高思导引四年级第11讲加法原理与乘法原理完整版.docx

1、高思导引四年级第11讲 加法原理与乘法原理完整版第11讲 加法原理与乘法原理内容概述 理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分布计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题。典型例题兴趣篇1墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个，他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？ 答案：l4种解析:中餐厅、西餐厅、日餐厅是三种不同口味的餐厅，墨莫只是选择其中的某一种口味，而不是逐一品尝各种口味，所以不同口味的餐厅之间是分类关系如图所示：由加法原理，共有9+3+2=14种不同的选择2墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20

2、种他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？ 答案：60种解析:主食和热菜都要买，缺一不可，只是可以有先后顺序，逐步完成假设墨莫先买主食，再买热菜，这样就把这件事情分为两步完成如图所示： 由乘法原理，共有320=60种不同的买法3传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序，请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？ 答案：5040次解析:7颗不同的龙珠分别是一星珠到七星珠，当把7颗龙珠排成一行的时候， 从左到右，分别称为“位置1”到“位置7”，如图所示： 逐步在这7个位置放上龙珠，一共

3、需要7步，即从位置1到位置7依次放入龙珠 “位置1”可以放7颗龙珠当中的任意一颗，有7种可能“位置2”需要从剩下的6颗中任意选出一颗来，有6种可能 类似地，“位置3”有5种可能，“位置4”有4种可能，剩下的三个位置分别有3、2、1种可能 根据乘法原理，得不同的排列方法总共有7654321=5040种可能 所以沙鲁最多要试5040次才能遇见神龙。4电影院里有10个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，共有多少种不同的坐法？答案：90种解析:如图所示： 由乘法原理，共有109=90种不同的坐法 5用红、黄、蓝三种颜色给图11-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不

4、能同色一共有多少种不同的染色方法？ 答案：6种 解析:三个圆圈都要染色，可以先染圆圈A的颜色，再染圆圈B的颜色，最后染圆圈C的颜色，这显然是；一个分步的关系 第一步是对圆圈A的染色，可以染成红、黄、蓝中的任意1种颜色，有3种选择； 第二步是对圆圈B的染色，由于圆圈B与圆圈A之间有线段相连，不能同色，只有2种选择； 第三步是对圆圈C的染色，由于圆圈C与圆圈A和圆圈B都有线段相连，那么除去圆圈A和圆圈B 的2种颜色，只有1种选择如图所示： 根据乘法原理，对A、B、C这三个圆圈的染色有；321=6种不同的方法，6用红、黄两种颜色给图II -2中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色

5、，一共有多少种不同的染色方法？ 答案：8种 解析:如图所示： 根据乘法原理，对小丑的眼睛、鼻子、嘴巴的染色有222=8种不同的方法。 7运动会中有4个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这4个项目，请问：(l)如果每名同学都可以任意报这4个项目，一共有多少种报名方法？(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？答案： （1) 256种(2) 24种解析:假设他们依次去报名，甲先报，乙、丙、丁再接着一个个报，那么这之问是分步的关系 (1)甲可以在4个项目中任意选取一个来报名，有4种选择，乙、丙

6、、丁也都可以有4种选择， 根据乘法原理，不同的报名方法总共有 4444=256（种） (2)甲可以在4个项目中任意选取一个，有4种选择，乙报名的项目不能和甲相同，剩下3种选择 类似地，丙只剩2种选择，丁只剩下最后1种选择， 所以，根据乘法原理可得，总共的报名方法有 4321=24（种）8萱萱的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书请问：(l)如果从中任取l本书，共有多少种不同的取法？(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？ 答案：(1)14种(2)90种解析:(l)从所有的书中任取一本，那么就只能选取这三种书中的某一种，所以这是一个分类的关系

7、，使用加法原理，一共有5+6+3=14种不同的取法 (2)从每类中各选取一本，那么三种书都必须选取，可以先选一本语文书，再选一本数学书，最后选一本英语书，所以这是分步的关系，使用乘法原理，一共有553=90种不同的取法9如图11-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？ 答案：1l条解析:首先，从甲地到丙地有两类不同的路线，第一类路线是从上方走，经过乙地再到丙地；第二类路线是从下方走，直接到丙地，只需选取其中的某一类路线即可，因此这之间是分类的关系 第一类路线中（上方：甲一乙一丙），是分为两步的，第一步为“甲一乙”，第

8、二步为“乙一丙” 第二类路线中（下方：甲一丙），很明显是3种选择如图所示：第一类：甲一乙一丙（上方走）第二类：甲一丙（下方走） 所以总共的不同路线有42+3=11种10.图11-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条？答案：56条解析:根据题目条件，要选择最短的路线，只能往上走或往右走采用标数法，顶点上所标的数字表示从A点到该顶点的走法，如图1所示： 首先，到M点和N点，当然都只有1种走法，其中到Q点也只有1种走法， 因为到P点的前一步，要么是从M点过来，要么是从N点过来，这两种情况之间是分类关系，所以到P点的走法共有1+1=2种 同理，到R点的走法

9、共有1+2=3种 按这样的方法，依次把每个点都标上数，如图2： 最后，B顶点标记为56，即有56种不同的走法拓展篇1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机，经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？ 答案;9种 解析:小高一家人要么坐火车，要么坐汽车，要么坐飞机，他们只是选择其中的一种交通工具所以，不同交通工具之间是分类关系如图所示： 由加法原理，共有4+3+2=9种不同的选择2 “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这3个字母涂上3种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色现有5种不同颜色的笔，按上

10、述要求，有多少种不同颜色搭配的“IM0？ 答案：60种 解析:把“IMO”涂上不同的颜色，可以有先后顺序，因此是分步的关系 第一步先涂“I”，此时可以选择这5种颜色中的任意一种，有5种选择； 第二步涂“M，需要从与“I”不同的另外4种颜色中任选一种，有4种选择； 第三步涂“(，颜色与“J”，“M都不同，那么只剩下3种选择，如图所示： 由乘法原理，一共有543=60种不同方法3老师要求小高在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，小高共有多少种不同的写法？ 答案：900种解析:写被减数，两位数从1099，有90种选择； 写减数，一位数从09，有10种选择 所以不同的算式

11、总共有9010900种4有一个三层书架，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？(2)如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？ 答案：(1) 30种(2) 750种(3)275种解析:(l)从所有的书中任取1本，只能在小说、漫画、科普这三种书中选某一种，这时，这三种书之间是分类关系， 由加法原理，不同的取法有15 +10+5=30种 (2)从每层中各取一本，也就是从小说、漫画、科普这三种书各取一本， 选小说，有15种选择；选漫画

12、，有10种选择；选科普书，有5种选择 由乘法原理，不同的取法有15105=750种 (3)选取两本不同类别的书，可能是小说和漫画，也可能是小说和科普，还可能是漫画和科普，最后只可能出现这三种情况中的某一种，所以它们之间是分类关系如果选小说和漫画，可以想成先选一本小说，再选一本漫画，这之间是分步关系， 选小说和漫画：分为两小步，先选小说，再选漫画，有1510=150种 选小说和科普：也分为两小步，先选小说，再选科普，有155=75种 选漫画和科普：又分为两小步，先选漫画，再选科普，有105=50种 所以共有150+75+50=275种不同的选法5如图11-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有

13、3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？答案：17条解析:如图所示，从图中看班，从甲地到丙地，有“甲一乙一丙”和“甲一丁一丙”这两类走法 “甲一乙一丙”这类路线，又包含了两步： 第一步，“甲一乙”，有3种走法； 第二步，“乙一丙”，有3种走法 由乘法原理，共有33=9种不同的走法 “甲一丁一丙”这类路线，共有24=8种不同的走法 第一类：甲一乙一丙第二类：甲一丁一丙 由加法原理，从甲地到丙地一共有9+8=17种不同的走法 6如图11-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8，从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数请

14、问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数？ 答案：24个；6个解析:(1)根据题意，要确定一个三位数，必须确定它的每一位假设先取出一张卡片作为百位，再取出一张作为十位，又取出一张作为个位，分三步完成 确定百位，4张卡片都可以选，有4种选择， 确定十位，这时只剩3张卡片，有3种选择， 确定个位，这时只剩2张卡片，有2种选择， 由乘法原理，这样的三位数共有432=24个 (2)要想组成三位奇数，只需要个位数字是奇数，所以第一步确定个位，后两步再确定百位和十位， 确定个位，由于这四个数字中只有7是奇数，只有1种选择， 确定十位，这时只剩3张卡片，有3种选择， 确定百位，这时只剩

15、2张卡片，有2种选择 如图2所示： 由乘法原理，满足条件的三位奇数有132=6（个）7奥运场馆实行垃圾分类处理，每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图11 -7现在准备把这五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，那么一共有多少种染色方法？答案：32种解析:对这几个垃圾桶依次染色，这是一个分步的过程，应该先把有特殊要求的垃圾桶染色，也就是从回收废纸的垃圾桶开始，如图所示 第一步先给“废纸”垃圾桶染色籀i秀荥能染红色，只有2种选择； 往左，第二步给“塑料”染色，因为不能和“废纸”同色，只有2种选

16、择； 继续往左，第三步给“电池”染色，因为不能跟“塑料”同色，也只有2种选择 同理，从“废纸”出发向右看，“易拉罐”和“不可再造”也分别有2种染法 根据乘法原理，总共的染色方法为 22222=32（种）8如图I1 -8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？ 答案：96种解析:A、B、C、D、E五个部分依次相邻，按这个顺序染色， 给A部分染色，有4砷选择 给B部分染色，因不与A同色，只有3种选择， 给C部分染色，由于与A、B的颜色都不同，只有2种选择 同样方法可以知道，D部分有2种染

17、色方法，E部分也有2种染色方法 由乘法原理，一共有43222=96种染色方法，9在图11-9中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”那么一共有多少种不同的读法？ 答案：16种解析:依次读出“北”、“京”、“奥”、“运”、“会”这5个字，恰好为5个步骤， 选择“北”字，只有1种选择 选择“京”孚，图中的两个“京”字都与“北”字相邻，所以有2种选择 选择“奥”字，如果第二步选择的是左边的“京”字，如图1，只有前个“奥”字和它相邻，有2种选择；如果第二步选择的是右边的“京”字，如图2，只有后两个“奥”字和它相邻，也是2种迭择所以不管中选择哪个“京”字，中的“奥”字都是2种

18、选择 同理，和，都是有2种选择 根据乘法原理可得，不同的读法总共有12222 = 16（种）10.如图II - 10，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色请问：(l)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？答案：(1) 512褊(2) 128种解析:(1)把整个染色过程分成9步，每步给一个小圆圈染色，各个小圆圈之间的颜色互不影响，所以每个小圆圈都有2种染色方式根据乘法原理，一共有 222222222=512种不同的染法(2)如图，小圆圈的染色方式关于中间的竖线左右对称，那么横线上左边的两个小圆

19、圈与右边相应位置的小圆圈颜色相同 先确定中间竖线上的5个小圆圈颜色，再确定横线上左边的2个小圆圈颜色，这7个小圆圈每个都可以染成红色与蓝色，而且它们之间的颜色没有影响， 当这7个小圆圈的颜色确定后，余下的丽个小圆圈的颜色也就随之确定了 根据乘法原理，满足条件的染色方法有 222222211=128（种）11甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？ 答案;24种解析:把5个人与5辆车的对应关系在图中表示出来， 方法一：考虑5个人对5辆车的选择，在确定5个人选车的先后顺序时

20、，从要求苛刻的人出发分步讨论从图中看到，可以按照戊、丁、丙、乙、甲的顺序分步考虑他们所选的车 戊可以从B、C、D这三辆车中任意选择，有3种选法，丁也可以从B、C、D这三辆车中任意选择，但不能与戊选同一辆车，因此有2砷选法，丙可以从B、C、D、E这四辆军中任意选择，但不能与丁和戊重复、因此有2种选法 乙可以从5辆车中任意选择，但又不能与丙、丁、戊重复，所以有2种选法 乙、丙、丁、戊都选好了自己对应的车后，留给甲的就只有一辆车了，所以甲只有1种选法 根据乘法原理，5个人满足题意的选车方法一共有32 X 221=24种 方法二：考虑5辆车对5个人的选择，同样地，从要求苛刻的车出发分步讨论， 能驾驶A

21、车的只有甲或乙，有2个人可选， 能驾驶E车的只有甲、乙或丙，而甲、乙之一已经被安排驾驶A车了，因此只有2个人可选， 5个人都能驾驶B车，但是其中2人需要驾驶A车和E车，因此B车有3个人可选 5个人都能驾驶C车，但是其中3人需要驾驶A、B、E车，所以C车只有2个人可选 A、B、C、E四辆车都有了对应的驾驶员，那么余下的一位自然就与D车对应了，所以D车只有1个人可选， 根据乘法原理，一共有22321= 24种不同的安排方案12如图11 - 11，4枚相同的棋子放入44的方格内，每人方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚一共有多少种不同的放法？ 答案:24种解析:根据题意，每行最多放一枚棋子，

22、而方格表中一共只有4行，因此每行恰有一枚棋子放入同样的道理，每列也恰有一枚棋子放入， 在第一行中放入一枚棋子，有4种方法， 在第二行中放入一枚棋子，由于第一行中已经有一枚棋子，它所在的这一列就不能再放棋子，所以第二行申还有3个位置可以放置 在第三行中放人棋子，同理，当前两枚棋子的位置都确定后，第三行中还有2个位置可以放置， 在第四行中放入棋子，只有1个位置可以放 根据乘法原理，一共有4321=24种不同的放法13图I1-12是一个阶梯形方格表，在方格中放人5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子这样的放法共有多少种？答案：16种解析:当棋子相同时不必考虑棋子的放置顺序，则可按照第一行、第

23、二行、第三行、第四行、第五行的顺序，分步考虑位于这五行中的棋子的位置 如图所示，当在第一行放入一枚棋子后，它所在的行与列都不能放置其他的棋子了，为了方便观察，把它所在的行与列都划去，接下来只需考虑剩余的部分， 从图中看出，第一行的棋子有2个位置可以放，无论它在哪个位置，当划去它所在的行与列之后，第二行的棋子也有2个位置可以放置 同理，当划去第一行与第二行中的棋子后，第三行的棋子也有2个位置可以选择， 依次类推，直到倒数第二行（第四行），每行的棋子都有2个位置可以放置 根据乘法原理，这5枚棋子不同的放法总共有22221= 16(种)14如图11-13和图11-14，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头

24、的方向行走请问：(l)如图11 - 13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？(2)如图11- 14所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？ 答案;(1)5条(2)108条解析:(1)由题意得，蚂蚁只能向上走或向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有1种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论 把A点处标上1，表示蚂蚁从A点出发到达A点，只有原地不动这1种方式，用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，如图1： 容易看出，蚂蚁可以从G点或C点到达H点，而且只有这2类不同的方式，那么，在H点处标上数字1+1=2（把G点与C点上的数相加），表示蚂蚁到达H点有2条路线，如图2所示： 同理，

25、蚂蚁可以从H点或D点到达J点，则就有2+1=3条路线（把H点与D点上的数相加） 依次计算，可以得到蚂蚁到达-，点和B点分别有4种和5种路线，如图3所示： 故蚂蚁从A点爬到B点的不同路线有5条 (2)蚂蚁从A点出发，到达A点上方的C点只有1条路线，那么在C点处标上数1，如图4所示： 蚂蚁到达D点有2种方式：分别从C点、A点到D点，因此蚂蚁到达D点的方法数就等于它到达C点与A点的方法数之和，为1+1=2条路线，如图5： 蚂蚁到达E点有3种方式：分别从C点、A点、D点到E点，因此把C点、A点与D点处的三个数相加，那么到达E点就有1+1+2=4条路线，如图6： 蚂蚁到达F点、H点、J点时与D点类似，各

26、有2种方式；到达G点、j点、B点时与E点类似，各有3种方式，根据同样的规律，按照D、E、F、G、H、I、J、B的顺序，标出各点上对应的数，如图7所示： 因此，蚂蚁从A点爬到B点的不同路线有108条，超越篇1爸爸、妈妈带小高去吃西餐，餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点如果小高想要点1种主食和1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限，请问：小高一共有多少种点菜方法？答案：48种 解析:小高可点的菜分成四种：主食、主菜、汤、甜点，这四种菜之间是搭配的关系， 第一步，挑选主食，餐厅里有米饭和面条这2种主食，必须从中选择一种，有2种选择

27、方法 第二步，挑选主菜，餐厅里有3种主菜，必须从中选择一种，有3种选择方法 第三步，挑选汤，汤类虽然只有1种，但是可以点也可以不点，点与不点这恰好是2种选择方法 第四步，挑选甜点，甜点有2种，既可以两个都选，又可以只选其一，还可以两个都不选，那么甜点的选择有4种方法：蛋糕和布丁都点，两者都不点，只点蛋糕，只点布丁 由乘法原理，共有2324=48种点菜方法 2如图11-15，在一个34的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？如果放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？ 答案:81种；1944种 解析:(1)因放入的4枚棋子是相

28、同的，并没有顺序可言，则只需要选定四个位置即可 根据题葸，每一列有且仅有1枚棋子，困此总共分4个步骤考虑：按从左到右的顺序依次考虑每一列的棋子放在什么位置，每一步都有3种选择方法， 根据乘法原理，一共有333381种不同的放法 (2)方法一：假设4枚互不相同的棋子为A、B、C、D 先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法，放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其他的格子都可以放B，所以一共有9种方法， 放棋子C，A、B那两列一共有6个格子不能选，所以一共有6种方法， 放棋子D，A、B、C所在三列一共有9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法 根据乘法原理，共有12963=1

29、944种不同的放法 方法二：4枚棋子要占4个方格，分两步考虑： 先选出放棋子的4个方硌，由(1)可得总共有3333=81种选择方法 再把4枚不同的棋子按照顺序放入选好的4个方格中，一共有4321=24种方法， 由乘法原理，总方法数为8124=1944种3如图11 - 16，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？ 答案：768种解析:按照D、B、E、G、A、C、H、F的步骤进行染色 对D进行染色时没有任何限制，共有4种选择， 对B进行染色时不能和D同色，有3种选择 对E进行染色时不能和B、D同色，有2种选择， 对G进行染色时不能和D、E同色，有2种选择， 接下来，对A、C、F、H进行染色时的情况相同，都是有2种选择 根据乘法原理，不同的染色方法总共有 43222222=768（种）4用4种不同的颜色给图II - 17中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色一共有多少种不同的染色方法？ 答案：84种解析:方法一：按照A、B、C、D的顺序