时它离兔子只有30步的距离了。
问如果狗不停下来，还要跑多少步才能追上兔子？
”这道追及问题编得很有趣，它没有直接告诉狗与兔的“速度差”，反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来，数量关系显得扑朔迷离。
2000年前，我们的祖先解决这类问题已经很有经验了，所以书中只是简单地说，用（25030）作除数，用（100-30）作被除数，即可算出题目的答案。
世界各国人民都很喜爱解答这类问题，一本公元8世纪时在欧洲很流行的习题集中，也记载了一个狗与兔的追及问题：
“狗追兔子，兔子在狗前
幸福的童年，生命的1/12是少年时期。
又过了生命的1/7他才结婚，婚后5年有了1个孩子。
这孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。
孩子死后，丢番图在深深的哀痛中活了4年，也结束了尘世生涯。
”
这段墓志铭写得太妙了。
谁要想知道丢番图的年纪，就得解一个一元一次方程；而这正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘了丢番图所献身的事业。
化圆为方问题
公元前6世纪时，有位叫安拉克萨哥拉的古希腊学者，被他的政敌丢进了监狱。
在牢房里他无事可干，整天思索着这样一个数学问题：
“怎样用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积与某个已知圆的面积相等？
”这就是著名的化圆为方问题。
当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。
但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。
化圆为方看上去谁都能办到，实际上却谁也办不到，因而具有极大的魅力。
15世纪时，连欧洲最杰出的艺术大师达·芬奇也曾拿起直尺圆规，试图解决这个问题呢。
年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国科学院，多得叫数学家们无法审读，以致在1775年，巴黎科学院为了维持正常的工作秩序，不得不宣布不再审读这方面的论文。
化圆为方的狂热终止于1882年，在这一年里，德国数学家林德曼证明了π是一个超越数，从而在理论上论证了化圆为方是不可能由尺规作图法完成的。
现在仍然有些青少年在尝试化圆为方，显然，这只会是白白浪费精力。
立方倍积问题
公元前5世纪时，一场大瘟疫凭空降临到古希腊的第罗斯岛上，夺去了许多人的生命，幸存的人们纷纷躲进神庙，祈求神灵保佑。
神说：
“你们想活命，就必须把庙中的祭坛加大1倍，并且不许改变它的形状。
”祭坛是个正方体，第罗斯人连夜加工，把祭坛的长、宽、高都加大了1倍，以为这样就满足了神的要求。
岂料瘟疫更加疯狂地蔓延开来，第罗斯人满腹狐疑，再次匍匐在神像前。
神怒气冲冲地说：
“这个祭坛是原来的8倍！
”第罗斯人没有办法，派人向当时最有名的学者柏拉图请教，不料他也解决不了这个问题……
故事中提到的这个数学问题，也是一个举世闻名的几何作图难题，叫立方倍积问题：
“做一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。
”如果借助其他工具，解决这个问题是很容易的，古希腊的埃拉托斯芬、攸多克萨斯，英国的牛顿等人都曾发明过一些巧妙的方法，但是，如果限制用直尺和圆规去解决，2000年来，无论是初学几何的少年，还是天才的数学大师，却无一不束手无策。
1837年，又是法国数学家闻脱兹尔最先从理论上证明：
同三等分角问题一样，立方倍积问题也是不能由尺规作图法解决的，才了结了这桩数学悬案。
三等分角问题
在2000多年前，古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规。
于是，从一些本来很简单的作图题中，产生了一批举世闻名的数学难题。
例如三等分角问题：
“只使用直尺与圆规做一个角，使它等于一个已知角的1/3。
”
大数学家阿基米德曾试图解决这个难题。
他预先在直尺上作了一个记号，很轻松地将一个角分成了三等份。
可是，人们不承认他解决了这个难题。
因为古希腊人还规定：
作图时直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只允许使用有限次。
三等分角看上去非常简单，做起来却非常难，几千年来，它激发了一代又一代的数学家。
有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾拿起直尺圆规，用三等分角测试过自己的智力，但谁也未能取得成功，直到1837年，法国数学家闻脱兹尔从理论上予以证明，只使用直尺圆规是无法三等分一个任意角的，才率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫。
数图之谜
现在世界上所能见到的最古老的数学文献，是古埃及的莱因特纸草书。
书中记载了85个数学问题，在书写第79题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401和16807这5个数，书的旁边依次画有图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了。
由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜。
数学史学家康托尔猜出了这个谜，他认为题目的意思是：
“有7个人，每个人养着7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麦穗，每棵麦穗可以长成7个量器的大麦，问各有多少？
”经他这么一解释，书中给出的那5个数就正好成了题目的答案。
有趣的是，在莱因特纸草书出土之前600多年，意大利数学家斐波拉契曾遍了一道很相似的数学题：
“7位老太太一起到罗马去，每人有7匹骡子，每匹骡子驮7个口袋，每个口袋盛7个面包，每个面包有7把小刀，每把小刀有7个刀鞘。
问各有多少？
”比斐波拉契还早几百年，我国古书里也记载了一个相似的数学题：
“今有出门望有九隄，隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。
问各几何？
”在不同的民族、不同的国家、不同的时间里，竟流传着一个同样的问题，这也是一个很有趣的谜。
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