二次函数讲义.docx

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二次函数讲义

第二十二章　二次函数

22．1　二次函数的图象和性质

22．1.1　二次函数

1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝_______，其中变量是____，____是____的函数．

2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（_________________）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．

知识点1：

二次函数的定义

1．下列函数是二次函数的是（）

A．y＝2x＋1　　B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2D．y＝0.5x－2

2．下列说法中，正确的是（）

A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数

B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数

C．y＝（x－1）（x＋4）不是二次函数

D．在y＝1－x2中，一次项系数为1

3．若y＝（a＋3）x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是_________．

4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝_____，一次项系数b＝_____，常数项c＝_______．

5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a－2）x2＋（b＋2）x－3.

（1）当_________时，x，y之间是二次函数关系；

（2）当_______________时，x，y之间是一次函数关系．

6．已知两个变量x，y之间的关系为y＝（m－2）xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．

知识点2：

实际问题中的二次函数的解析式

7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出（350－10x）件商品，那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为（）

A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350

C．y＝－10x2＋350x＋7350D．y＝－10x2＋350x－7350

8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）

A．40m/sB．20m/sC．10m/sD．5m/s

9．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝_________．

10．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为____________，自变量n的取值范围是_______________；当d＝35时，多边形的边数n＝__________．

11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？

12．已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝________；当x＝_______时，函数值为1.

13．边长为4m的正方形中间挖去一个边长为x（m）（x＜4）的小正方形，剩余的四方框的面积为y（m2），则y与x之间的函数关系式为________________，它是_________函数．

14．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）

A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不正确

15．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（）

A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米

16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.设底面的宽为x，抽屉的体积为y时，求y与x之间的函数关系式．（材质及其厚度等暂忽略不计）

17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．

18．一块矩形的草坪，长为8m，宽为6m，若将长和宽都增加xm，设增加的面积为ym2.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若使草坪的面积增加32m2，求长和宽都增加多少米？

22．1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质

1．由解析式画函数图象的步骤是________、________、_________．

2．一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是__________．

3．二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是一条_______，其对称轴为_____轴，顶点坐标为_______．

4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____轴对称．抛物线y＝ax2，当a＞0时，开口向____，顶点是它的最______点；当a＜0时，开口向_______，顶点是它的最______点，随着|a|的增大，开口越来越______．

知识点1：

二次函数y＝ax2的图象及表达式的确定

1．已知二次函数y＝x2，则其图象经过下列点中的（）

A．（－2，4）　　B．（－2，－4）C．（2，－4）D．（4，2）

2．某同学在画某二次函数y＝ax2的图象时，列出了如下的表格：

x

－3

－2.5

－1

0

1

2.5

3

y

36

4

0

25

（1）根据表格可知这个二次函数的关系式是_______________；

（2）将表格中的空格补全．

3．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（－1，－）．

（1）求这个二次函数的解析式并画出其图象；

（2）请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．

知识点2：

二次函数y＝ax2的图象和性质

4．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）

A．当x＞0时，y随x的增大而减小

B．当x＜0时，y随x的增大而减小

C．y随x的增大而减小

D．y随x的增大而增大

5．已知点（－1，y1），（2，y2），（－3，y3）都在函数y＝x2的图象上，则（）

A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2

C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3

6．已知二次函数y＝（m－2）x2的图象开口向下，则m的取值范围是_________．

7．二次函数y＝－x2的图象是一条开口向_______的抛物线，对称轴是________，顶点坐标是_________；当x______时，y随x的增大而减小；当x＝0时，函数y有_______（填“最大”或“最小”）值是_______．

8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为_________，当x＝_____时，函数图象的最低点为__________．

9．已知二次函数y＝mxm2－2.

（1）求m的值；

（2）当m为何值时，二次函数有最小值？

求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x的增大而减小；

（3）当m为何值时，二次函数的图象有最高点？

求出这个最高点，并指出x取何值时，y随x的增大而增大．

10．二次函数y＝x2和y＝5x2，以下说法：

①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

11．已知a≠0，同一坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）

12．如图是下列二次函数的图象：

①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为_______________．

（第12题图）（第14题图）

13．当a＝________时，抛物线y＝ax2与抛物线y＝－4x2关于x轴对称；抛物线y＝－7x2关于x轴对称所得抛物线的解析式为___________；当a＝_______时，抛物线y＝ax2与抛物线y＝－2x2的形状相同．

14．已知二次函数y＝2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，则△AOB的面积为________．

15．已知正方形的周长为C（cm），面积为S（cm2）．

（1）求S与C之间的函数关系式；

（2）画出所示函数的图象；

（3）根据函数图象，求出S＝1cm2时正方形的周长；

（4）根据列表或图象的性质，求出C取何值时S≥4cm2?

16．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P（1，m）．

（1）求a，m的值；

（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大；

（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．

17．如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一个交点A.

（1）你能求出A点坐标吗？

（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？

若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．1.3　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

22.1.3.1　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

1．二次函数y＝ax2＋k的图象是一条_________．它与抛物线y＝ax2的________相同，只是________不同，它的对称轴为________轴，顶点坐标为________．

2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2_____得到，当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移_______个单位得y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向________平移|k|个单位得y＝ax2＋k.

知识点1：

二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

1．抛物线y＝2x2＋2的对称轴是___，顶点坐标是_____，它与抛物线y＝2x2的形状_____．

2．抛物线y＝－3x2－2的开口向______，对称轴是_______，顶点坐标是_________．

3．若点（x1，y1）和（x2，y2）在二次函数y＝－x2＋1的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为_________．

4．对于二次函数y＝x2＋1，当x＝______时，y最______＝____；当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大．

5．已知二次函数y＝－x2＋4.

（1）当x为何值时，y随x的增大而减小？

（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）当x为何值时，y有最大值？

最大值是多少？

（4）求图象与x轴、y轴的交点坐标．

知识点2：

二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移

6．将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是_______．

7．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝_____，c＝_____．

8．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．

（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

（2）抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？

知识点3：

抛物线y＝ax2＋k的应用

9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是（B）

A．3.5m　　　B．4mC．4.5mD．4.6m

10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（）

A．y＝（x－1）2＋2B．y＝（x＋1）2＋2

C．y＝x2＋1D．y＝x2＋3

11．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A（－3，y1），B（1，y2），C（2，y3），且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是（）

A．a＞0　　B．a＜0　　C．a≥0　　D．a≤0

12．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为_______．

13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝_____，c＝_______．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长度为_______．

15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：

（1）经过点（－3，2）；

（2）与y＝x2的开口大小相同，方向相反；

（3）当x的值由0增加到2时，函数值减少4.

16．把y＝－x2的图象向上平移2个单位．

（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；

（2）画出平移后的函数图象；

（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．

17．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），且经过（1，3），求此抛物线的解析式．

18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为（）

A．a＋c　　　B．a－c　　　C．－c　　　D．c

19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．（≈2.24，结果精确到1米）

22.1.3.2　二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质

1．二次函数y＝a（x－h）2的图象是______，它与抛物线y＝ax2的_____相同，只是____不同；它的对称轴为直线_______，顶点坐标为________．

2．二次函数y＝a（x－h）2的图象可由抛物线y＝ax2________得到，当h＞0时，抛物线y＝ax向______平移h个单位得y＝a（x－h）2;当h＜0时，抛物线y＝ax2向_________平移|h|个单位得y＝a（x－h）2.

知识点1：

二次函数y＝a（x－h）2的图象

1．将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）

A．y＝－（x＋2）2　　　　　　B．y＝－x2＋2

C．y＝－（x－2）2D．y＝－x2－2

2．抛物线y＝－3（x＋1）2不经过的象限是（）

A．第一、二象限B．第二、四象限

C．第三、四象限D．第二、三象限

3．已知二次函数y＝a（x－h）2的图象是由抛物线y＝－2x2向左平移3个单位长度得到的，则a＝_________，h＝________.

4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝（x＋2）2，y＝（x－2）2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．

知识点2：

二次函数y＝a（x－h）2的性质

5．二次函数y＝15（x－1）2的最小值是（）

A．－1B．1C．0D．没有最小值

6．如果二次函数y＝a（x＋3）2有最大值，那么a___0，当x＝___时，函数的最大值是___．

7．对于抛物线y＝－（x－5）2，开口方向____，顶点坐标为______，对称轴为________．

8．二次函数y＝－5（x＋m）2中，当x＜－5时，y随x的增大而增大，当x＞－5时，y随x的增大而减小，则m＝_______，此时，二次函数的图象的顶点坐标为________，当x＝____时，y取最_____值，为_____．

9．已知A（－4，y1），B（－3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝－2（x＋2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____________．

10．已知抛物线y＝a（x－h）2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点（1，－3），求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．

11．顶点为（－6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的解析式是（）

A．y＝（x－6）2B．y＝（x＋6）2C．y＝－（x－6）2D．y＝－（x＋6）2

12．平行于x轴的直线与y＝a（x－2）2的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点坐标为（）

A．（1，2）B．（1，－2）C．（5，2）D．（－1，4）

13．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a（x＋c）2的图象大致为（）

14．已知二次函数y＝3（x－a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_________．

15．已知一条抛物线与抛物线y＝－x2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（－5，0），则该抛物线的解析式是____________．

16．已知抛物线y＝a（x－h）2的对称轴为x＝－2，且过点（1，－3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）画出函数的图象；

（3）从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？

当x取何值时，函数有最大值（或最小值）?

17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y＝－8x2都相同，并且它的顶点在抛物线y＝2（x＋）2的顶点上．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求将

（1）中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式；

（3）将

（2）中所求抛物线关于x轴对称，求所得抛物线的解析式．

18．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.

（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；

（2）若

（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标．

22.1.3.3　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

1．抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状_____，位置_____，把抛物线y＝ax2向上（下）和向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k，平移的方向、距离要根据________，_________的值来决定．

2．抛物线y＝a（x－h）2＋k有如下特点：

①当a＞0时，开口向________；当a＜0时，开口向________；②对称轴是直线_______；③顶点坐标是_________．

知识点1：

二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象

1．抛物线y＝（x－1）2－3的对称轴是（）

A．y轴　　B．直线x＝－1C．直线x＝1D．直线x＝－3

2．抛物线y＝（x＋2）2＋1的顶点坐标是（）

A．（－2，1）B．（－2，－1）C．（2，1）D．（2，－1）

3．把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）

A．y＝－2（x＋1）2＋2B．y＝－2（x＋1）2－2

C．y＝－2（x－1）2＋2D．y＝－2（x－1）2－2

4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：

（1）y＝3（x－1）2＋2

（2）y＝－（x＋1）2－5.

知识点2：

二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质

5．在函数y＝（x＋1）2＋3中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为（）

A．x＞－1B．x＞3C．x＜－1D．x＜3

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝－2（x－h）2＋k，则下列结论正确的是（）

A．h＞0，k＞0B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0D．h＞0，k＜0

（第6题图）　（第9题图）

7．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足函数关系式h＝－5（t－1）2＋6，则小球距离地面的最大高度是（）

A．1米B．5米C．6米D．7米

8．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系式y＝－（x－12）2＋144（0＜x＜24），则该矩形面积的最大值为_____．

9．如图是二次函数y＝a（x＋1）2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是_____．

10．已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）．

（1）求a的值；

（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．

11．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）

A．y＝－2（x＋1）2－1B．y＝－2（x＋1）2＋3

C．y＝－2（x－1）2＋1D．y＝－2（x－1）2＋3

12．已知二次函数y＝3（x－2）2＋1.下列说法：

①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－2；③其图象顶点坐标为（2，－1）；④当x＜2时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

13．二次函数y＝a（x＋m）2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过（）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限

14．设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－（x＋1）2＋a上三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2

15．二次函数y＝a（x＋k）2＋k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）

A．直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上D．y轴上

16．把二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x＋1）2－1的图象．

（1）试确定a，h，k的值；

（2）指出二次函数y＝a（x－h）2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．

17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．（不要求写出自变量的取值范围）

18．已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C.

（1）写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；

（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

22.1.4.1　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）通过配方可化为y＝a（x＋）2＋的形式，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______．如果a＞0，当x＜－时，y随x的增大而_______，当x＞－时，y随x的增大而_______；如果a＜0，当x＜－时，y随x的增大而______，当x＞－时，y随x的增大而_______．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与y＝ax2的图象_________，只是______不同；y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象可以看成是y＝ax2的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“_____________________”