第六章-测量误差基本知识.ppt
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1测量学测量学测量学测量学学习辅导学习辅导学习辅导学习辅导测量学测量学XX大学测量与国土信息工程系2第六章第六章测量误差基础知识366-1测量误差的概念测量误差的概念一、测量误差的来源一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性、观测者感官的局限性3、外界环境的影响、外界环境的影响4一一.产生产生测测量量误差的原误差的原因因一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：
误差的三大因素：
仪器原因仪器原因仪器精度的局限仪器精度的局限,轴系残余误差轴系残余误差,等。
等。
人的原因人的原因判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制,经验经验,等。
等。
外界影响外界影响气象因素气象因素（温度变化温度变化,风风,大气折光大气折光）结论：
结论：
观测误差不可避免观测误差不可避免（粗差除外）有关名词有关名词：
观测条件观测条件:
上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件等精度观测等精度观测:
在上述条件基本在上述条件基本相同相同的情况下进行的各的情况下进行的各次观测，称为次观测，称为等精度观测。
等精度观测。
5二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策
（一）分类
（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的规律一定的规律变化。
变化。
例：
例：
误差误差钢尺尺长误差钢尺尺长误差DDkk钢尺温度误差钢尺温度误差DDtt水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差ii经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差CC处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正操作时抵消操作时抵消（前后视等距前后视等距）操作时抵消操作时抵消（盘左盘右取平均盘左盘右取平均）6二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策
（一）分类一）分类偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差表面看没有任何规律性，但大量的误差有有“统计规律统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）例例：
估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差导致观测值产生误差。
7
（二）处理原则二）处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差8如何处理含有偶然误差的数据？
如何处理含有偶然误差的数据？
nn例如：
nn对同一量观测了n次nn观测值为l1,l2,l3,.lnnn如何取值取值？
如何评价数据的精度？
9三三.偶然误差的特性偶然误差的特性1.1.偶然误差的定义：
偶然误差的定义：
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：
（6-1-1）（6-1-1）真误差真值观测值10nn例如：
nn对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180（i+i+I）其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。
11误差区间误差区间负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值ddKK/nKK/nKK/nKK/nKK/nKK/n030345450.1260.12646460.128910.2540.128910.254363640400.1120.112410.115810.226410.115810.226693369330.0920.092330.092660.184330.092660.18491223912230.064210.0590.064210.05944440.1230.1231215121517170.0470.047160.045160.04533330.0920.0921518151813130.0360.03613130.0360.03626260.0730.07318211821660.01750.0140.01750.01411110.0310.03121244212440.01120.01120.0060.006660.0170.0172424以上以上0000000000001810.5051770.4953581.0001810.5051770.4953581.000表表表表6-16-16-16-1偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计12-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：
偶然误差应小于限值。
渐降性：
误差小的出现的概率大对称性：
绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：
当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。
13偶然误差偶然误差的特性的特性nn有限性有限性：
在有限次观测：
在有限次观测中，偶然误差应小于限中，偶然误差应小于限值。
值。
nn渐降性渐降性：
误差小的出现：
误差小的出现的概率大的概率大nn对称性对称性：
绝对值相等的：
绝对值相等的正负误差概率相等正负误差概率相等nn抵偿性抵偿性：
当观测次数无：
当观测次数无限增大时，偶然误差的限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。
平均数趋近于零。
146-2评定精度的标准评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差156-2评定精度的标准评定精度的标准二、相对中误差二、相对中误差平均误差一、中误差一、中误差16按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差17nn如果函数是连续型如果函数是连续型随机变量随机变量XX的分布密度函数的分布密度函数概率概率18正态分布正态分布19mm11较小较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；mm22较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
两组观测值中误差图形的比较两组观测值中误差图形的比较：
mm11=2.72.7mm22=3.63.620正态分布的特征正态分布的特征nn正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。
nn当时，f（x）0，所以f（x）以x轴为渐近线。
nn用求导方法可知，在处f（x）有两个拐点。
nn对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率2122区别错误与误差的阀值区别错误与误差的阀值nn随机变量随机变量XX在区间（在区间（xx11xx22）之之间的间的概率概率为为nn则函数是连续型随则函数是连续型随机变量机变量XX的的分布密度函数分布密度函数nn如果如果nn就得就得正态分布正态分布23三、极限误差2425nn但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：
=？
m=？
寻找最接近真值的值x66-3观测值的算术平均值及改正值26集中趋势的测度（最优值）集中趋势的测度（最优值）nn中位数：
设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。
nn众数：
在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。
nn切尾平均数：
去掉lmax,lmin以后的平均数。
算术平均数：
满足最小二乘原则的最优解27一、算术平均值：
满足最小二乘原则的最优解28证明（证明（x是最或然值）是最或然值）nnnn将上列等式相加，并除以n,得到nn29二、观测值的改正值二、观测值的改正值nn若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘306-4观测值的精度评定观测值的精度评定nn标准差可按下式计算中误差31证明证明nn将上列左右两式相减，得将上列左右两式相减，得32分别取平方分别取平方分别取平方分别取平方33取和取和取和取和对代入前式代入前式34计算标准差例子计算标准差例子35小结小结nn一、已知真值一、已知真值XX，则则真误差真误差nn一、真值不知，则一、真值不知，则二、中误差二、中误差366-5误差传播定律误差传播定律nn已知：
mx1,mx2,mxnnn求：
my=?
y=?
37观测值函数的中误差误差传播定律一一.观测值的函数观测值的函数例：
例：
高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数38二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（一）和
（一）和（差差）函数函数已知：
mx,my,求：
mz=?
39二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（一）和
（一）和（差差）函数函数已知：
mx,my,求：
mz=?
和和40二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（一）和差函数
（一）和差函数已知：
mx,my,求：
mz=?
和和41二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（一）和差函数
（一）和差函数已知：
mx,my,求：
mz=?
42二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（一）和差函数
（一）和差函数已知：
mx,my,求：
mz=?
和和43二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（二）倍乘函数
（二）倍乘函数已知：
mx,求：
mz=?
和平方44二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差
（二）倍乘函数
（二）倍乘函数已知：
mx,求：
mz=?
45解：
解：
例例量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：
列函数式中误差式46二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差（三）线性函数三）线性函数已知：
mxi,求：
mz=?
47（三）线性函数三）线性函数特殊xi为独立独立观测值48例例66距离误差距离误差例：
例：
对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值；观测值的中误差；算术平均值的中误差；算术平均值的相对中误差：
凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。
49二二二二.误差传播误差传播误差传播误差传播定律定律定律定律（四四）一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数xi为独立独立观测值对上式上式线性化50中误差关系式中误差关系式：
nn小结nn第一步：
写出函数式nn第二步：
写出全微分式（线性化）nn第三步：
写出中误差关系式nn注意：
注意：
只有自变量微分之间相互独立才可以进只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式一步写出中误差关系式。
51观测值函数中误观测值函数中误差公式汇总差公式汇总观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值52例例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。
三、几种常用函数的中误差三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：
求观测值函数中误差的步骤：
（1）列出函数式；
（2）对函数式线性化（全微分）；（3）套用误差传播定律，写出中误差式。
53例题例题已知有求：
错误54例题例题已知有；求：
55观测值：
斜距S和竖直角v待定值：
水平距离D66-6误差传布定律应用举例566-6误差传播定律应用观测值：
斜距S和竖直角v待定值：
高差h57误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例应用举例应用举例算术平均值算术平均值已知：
已知：
mm11=m=m22=.=.=mmnn=m=m求：
求：
mx58算例：
用三角形闭合差求测角中误差算例：
用三角形闭合差求测角中误差59误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：
解：
由题意：
每个角的测角中误差：
由于DJ6一测回角度中误差为：
由角度测量n测回取平均值的中误差公式：
例：
例：
要求三角形最大闭合差，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？
用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。
60DMPxyXYO由误差传播定律：
解：
解：
P点的点位中误差：
例例9：
已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。
如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。
616-7加权平均数及其中误差加权平均数及其中误差nn现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值AA组：
组：
123.34,123.39,123.35123.34,123.39,123.35BB组：
组：
123.31,123.30,123.39,123.32123.31,123.30,123.39,123.32CC组：
组：
123.34,123.38,123.35,123.39,123.32123.34,123.38,123.35,123.39,123.32nn各组的平均值各组的平均值AA组：
组：
123.360123.360BB组：
组：
123.333123.333CC组：
组：
123.356123.356=?
62加权平均数加权平均数nn各组的平均及其权各组的平均及其权AA组：
组：
123.360123.360权权PPAA=3=3BB组：
组：
123.333P123.333PBB=4=4CC组：
组：
123.356P123.356PCC=5=5（）（）（）63一、权与中误差一、权与中误差nn平均数的权平均数的权ppAA=3=3nn平均数的中误差平均数的中误差nnmm单位权中误差单位权中误差nn权与误差的平方成反比权与误差的平方成反比64二、加权平均数二、加权平均数65三、加权平均值的中误差三、加权平均值的中误差66四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则67加权平均值标准差的算例加权平均值标准差的算例68例：
例：
对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。
加权平均值的计算组号测回数各组平均值L权PLPL表5-5加权平均值：
124020144142440201772143640202010330L0=402010648vvpvvpvv+4+41616+1+122-2-21212303069例：
例：
对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。
加权平均值的计算组号测回数各组平均值L权PLPL表5-5加权平均值：
12402014“42824402017“742836402020“10660L0=4020101296vpvv+432+14-2246070五、五、权倒数传播定律权倒数传播定律有；权倒数传播定律m2m2m2m271例题例题有；已知求：
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