全国新课标卷Ⅰ理科数学精准解析.docx
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全国新课标卷Ⅰ理科数学精准解析
2014高考真题2全国新课标卷Ⅰ（理科数学）
1．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，
则A∩B＝（）
A．[－2，－1]
B．[－1，2）
B．[－1，1]
D．[1，2）
1．A[解析
]
集合A＝（－∞，－1]∪[3，＋∞），所以A∩B＝[－2，－1]．
（1＋i）3
2．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
（1－i）2＝（）
A．1＋iB．1－i
C．－1＋iD．－1－i
2．D[解析]
（1＋i）3
（1＋i）2（1＋i）
（1－i）
2＝
（1－i）
2
＝2i（1＋i）＝－1－i.
－2i
3．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，
g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是
（
）
A．f（x）g（x）是偶函数
B．|f（x）|g（x）是奇函数
C．f（x）|g（x）|是奇函数
D．|f（x）g（x）|是奇函数
3．C
[解析]
由于偶函数的绝对值还是偶函数，
一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，
故正确选项为C.
4．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
已知F为双曲线C：
x2－my2＝3m（m>0）的一个焦点，
则点F到C的一条渐近线的距离为
（
）
A.3B．3
C.3mD．3m
4．A
[解析]
双曲线的一条渐近线的方程为
x＋my＝0.根据双曲线方程得
a2＝3m，b2
＝3，所以
c＝3m＋3，双曲线的右焦点坐标为
（
3m＋3，0）．故双曲线的一个焦点到一条渐
近线的距离为|3m＋3|＝3.
1＋m
5．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益
活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）
13A.8B.8
57
C.8
D.8
5．D
[解析]每位同学有
2种选法，基本事件的总数为
24＝16，其中周六、周日中有一
1
天无人参加的基本事件有
2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
1－
2
7
16
＝.
8
图11
6．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是
圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，
将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（）
AB
C
D
1
6．C
[解析]根据三角函数的定义，点
M（cosx，0），△OPM的面积为
2|sinxcosx|，在
直角三角形OPM中，根据等积关系得点
M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝1
|sin2x|，
2
π
且当x＝2时上述关系也成立，
故函数f（x）的图像为选项
C中
的图像．
7．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]执行如图
12所示的程
序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（
）
图12
20
16
7
15
A.3
B.5
C.2
D.8
7．D
[解析]逐次计算，依次可得：
3，a＝2，b＝3，
M＝2
2
8
3
8
15
8
15
n＝2；M＝3，a＝
2，b＝3，n＝3；M＝
8
，a＝3，b＝8，n＝
15
4.此时输出M，故输出的是
8.
2
8．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
设α∈
0，π
，β∈
0，
π
，且tan
α＝1＋sinβ，
2
2
cosβ
则（）
π
π
A．3α－β＝2
B．3α＋β＝2
π
π
C．2α－β＝2
D．2α＋β＝2
β
β
1＋sinβ
cos
2
＋sin
＝
2
＝
8．C
[解析]tanα＝cosβ
2
β
β
－sin2
cos2
2
β
＋sinβ
1＋tan
β
cos
2＝tanπ＋
β，因为β∈0，π，所以π＋β∈π，π，又α
2
2＝
ββ
1－tan
β
4
2
2
42
42
cos
－sin
2
2
2
∈
π
且tan
α＝tan
π
β
，所以α＝
π
β
π
，
＋
＋，即2α－β＝
.
0
2
4
2
4
2
2
9．、[2014高考真题
2新课标全国卷Ⅰ
]不等式组
x＋y≥1，
的解集记为
D，有下面四个
x－2y≤4
命题：
p1：
?
（x，y）∈D，x＋2y≥－2，
p2：
?
（x，y）∈D，x＋2y≥2，
p3：
?
（x，y）∈D，x＋2y≤3，
p4：
?
（x，y）∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是（
）
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p1，p4
D．p1，p3
9．B
[解析]不等式组表示的区域
D如图中的阴影部
分所示，设目标函数
z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可
知，目标函数在点
A（2，－1）处取得最小值，且
zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋
∞），故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．
10．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ
]已知抛物线
C：
y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是
l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝
4，则|QF|＝（
）
7
A.2
B．3
5
C.2
D．2
3
10．B[解析]由题知F（2，
0），设P（－2，t），Q（x0，y0），则
FP＝（－4，t），＝（x0－2，
y0），由FP＝4FQ，得－4＝4（x0－
2），解得x0＝1，根据抛物线定义得
|QF|＝x0＋2＝3.
11．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知函数
f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零
点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）
A．（2，＋∞）
B．（1，＋∞）
C．（－∞，－2）
D．（－∞，－1）
11．C[解析]当a＝0时，f（x）＝－3x2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.
由f′（x）＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝2a.
若a<0，则函数f（x）的极大值点为
x＝0，且f（x）极大值＝f（0）＝1，极小值点为
x＝2，且f（x）极
a
＝f
2
＝
a2－4
a2－4
小值
a
2，此时只需
2>0，即可解得a<－2；
a
a
若a>0，则f（x）极大值＝f（0）＝1>0，此时函数f（x）一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a的取值范围为（－∞，－2）．
12．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画
出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
图13
A．62B．6C．42D．4
12．B[解析]该几何体是如图所示的棱长为
4的正方体内的三棱锥
ECC1D1（其中E为
BB1的中点），其中最长的棱为D1E＝（4
2）2＋22＝6.
13
．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为________．（用
数字填写答案）
13
．－20[解析]（x＋y）8的展开式中xy7的系数为C87＝8，x2y6的系数为C86＝28，故（x－
4
y）（x＋y）8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.
14
．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A，B，C三
个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过
B城市；
乙说：
我没去过
C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
14
．A[解析]
由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，
故三人去过的城市为
A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能
去过一个城市，这个城市为
A城市．
1
15
．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝
2（＋），则与
的夹角为________．
15
．90°[解析]由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，
BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.
16
．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的
对边，a＝2，且（2＋b）·（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．
16.3[解析]
根据正弦定理和a＝2可得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，故得b2＋c2－a2＝bc，
2
2
2
根据余弦定理得cosA＝b＋c－a＝1，所以A＝π
.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥
2bc
2
3
2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为1343
3＝3.
2
2
17．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan
＋1＝λS－n1，其中λ为常数．
（1）证明：
an＋2－an＝λ.
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？
并说明理由．
17．解：
（1）证明：
由题设，
＝λS－1，a
n1an2
＝λS
1
－1，
anan1
n
n
＋
＋
＋
＋
两式相减得an
1（an
2－an）＝λan1.
＋
＋
＋
因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
＝1，a
＝λS－1，可得
a＝λ－1，
（2）由题设，a1
1a2
1
2
由
（1）知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则
2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为
1，公差为4的等差数列，
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为
4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
18．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
从某企业生产的某种产品中抽取
500件，测量这
5
些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图14所示的频率分布直方图：
图14
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数
x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值
2
Z服从正态分布N（μ，σ），其中μ近似为
2
2
样本平均数，σ近似为样本方差s.
（i）利用该正态分布，求
P（187.8（ii）某用户从该企业购买了
100件这种产品，记
X表示这100件产品中质量指标值位于区
间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.
附：
150≈12.2.
2
若Z～N（μ，σ），则p（μ－σp（μ－2σ18
．解：
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差
s2分别为
＝
17030.02
＋18030.09＋19030.22＋2003
0.33
＋2103
0.24＋2203
0.08＋2303
0.02＝
200.
s2＝（－30）23
0.02＋（－20）230.09＋（－10）23
0.22
＋030.33＋10230.24＋20230.08＋302
30.02＝150.
（2）（i）由
（1）知，Z～N（200，150），从而P（187.86.
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～
B（100，0.6826），所以EX＝10030.6826＝68.26.
19．G5、G11[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图15，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
图15
（1）证明：
AC＝AB1；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．
19．解：
（1）证明：
连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以
6
B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO?
平面ABO，故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
（2）因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A0，0，33，B（1，0，0），B10，3，0，C0，－3，0.
33
33
＝0，3，－3，
＝AB＝1，0，－3，
3
1＝BC＝－1，－33，0.
设n＝（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则
33
3y－3z＝0，
即
3
x－3z＝0.
所以可取n＝（1，3，3）．
设m是平面A1B1C1的法向量，
则
同理可取m＝（1，－3，3）．
n2m1
则cos〈n，m〉＝|n||m|＝7.
1
所以结合图形知二面角AA1B1C1的余弦值为7.
7
x2y2
20．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ
]已知点A（0，－2），椭圆E：
a2＋b2＝1（a>b>0）的
离心率为
3，F是椭圆E的右焦点，直线
AF的斜率为23，O为坐标原点．
2
3
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求
l的方程．
20．解：
（1）设F（c，
2＝23，得c＝3.
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