41复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 学生版正式版含答案.docx
《41复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 学生版正式版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《41复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 学生版正式版含答案.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
41复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算学生版正式版含答案
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算
【课前预习】
一、知识梳理
1.复数的模的几何意义：
复数
的模
，它的几何意义是
.
2.复数减法的模的几何意义：
， 在复平面上对应的向量分别是
，
，所以复数
在复平面上两点间的距离就是：
.
3.常见几何图形的复数表达式：
复数
、
为定值，且
，
在复平面上所应的点分别是
（1）线段
的垂直平分线方程：
；
（2）以
为圆心，半径为
的圆方程：
；
（3）以
、
为焦点，长轴长为
的椭圆方程：
，
其中
；
（4）以
、
为焦点，实轴长为
的双曲线方程：
，其中
.
4.一元二次方程
（1）
方程有两个不相等的实数根;
（2）
方程有两个不相等的实数根;
（3）
方程有两个共轭虚根.
注:
①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;
②解实系数一元二次方程,首先要判断
的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.
5.实系数一元二次方程根与系数的关系:
方程
的两根为
则
（
）
注:
①
时（
）式成立,
为虚数时（
）式也成立;
②若
为虚数,则
且
6.复数的开方运算
（1）复数的平方根
如果复数
和
满足:
称
是
的一个平方根.
（2）复数的立方根
若复数
满足:
则称
是
的一个立方根.1的立方根是
.其中
，具有性质
.
二、基础练习
1.
（1）已知
，
的最大值为．
（2）已知复数
满足
那么
的轨迹是 ．（用文字描述）
2.
（1）在复数集内,方程
的解集为.
（2）在复数集内分解因式:
.
（3）若实系数一元二次方程的根为
则这个方程为（）
A.
B.
C.
D.
3.
（1）若
是方程
的一个根,则
等于.
（2）方程
的一个虚根的模为
则
=.
4.
的平方根为.
5.设
是方程
的根,则
.
6.
（1）方程
在复数集内的根的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
（2）“
”是“实系数一元二次方程
有虚根”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
7.
（1）若复数
满足
，则
的最大值是________，最小值是_______．
（2）若复数
满足
，则
的最大值是_______，最小值是________．
（3）集合
，则
．
8.方程
的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数
的值为__________.
【例题解析】
例1.在复数集中解关于
的方程：
．
例2.已知方程
（
）的两根为
，若
，
求实数
的值.
例3.已知
且关于
的方程
的两个根分别为
，求
．
例4.已知关于
的方程
有实根，求纯虚数
的值.
例5.已知两个复数集合
。
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若
，求实数
的取值范围.
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算
姓名班级
【巩固练习】
1.
（1）
方程
一定有实数根的充要条件是（）
A.
B.
或
C.
D.
（2）对关于
的方程
下列说法正确的是（）
A.若方程有实根,则
为非负实数;
B.若虚数
为方程的一个根,则
为方程的另一个根;
C.若方程有两个实数根,则
都不是虚数;
D.若
为虚数,则方程两根均为虚数;
2.若
，则
的取值范围是．
3.方程
的实数解为_______.
4.
（1）-8的平方根为，立方根为.
（2）已知
为
的两个虚立方根，则
____________.
5.满足
的复数
对应的点的轨迹方程是 .
6.
（1）解关于
的方程
.
（2）解关于复数
的方程:
.
7.已知关于
的实系数方程
有一个模为1的虚根，求实数
的值.
8.已知关于
的实系数方程一元二次
有两个虚根
，且
，
，求实数
的值.
9.设关于
的方程
的两根的模的和为2,求实数
的值.
10.设
，
，解方程
。
【提高练习】
11.已知复数
，则复数
模的最大值与最小值分别是.
12.有关于
的一元二次方程
（1）若此方程有一实数根，求锐角
的值；
（2）求证：
对任意的实数
，原方程不可能有纯虚数根.
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算课前预习答案
【课前预习】
一、知识梳理
1.复数的模的几何意义：
复数
的模
，它的几何意义是点
到原点
的距离。
2.复数减法的模的几何意义：
， 在复平面上对应的向量分别是
，
，所以复数
在复平面上两点间的距离就是：
3.常见几何图形的复数表达式：
复数
、
为定值，且
，
在复平面上所应的点分别是
（1）线段
的垂直平分线方程：
；
（2）以
为圆心，半径为
的圆方程：
；
（3）以
、
为焦点，长轴长为
的椭圆方程：
，其中
；
（4）以
、
为焦点，实轴长为
的双曲线方程：
，其中
。
4.一元二次方程
（1）
方程有两个不相等的实数根
;
（2）
方程有两个不相等的实数根
;
（3）
方程有两个共轭虚根
.
注:
①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;
②解实系数一元二次方程,首先要判断
的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.
5.实系数一元二次方程根与系数的关系:
设方程
的两根为
则
（
）
注:
①
时（
）式成立,
为虚数时（
）式也成立;
②若
为虚数,则
且
6.复数的开方运算
（1）复数的平方根
如果复数
和
满足:
称
是
的一个平方根.
（2）复数的立方根
若复数
满足:
则称
是
的一个立方根.1的立方根是
.其中
，具有性质
.
二、基础练习
1.
（1）已知
，
的最大值为．
（2）已知复数
满足
那么
的轨迹是 ．（用文字描述）
以复数
所对点
为圆心，1为半径的圆
2.
（1）在复数集内,方程
的解集为_____
_______.
（2）在复数集内分解因式:
____
____.
（3）若实系数一元二次方程的根为
则这个方程为（B）
A.
B.
C.
D.
3.
（1）若
是方程
的一个根,则
等于___26___.
（2）方程
的一个虚根的模为
则
=____9______.
4.
的平方根为_
__.
5.设
是方程
的根,则
__
__.
6.
（1）方程
在复数集内的根的个数为（C）
A.2B.3C.4D.5
（2）“
”是“实系数一元二次方程
有虚根”的（A）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
7.
（1）若复数
满足
，则
的最大值是___________，
最小值是___________．
（2）若复数
满足
，则
的最大值是_______，最小值是________．
（3）集合
，则
_______．
解：
（1）
，即
表示以点
为圆心，以
为半径的圆．
表示圆上的点
与原点
之间的距离，
，所以所求最大值是
，最小值为
．
（2）
表示线段
表示线段
上的点
到点
的距离，则所求最大值为
，最小值为1．
（3）集合
表示以点
为圆心，以1为半径的圆，集合
表示实轴，实轴与圆交于点（0，0）和（-2，0），则
．
8.方程
的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数
的值为____
______.
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算例题解析答案
【例题解析】
例1.在复数集中解关于
的方程：
．
分析解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．
解
（1）
，所以该方程有一对共轭虚根，
所以方程的根为：
．
（2）
，
当
时，即
或
时，
；
当
时，即
，若
；若
；
当
时，即
时，
．
例2.已知方程
（
）的两根为
，若
，求实数
的值.
解：
（1）当
，即
时，
则
，由
（2）当
，即
时，
则
，由
综上
。
例3.已知
且关于
的方程
的两个根分别为
，求
．
分析在求
的表达式时，方程的根
是实数还是虚数，在变形时方法完全不同．所以很有必要区分
是实根还是虚根，即对
分类讨论．
解
．
当
即
时，
，
当
即
时，
为一对共轭虚根，
．
，则
．
综上可知：
例4.已知关于
的方程
有实根，求纯虚数
的值.
分析关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。
即方程的根满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题．
解设实数根为
，又设
，代入原方程整理，得：
，由复数相等的定义，
得
解方程组，得
，
。
例5.已知两个复数集合
。
（1）若
，求实数
的取值范围；（
或
）
（2）若
，求实数
的取值范围。
（
＝２）
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算巩固和提高练习答案
【巩固练习】
1.
（1）
方程
一定有实数根的充要条件是（D）
A.
B.
或
C.
D.
（2）对关于
的方程
下列说法正确的是（C）
A.若方程有实根,则
为非负实数;
B.若虚数
为方程的一个根,则
为方程的另一个根;
C.若方程有两个实数根,则
都不是虚数;
D.若
为虚数,则方程两根均为虚数;
2.若
，则
的取值范围是．
3.方程
的实数解为___2____.
4.
（1）-8的平方根为，立方根为.
，
（2）已知
为
的两个虚立方根，则
_____-1_______.
5.满足
的复数
对应的点的轨迹方程是 .
6.
（1）解关于
的方程
.
解：
当
或
时
；当
时
（2）解关于复数
的方程:
.
解:
设
则原方程化为
则
符合
因此
.
7.已知关于
的实系数方程
有一个模为1的虚根，求实数
的值.
8.已知关于
的实系数方程一元二次
有两个虚根
，且
，
，求实数
的值.
解：
.
9.设关于
的方程
的两根的模的和为2,求实数
的值.
解：
当
时，即
或
时，方程有二实根，
，
；
即
或
（舍去）；
当
时，即
时，方程有两共轭虚根，
，
或
（舍去）；
综上所述，
或
。
10.设
，
，解方程
。
解：
原方程变形为
，
，
所以
为纯虚数，且
的虚部为负数，故直接用
表示，
两边去模，得：
，即
，解得
（
升级会员 