有理数的加法法则教师版.docx

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有理数的加法法则教师版

有理数的运算法则

1.理解并掌握重要的有理数的运算法则。

2.认识和掌握列有理数加法法则的几个注意事项。

1、代数式：

用运算符号“＋－× ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。

注意：

用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。

2、列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写。

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号。

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a。

（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成

的形式；

（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

3、几个重要的代数式：

（1）a与b的平方差是：

a2-b2；a与b差的平方是：

（a-b）2。

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b；则三位整数是：

100a+10b+c。

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n；偶数是：

2n，奇数是：

2n+1；三个连续整数是：

n-1、n、n+1。

（4）若b＞0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

b2，非正数是：

-b2。

有理数  

1、有理数：

（1）凡能写成

（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。

正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

（注意：

0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数）

（2）有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。

（3）自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。

2、数轴：

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3、相反数：

（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。

（2）注意：

a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

（3）相反数的和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。

4、绝对值：

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

（注意：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。

（2）绝对值可表示为|a|。

（3）|a|是重要的非负数，即|a|≥0。

（注意：

|a|·|b|=|a·b|）。

5、有理数比大小：

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

6、互为倒数：

乘积为1的两个数互为倒数。

（注意：

0没有倒数；若a、b≠0，那么

的倒数是

；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。

7、有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数与0相加，仍得这个数。

8、有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

a+b=b+a。

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）。

9、有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。

10、有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同零相乘都得零。

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。

11、有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

ab=ba。

（2）乘法的结合律：

（ab）c=a（bc）。

（3）乘法的分配律：

a（b+c）=ab+ac。

12、有理数除法法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：

零不能做除数）

13、有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。

注意：

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an  或（a-b）n=（b-a）n。

14、乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方。

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。

（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0，则a=0，b=0。

（4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。

15、科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。

16、近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。

17、有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。

18、混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减。

注意：

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则。

19、特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。

整式的加减 

1、单项式：

在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。

2、单项式的系数与次数：

单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。

3、多项式：

几个单项式的和叫多项式。

4、多项式的项数与次数：

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：

（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式。

5、整式：

凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。

6、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。

7、合并同类项法则：

系数相加，字母与字母的指数不变。

8、去（添）括号法则：

去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。

9、整式的加减：

整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。

10、多项式的升幂和降幂排列：

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：

多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。

一元一次方程 

1、等式与等量：

用“=”号连接而成的式子叫等式。

注意：

“等量就能代入”。

2、等式的性质：

等式性质1：

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

等式性质2：

等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。

3、方程：

含未知数的等式，叫方程。

4、方程的解：

使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：

“方程的解就能代入”。

5、移项：

改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。

6、一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

7、一元一次方程的标准形式：

ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。

8、一元一次方程的最简形式：

ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。

9、一元一次方程解法的一般步骤：

整理方程—去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1—（检验方程的解）。

10．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法：

多用于“和，差，倍，分问题”。

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

（2）画图分析法：

多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。

11、列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

距离=速度·时间

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

（3）比率问题：

部分=全体·比率

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：

售价=定价·折；利润=售价-成本，；

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），S长方形=ab，C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=πR2h。

1．﹣3的相反数是（　　）

A．

3

B．

﹣3

C．

D．

2．下面几种图形：

①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　）

A．

③⑤⑥

B．

①②③

C．

③⑥

D．

④⑤

3．“互联网+”已全面进入人们的日常生活，据有关部门统计，目前全国4G用户数达到462000000户，其中462000000用科学记数法表示为（　　）

A．

4.62×104

B．

4.62×106

C．

4.62×108

D．

0.462×108

4．下列等式中，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（　　）

A．

28mn元

B．

（4m+7n）元

C．

（7m+4n）元

D．

11mn元

6．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（　　）

A．

两点之间，线段最短

B．

两点确定一条直线

C．

过一点，有无数条直线

D．

两点之间线段的长度叫做两点之间的距离

7．要调查你校学生学业负担是否过重，选用下列哪种方法最恰当（　　）

A．

查阅文献资料

B．

对学生问卷调查

C．

上网查询

D．

对校领导问卷调查

8．每学期开学初，南海购书中心都会进行优惠活动．某本新书按标价的8折出售，仍获利20%，若该书进价为20元，则标价为（　　）

A．

24元

B．

26元

C．

28元

D．

30元

9．下列运算正确的是（　　）

A．

﹣2（3x+1）=﹣6x+1

B．

﹣2（3x

1）=﹣6x+1

C．

﹣2（3x+1）=﹣6x+2

D．

﹣2（3x

1）=﹣6x+2

10．已知点C在直线AB上，线段AB=6，点D是AC中点，BC=4，那么A、D之间的距离是（　　）

A．

5

B．

2.5

C．

5或1

D．

5或2.5

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．分别从正面、左面、上面看几何体，得到的形状图都一样的几何体可能是　　　　（写出一个）．

12．若x=3是关于x的方程3x+2m﹣1=0的解，则m的值等于　　　　．

13．按规律填空：

2，5，8，11，　　　　14

，17，…．　

14．期末考试后，小宇将本班40名学生的数学成绩进行分类统计，得到如图所示的扇形统计图，则该班有　　　　名学生数学成绩为优．

15．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠BOC=120°，OD平分∠AOC，则图中∠AOD=　　　　．

（第14题图）（第15题图）（第16题图）

16．一个幻方中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，如图所示，已知一个幻方中的三个数，那么x的值是　　　　．

三、解答题

（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：

18．解方程：

19．下面都是由五个相同的小正方形组成的图形，请你在各图中不同位置分别添加一个同样大小的小正方形，使它们能折叠成小正方体．

四、解答题

（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．七名学生的体重，以48.0㎏为标准，把超过标准体重的千克记为正数，不足的千克记为负数，将其体重记录如下表：

学生

A

B

C

D

E

F

G

与标准体重之差

﹣3.0

+1.5

+0.8

﹣0.5

+0.2

+1.2

+0.5

（1）最接近标准体重的学生体重是多少？

（2）求七名学生的平均体重；

（3）请把学生按他们的体重从小到大排列，然后写出恰好居中的那个学生．

21．已知在同一平面内，∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数．

注：

要求画出图形，再求解．

22．将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数分布表（未完成）：

数据段

30～40

40～50

50～60

60～70

70～80

总计

频数

10

40

20

百分比

5%

40%

10%

注：

30～40表示时速大于30千米而小于等于40千米，其他类同．

（1）请你把表中空白处的数据填写完整；

（2）补全频数直方图；

（3）如果此路段汽车的时速超过60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：

﹣（4x2+5x+6）=﹣3x2﹣x﹣2

（1）求所捂的多项式；

（2）若x是2x=﹣x+9的解，求所捂多项式的值；

（3）若x为正整数，任取x几个值并求出所捂多项式的值，你能发现什么规律？

24．牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售8吨），每吨可获利润600元；制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200元；制成奶片销售，每加工1吨鲜奶可获利润2000元．该厂的生产能力是：

若制酸奶，每天可加工3吨鲜奶；若制奶片，每天可加工1吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．

（1）某数学小组设计了三种加工、销售方案：

方案一：

不加工直接在市场上销售；

方案二：

全部制成酸奶销售；

方案三：

尽可能多的制成奶片销售，来不及制成奶片的鲜奶直接在市场上销售．

通过计算说明哪种方案获利最多？

（2）是否还有更好的一种加工、销售方案，使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润．

25．已知A、B两地相距54米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣17．

（1）求出B地在数轴上表示的数；

（2）若B地在原点的右侧，经过第九次行进后小乌龟到达点M，第十次行进后到达点N，点M到A地的距离与点N到A地的距离相等吗？

说明理由．

（3）若B地在原点的右侧，那么经过50次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少?