高思导引四年级第11讲加法原理与乘法原理完整版.docx
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高思导引四年级第11讲加法原理与乘法原理完整版
第11讲加法原理与乘法原理
内容概述
理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分布计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题。
典型例题
兴趣篇
1．墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个，他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？
答案：
l4种
解析:
中餐厅、西餐厅、日餐厅是三种不同口味的餐厅，墨莫只是选择其中的某一种口味，而不是逐一品尝各种口味，所以不同口味的餐厅之间是分类关系．如图所示：
由加法原理，共有9+3+2=14种不同的选择．
2．墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？
答案：
60种
解析:
主食和热菜都要买，缺一不可，只是可以有先后顺序，逐步完成．假设墨莫先买主食，再买热菜，这样就把这件事情分为两步完成．如图所示：
由乘法原理，共有3×20=60种不同的买法．
3．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序，请问：
运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？
答案：
5040次
解析:
7颗不同的龙珠分别是一星珠到七星珠，当把7颗龙珠排成一行的时候，
从左到右，分别称为“位置1”到“位置7”，如图所示：
逐步在这7个位置放上龙珠，一共需要7步，即从位置1到位置7依次放入龙珠．
“位置1”可以放7颗龙珠当中的任意一颗，有7种可能．“位置2”需要从剩下的6颗中任意选出一颗来，有6种可能．
类似地，“位置3”有5种可能，“位置4”有4种可能，剩下的三个位置分别有3、2、1种可能．
根据乘法原理，得不同的排列方法总共有
7×6×5×4×3×2×1=5040种可能．
所以沙鲁最多要试5040次才能遇见神龙。
4．电影院里有10个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，共有多少种不同的坐法？
答案：
90种
解析:
如图所示：
由乘法原理，共有10×9=90种不同的坐法．
5．用红、黄、蓝三种颜色给图11-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色．一共有多少种不同的染色方法？
答案：
6种
解析:
三个圆圈都要染色，可以先染圆圈A的颜色，再染圆圈B的颜色，最后染圆圈C的颜色，这显然是；一个分步的关系．
第一步是对圆圈A的染色，可以染成红、黄、蓝中的任意1种颜色，有3种选择；
第二步是对圆圈B的染色，由于圆圈B与圆圈A之间有线段相连，不能同色，只有2种选择；
第三步是对圆圈C的染色，由于圆圈C与圆圈A和圆圈B都有线段相连，那么除去圆圈A和圆圈B的2种颜色，只有1种选择．如图所示：
根据乘法原理，对A、B、C这三个圆圈的染色有；3×2×1=6种不同的方法，
6．用红、黄两种颜色给图II-2中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？
答案：
8种
解析:
如图所示：
根据乘法原理，对小丑的眼睛、鼻子、嘴巴的染色有2×2×2=8种不同的方法。
7．运动会中有4个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这4个项目，请问：
（l）如果每名同学都可以任意报这4个项目，一共有多少种报名方法？
（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？
答案：
（1）256种
（2）24种
解析:
假设他们依次去报名，甲先报，乙、丙、丁再接着一个个报，那么这之问是分步的关系．
（1）甲可以在4个项目中任意选取一个来报名，有4种选择，乙、丙、丁也都可以有4种选择，
根据乘法原理，不同的报名方法总共有
4×4×4×4=256（种）．
（2）甲可以在4个项目中任意选取一个，有4种选择，乙报名的项目不能和甲相同，剩下3种选择．
类似地，丙只剩2种选择，丁只剩下最后1种选择，
所以，根据乘法原理可得，总共的报名方法有
4×3×2×1=24（种）．
8．萱萱的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：
（l）如果从中任取l本书，共有多少种不同的取法？
（2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？
答案：
（1）14种
（2）90种
解析:
（l）从所有的书中任取一本，那么就只能选取这三种书中的某一种，所以这是一个分类的关系，使用加法原理，一共有5+6+3=14种不同的取法．
（2）从每类中各选取一本，那么三种书都必须选取，可以先选一本语文书，再选一本数学书，最后选一本英语书，所以这是分步的关系，使用乘法原理，一共有5×5×3=90种不同的取法．
9．如图11-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？
答案：
1l条
解析:
首先，从甲地到丙地有两类不同的路线，第一类路线是从上方走，经过乙地再到丙地；第二类路线是从下方走，直接到丙地，只需选取其中的某一类路线即可，因此这之间是分类的关系．
第一类路线中（上方：
甲一乙一丙），是分为两步的，第一步为“甲一乙”，第二步为“乙一丙”．
第二类路线中（下方：
甲一丙），很明显是3种选择．如图所示：
第一类：
甲一乙一丙（上方走）第二类：
甲一丙（下方走）
所以总共的不同路线有4×2+3=11种．
10.图11-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条？
答案：
56条
解析:
根据题目条件，要选择最短的路线，只能往上走或往右走．采用标数法，顶点上所标的数字表示从A点到该顶点的走法，如图1所示：
首先，到M点和N点，当然都只有1种走法，其中到Q点也只有1种走法，
因为到P点的前一步，要么是从M点过来，要么是从N点过来，这两种情况之间是分类关系，所以到P点的走法共有1+1=2种．
同理，到R点的走法共有1+2=3种．
按这样的方法，依次把每个点都标上数，如图2：
最后，B顶点标记为56，即有56种不同的走法．
拓展篇
1．小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机，经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？
答案;9种
解析:
小高一家人要么坐火车，要么坐汽车，要么坐飞机，他们只是选择其中的一种交通工具．所以，不同交通工具之间是分类关系．如图所示：
由加法原理，共有4+3+2=9种不同的选择．
2．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这3个字母涂上3种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有5种不同颜色的笔，按上述要求，有多少种不同颜色搭配的“IM0"？
答案：
60种
解析:
把“IMO”涂上不同的颜色，可以有先后顺序，因此是分步的关系．
第一步先涂“I”，此时可以选择这5种颜色中的任意一种，有5种选择；
第二步涂“M’’，需要从与“I”不同的另外4种颜色中任选一种，有4种选择；
第三步涂“（，颜色与“J”，“M’’都不同，那么只剩下3种选择，如图所示：
由乘法原理，一共有5×4×3=60种不同方法．
3．老师要求小高在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，小高共有多少种不同的写法？
答案：
900种
解析:
①写被减数，两位数从10～99，有90种选择；
②写减数，一位数从0～9，有10种选择．
所以不同的算式总共有90×10～900种．
4．有一个三层书架，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：
（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？
（2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？
（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？
答案：
（1）30种
（2）750种（3）275种
解析:
（l）从所有的书中任取1本，只能在小说、漫画、科普这三种书中选某一种，这时，这三种书之间是分类关系，
由加法原理，不同的取法有15+10+5=30种．
（2）从每层中各取一本，也就是从小说、漫画、科普这三种书各取一本，
①选小说，有15种选择；②选漫画，有10种选择；③选科普书，有5种选择．
由乘法原理，不同的取法有15×10×5=750种．
（3）选取两本不同类别的书，可能是小说和漫画，也可能是小说和科普，还可能是漫画和科普，最后只可能出现这三种情况中的某一种，所以它们之间是分类关系．如果选小说和漫画，可以想成先选一本小说，再选一本漫画，这之间是分步关系，
①选小说和漫画：
分为两小步，先选小说，再选漫画，有15×10=150种．
②选小说和科普：
也分为两小步，先选小说，再选科普，有15×5=75种．
③选漫画和科普：
又分为两小步，先选漫画，再选科普，有10×5=50种．
所以共有150+75+50=275种不同的选法．
5．如图11-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？
答案：
17条
解析:
如图所示，从图中看班，从甲地到丙地，有“甲一乙一丙”和“甲一丁一丙”这两类走法．
①“甲一乙一丙”这类路线，又包含了两步：
第一步，“甲一乙”，有3种走法；
第二步，“乙一丙”，有3种走法．
由乘法原理，共有3×3=9种不同的走法．
②“甲一丁一丙”这类路线，共有2×4=8种不同的走法．
第一类：
甲一乙一丙第二类：
甲一丁一丙
由加法原理，从甲地到丙地一共有9+8=17种不同的走法．
6．如图11-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8，从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：
一共可以组成多少个不同的三位数？
其中有多少个不同的三位奇数？
答案：
24个；6个
解析:
（1）根据题意，要确定一个三位数，必须确定它的每一位．假设先取出一张卡片作为百位，再取出一张作为十位，又取出一张作为个位，分三步完成．
①确定百位，4张卡片都可以选，有4种选择，
②确定十位，这时只剩3张卡片，有3种选择，
③确定个位，这时只剩2张卡片，有2种选择，
由乘法原理，这样的三位数共有4×3×2=24个．
（2）要想组成三位奇数，只需要个位数字是奇数，所以第一步确定个位，后两步再确定百位和十位，
①确定个位，由于这四个数字中只有7是奇数，只有1种选择，
②确定十位，这时只剩3张卡片，有3种选择，
③确定百位，这时只剩2张卡片，有2种选择．
如图2所示：
由乘法原理，满足条件的三位奇数有1×3×2=6（个）．
7．奥运场馆实行垃圾分类处理，每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：
电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图11-7．现在准备把这五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，那么一共有多少种染色方法？
答案：
32种
解析:
对这几个垃圾桶依次染色，这是一个分步的过程，应该先把有特殊要求的垃圾桶染色，也就是从回收废纸的垃圾桶开始，如图所示．
第一步先给“废纸”垃圾桶染色籀i秀荥能染红色，只有2种选择；
往左，第二步给“塑料”染色，因为不能和“废纸”同色，只有2种选择；
继续往左，第三步给“电池”染色，因为不能跟“塑料”同色，也只有2种选择．
同理，从“废纸”出发向右看，“易拉罐”和“不可再造”也分别有2种染法．
根据乘法原理，总共的染色方法为
2×2×2×2×2=32（种）．
8．如图I1-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法？
答案：
96种
解析:
A、B、C、D、E五个部分依次相邻，按这个顺序染色，
①给A部分染色，有4砷选择．
②给B部分染色，因不与A同色，只有3种选择，
③给C部分染色，由于与A、B的颜色都不同，只有2种选择．
同样方法可以知道，D部分有2种染色方法，E部分也有2种染色方法．
由乘法原理，一共有4×3×2×2×2=96种染色方法，
9．在图11-9中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？
答案：
16种
解析:
依次读出“北”、“京”、“奥”、“运”、“会”这5个
字，恰好为5个步骤，
①选择“北”字，只有1种选择．
②选择“京”孚，图中的两个“京”字都与“北”字相邻，所以有2种选择．
③选择“奥”字，如果第二步选择的是左边的“京”字，如图1，只有前个“奥”字和它相邻，有2种选择；如果第二步选择的是右边的“京”字，如图2，只有后两个“奥”字和它相邻，也是2种迭择．所以不管②中选择哪个“京”字，③中的“奥”字都是2种选择．
同理，④和⑤，都是有2种选择．
根据乘法原理可得，不同的读法总共有
1×2×2×2×2=16（种）．
10.如图II-10，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：
（l）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？
（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？
答案：
（1）512褊
（2）128种
解析:
（1）把整个染色过程分成9步，每步给一个小圆圈染色，各个小圆圈之间的颜色互不影响，所以每个小圆圈都有2种染色方式．根据乘法原理，一共有
2×2×2×2×2×2×2×2×2=512
种不同的染法．
（2）如图，小圆圈的染色方式关于中间的竖线左右对称，那么横线上左边的两个小圆圈与右边相应位置的小圆圈颜色相同．
先确定中间竖线上的5个小圆圈颜色，再确定横线上左边的2个小圆圈颜色，这7个小圆圈每个都可以染成红色与蓝色，而且它们之间的颜色没有影响，
当这7个小圆圈的颜色确定后，余下的丽个小圆圈的颜色也就随之确定了．
根据乘法原理，满足条件的染色方法有
2×2×2×2×2×2×2×1×1=128（种）．
11．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？
答案;24种
解析:
把5个人与5辆车的对应关系在图中表示出来，
方法一：
考虑5个人对5辆车的选择，在确定5个人选车的先后顺序时，从要求苛刻的人出发分步讨论．从图中看到，可以按照戊、丁、丙、乙、甲的顺序分步考虑他们所选的车．
①戊可以从B、C、D这三辆车中任意选择，有3种选法，
②丁也可以从B、C、D这三辆车中任意选择，但不能与戊选同一辆车，因此有2砷选法，
③丙可以从B、C、D、E这四辆军中任意选择，但不能与丁和戊重复、因此有2种选法．
④乙可以从5辆车中任意选择，但又不能与丙、丁、戊重复，所以有2种选法．
⑤乙、丙、丁、戊都选好了自己对应的车后，留给甲的就只有一辆车了，所以甲只有1种选法．
根据乘法原理，5个人满足题意的选车方法一共有3×2X2×2×1=24种．
方法二：
考虑5辆车对5个人的选择，同样地，从要求苛刻的车出发分步讨论，
①能驾驶A车的只有甲或乙，有2个人可选，
②能驾驶E车的只有甲、乙或丙，而甲、乙之一已经被安排驾驶A车了，因此只有2个人可选，
③5个人都能驾驶B车，但是其中2人需要驾驶A车和E车，因此B车有3个人可选．
④5个人都能驾驶C车，但是其中3人需要驾驶A、B、E车，所以C车只有2个人可选．
⑤A、B、C、E四辆车都有了对应的驾驶员，那么余下的一位自然就与D车对应了，所以D车只有1个人可选，
根据乘法原理，一共有2×2×3×2×1=24种不同的安排方案．
12．如图11-11，4枚相同的棋子放入4×4的方格内，每人方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚．一共有多少种不同的放法？
答案:
24种
解析:
根据题意，每行最多放一枚棋子，而方格表中一共只有4行，因此每行恰有一枚棋子放入．同样的道理，每列也恰有一枚棋子放入，
①在第一行中放入一枚棋子，有4种方法，
②在第二行中放入一枚棋子，由于第一行中已经有一枚棋子，它所在的这一列就不能再放棋子，所以第二行申还有3个位置可以放置．
③在第三行中放人棋子，同理，当前两枚棋子的位置都确定后，第三行中还有2个位置可以放置，
④在第四行中放入棋子，只有1个位置可以放．
根据乘法原理，一共有4×3×2×1=24种不同的放法．
13．图I1-12是一个阶梯形方格表，在方格中放人5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子．这样的放法共有多少种？
答案：
16种
解析:
当棋子相同时不必考虑棋子的放置顺序，则可按照第一行、第二行、第三行、第四行、第五行的顺序，分步考虑位于这五行中的棋子的位置．
如图所示，当在第一行放入一枚棋子后，它所在的行与列都不能放置其他的棋子了，为了方便观察，把它所在的行与列都划去，接下来只需考虑剩余的部分，
从图中看出，第一行的棋子有2个位置可以放，无论它在哪个位置，当划去它所在的行与列之后，第二行的棋子也有2个位置可以放置．
同理，当划去第一行与第二行中的棋子后，第三行的棋子也有2个位置可以选择，
依次类推，直到倒数第二行（第四行），每行的棋子都有2个位置可以放置．
根据乘法原理，这5枚棋子不同的放法总共有2×2×2×2×1=16（种）．
14．如图11-13和图11-14，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走．请问：
（l）如图11-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？
（2）如图11-14所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？
答案;
（1）5条
（2）108条
解析:
（1）由题意得，蚂蚁只能向上走或向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有1种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论．
把A点处标上1，表示蚂蚁从A点出发到达A点，只有原地不动这1种方式，用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，如图1：
容易看出，蚂蚁可以从G点或C点到达H点，而且只有这2类不同的方式，那么，在H点处标上数字1+1=2（把G点与C点上的数相加），表示蚂蚁到达
H点有2条路线，如图2所示：
同理，蚂蚁可以从H点或D点到达J点，则就有2+1=3条路线（把H点与D点上的数相加）．
依次计算，可以得到蚂蚁到达-，点和B点分别有4种和5种路线，如图3所示：
故蚂蚁从A点爬到B点的不同路线有5条．
（2）蚂蚁从A点出发，到达A点上方的C点只有1条路线，那么在C点处标上数1，如图4所示：
蚂蚁到达D点有2种方式：
分别从C点、A点到D点，因此蚂蚁到达D点的方法数就等于它到达C点与A点的方法数之和，为1+1=2条路线，如图5：
蚂蚁到达E点有3种方式：
分别从C点、A点、D点到E点，因此把C点、A点与D点处的三个数相加，那么到达E点就有1+1+2=4条路线，如图6：
蚂蚁到达F点、H点、J点时与D点类似，各有2种方式；到达G点、j点、B点时与E点类似，各有3种方式，根据同样的规律，按照D、E、F、G、H、I、J、B的顺序，标出各点上对应的数，如图7所示：
因此，蚂蚁从A点爬到B点的不同路线有108条，
超越篇
1．爸爸、妈妈带小高去吃西餐，餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果小高想要点1种主食和1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限，请问：
小高一共有多少种点菜方法？
答案：
48种
解析:
小高可点的菜分成四种：
主食、主菜、汤、甜点，这四种菜之间是搭配的关系，
第一步，挑选主食，餐厅里有米饭和面条这2种主食，必须从中选择一种，有2种选择方法．
第二步，挑选主菜，餐厅里有3种主菜，必须从中选择一种，有3种选择方法．
第三步，挑选汤，汤类虽然只有1种，但是可以点也可以不点，点与不点这恰好是2种选择方法．
第四步，挑选甜点，甜点有2种，既可以两个都选，又可以只选其一，还可以两个都不选，那么甜点的选择有4种方法：
蛋糕和布丁都点，两者都不点，只点蛋糕，只点布丁．
由乘法原理，共有2×3×2×4=48种点菜方法．
2．如图11-15，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？
如果放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？
答案:
81种；1944种
解析:
（1）因放入的4枚棋子是相同的，并没有顺序可言，则只需要选定四个位置即可．
根据题葸，每一列有且仅有1枚棋子，困此总共分4个步骤考虑：
按从左到右的顺序依次考虑每一列的棋子放在什么位置，每一步都有3种选择方法，
根据乘法原理，一共有3×3×3×3—81种不同的放法．
（2）方法一：
假设4枚互不相同的棋子为A、B、C、D．
①先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法，
②放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其他的格子都可以放B，所以一共有9种方法，
③放棋子C，A、B那两列一共有6个格子不能选，所以一共有6种方法，
④放棋子D，A、B、C所在三列一共有9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法．
根据乘法原理，共有12×9×6×3=1944种不同的放法．
方法二：
4枚棋子要占4个方格，分两步考虑：
①先选出放棋子的4个方硌，由
（1）可得总共有3×3×3×3=81种选择方法．
②再把4枚不同的棋子按照顺序放入选好的4个方格中，一共有4×3×2×1=24种方法，
由乘法原理，总方法数为81×24=1944种．
3．如图11-16，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法？
答案：
768种
解析:
按照D、B、E、G、A、C、H、F的步骤进行染色．
对D进行染色时没有任何限制，共有4种选择，
对B进行染色时不能和D同色，有3种选择．
对E进行染色时不能和B、D同色，有2种选择，
对G进行染色时不能和D、E同色，有2种选择，
接下来，对A、C、F、H进行染色时的情况相同，都是有2种选择．
根据乘法原理，不同的染色方法总共有
4×3×2×2×2×2×2×2=768（种）．
4．用4种不同的颜色给图II-17中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色．一共有多少种不同的染色方法？
答案：
84种
解析:
方法一：
按照A、B、C、D的顺序
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