三角函数大题专项含答案.docx
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三角函数大题专项含答案
三角函数专项训练
22
1.在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1，已知2（sinA-sinC）=
（a-b）sinB.
222
（1）证明a+b—c=ab；
（2）求角C和边c.
2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos（B-丄）.6
（I）求角B的大小；
（n）设a=2,c=3,求b和sin（2A-B）的值.
3.已知a,B为锐角,
tana=
cos（a+B）=-
（1）求cos2a的值;
（2）求tan（a-B）的值.
4.在平面四边形ABCD中，/ADC=90°，/A=45°,AB=2,BD=5.
（1）求cos/ADB;
（2）若DC=2二，求BC.
5.已知函数f（x）=sin2x+：
sinxcosx.
（I）求f（x）的最小正周期;
（n）若f（x）在区间［-
m］上的最大值为
求m的最小值.
6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=!
■（a2
（I）求cosA的值;
（n）求sin（2B-A）的值
jrju兀
7.设函数f（x）=sin（3X-^-）+sin（sx-^）,其中Ovw<3，已知f（^~）=0.（I）求co；
（n）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将
得到的图象向左平移——个单位，得到函数
y=g（x）的图象，求g（x）在［
兀
3兀
4
，4
上的最小值.
&在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为
a,b,c.已知a>b,a=5,
c=6,sinB==
5
（I）求b和sinA的值;
（n）求sin（2A+）的值.
4
9.△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为一
SsinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.
10.AABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（A+C）=8sin^.
（1）求cosB;
（2）若a+c=6,△ABC的面积为2，求b.
11.已知函数f（x）
=|丁、；cos（2x-
）-2sinxcosx.
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：
当x€[-厝|,于]时，f（X）》-寺.
12.已知向量.1=（cosx,sinx）,
b=（3，-V5）,x€[0,n.
（1）若且0b,求x的值;
（2）记f（x）=,求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.
13.在△ABC中，/A=60°,c=a.
（1）求sinC的值；
（2）若a=乙求厶ABC的面积.
14.已知函数f（x）=2sinaXcos3X+cos23X（w>0）的最小正周期为n
（1）求3的值；
（2）求f（x）的单调递增区间.
15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
（1）证明：
A=2B；
2
（2）若cosB=一，求cosC的值.
2
（sinx-cosx）
16.设f（x）=2l：
：
|sin（n-x）sinx-
（I）求f（x）的单调递增区间;
（H）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得
到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）
17.
在厶ABC中，角A,
B,C所对的边分别为
a,
b,
兀
T
已知asin2B=.「bsinA.
的图象，求g（
）的值.
c,
（1）求B；
18.
（2）已知cosA=
在厶ABC中，角A,
求sinC的值.
B,C所对的边分别为a,
b,
c,已知b+c=2acosB.
（I）证明：
A=2B;
19.
（□）若厶ABC的面积S=
，求角A的大小.
在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,
b,
c,且
cosB
+■
b
（I）证明：
sinAsinB=sinC;
（n）若b2+c2-a2=」—bc,求tanB.
5
20.
在厶ABC中，AC=6,cosB=
（1）求AB的长;
21.
（2）求cos（A-
兀
厂）的值.
已知函数f（x）=4tanxsin（
-x）cos（x-
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
IJUIJT
（2）讨论f（x）在区间［-——,——］上的单调性.
44
22.AABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.
（I）求C;
（H）若c=.：
△ABC的面积为
求厶ABC的周长.
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参考答案
22
1.在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1，已知2（sinA-sinC）=
（a-b）sinB.
222
（1）证明a+b—c=ab；
（2）求角C和边c.
【解答】证明：
（1）•••在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,
•••由正弦定理得：
=2R=2,
sinAsinBsinu
•sinA=—,sinB=：
sinC=±,
222
22
•2（sinA—sinC）=（a—b）sinB,
（a-b）丄,
c2=ab,
22
•••2（d_^）=
44
22化简，得：
a+b—
.,222
故a+b—c=ab.
_22
解：
（2）va+b—
Ed
=
ab
1
2ab
=
2ab
2
••cosC^
2
c=ab,
解得C=
兀
y
•••c=2sinC=2?
.一=
）.
2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos（B
（I）求角B的大小;
（n）设a=2,c=3,求b和sin（2A—B）的值.
【解答】解：
（I）在厶ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB,
ginAsinB
又bsinA=acos（B—）.
7T
亦兀
兀
兀
asinB=acos（B-）,
即sinB=cos（B-）
=cosBcos
+sinBsin
|6
|&
6
-L_cosB+
2
•tanB=,
又B€（0,n）,—B=
7L
7T
7
（□）在厶ABC中，a=2,c=3,B=
由余弦定理得b=
=l,由bsinA=acos（B-
），得sinA=^jl,
x/7
■/a/•sin2A=2sinAcosA=
W3
〒
14
3.已知a,
3为锐角，tana=
cos（a+3）=
5
（1）求
cos2a的值;
（2）求
tan（a-3）的值.
【解答】
解:
乩“0_4
gs辽3sin'a+co/a二1
Q为锐角
sinCI=
，解得
COGCL=
•cos2a=
（2）由
（1）得，sin2：
二一J「-「訂I尸
sin2a
24
cos2a
'7
，则tan2a
a,3€（0,
兀
~2
）,-a+3€（0,n）,
cos2A=2cos2A-1=
/•sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=
•sin（a+3）=Vl-cos2（d+p）
则tan（a+3）
tan（a-3）
=tan[2a-（a+3）]=
l+tan2CltantCL+B）
订.
4.在平面四边形
ABCD中，/ADC=90°，/A=45°,AB=2,BD=5.
（1）求cos/ADB;
（2）若DC=2l:
，求BC.
【解答】解：
（1）•••/ADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.
•••由正弦定理得：
一孚一=叫，即——?
——=一匚sIelZAEBginZ：
A日5/ADBsin45
sin/ADB—儿…=二
55
•/ABvBD,•/ADB
•cos/ADB=
V23
（2）•••/ADC=90
•'cos/BDC=sin/ADB=
f（x）的最小正周期;
•/DC=2:
•BC=^BD24-DC2-2XBDXECXcosZBDC
（I）求
（H）若
f（x）在区间
31
m］上的最大值为厶，求m的最小值.
【解答】
解：
（I）函数
f（x）=sin,+「；sinxcosx
L-cos2x
卜；
2
12
sin2x
=sin
（2x-
兀
厂）+
f（x）
2^
2
的最小正周期为
兀
m］上的最大值为
：
■，
7T
5兀
X
卜，2m-
]
若f（X）在区间
[-
可得2x-
即有2m-
兀
~2
，解得m》
7T
—，
则m的最小值为
fT
6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=I（a2
（I）求cosA的值;
（n）求sin（2B-A）的值
【解答】（I）解：
由-二一，得asinB=bsinA,sinksinB
又asinA=4bsinB,得4bsinB=asinA,
由ac=Vs（_b2-c2），得
s缶—二丁
（n）解：
由（I），可得s]_nA=一_
5
由余弦定理，得
ac
，代入asinA=4bsinB,得一：
「一宀"
4b
由（I）知，A为钝角，则B为锐角,
-I2
工曰4
于疋二：
二二上—,一□二二二一-_二5.二
5
2
7.设函数f（x）=sin（3X
7T
）+sin（3X-
，其中Ov
两式作比得：
•••a-2b.
4ba
（I）求3；
（n）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的
（纵坐标不变）
得到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g
兀
37T
4
，4
，再将
（x）在[
]
上的最小值.
【解答】解：
（I）函数f（x）=sin（3X-
JCJT'IT
=sin3xcoscos3xsinsin（
-3X）
_sin3x-
--；cos3X
7T
.：
;sin（（°x_）,
7T
E
兀
兀
-O
3
）=:
；sin（
）=0,
JT
6
=kn,k€Z,
解得o=6k+2,
又0VoV3,
（n）由（I）知，f（x）=.■:
sin（2x_
）,
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的
2倍（纵坐标不变），得到函数y
汀耳sin（x_
）的图象;
再将得到的图象向左平移
7T
T
个单位，得到y=二sin
兀
3
）的图象,
兀
（x+-
•函数y=g（x）=e.Fsin（x_
）；
当x€[_
二sin（x_
•••当x=_
兀
12
JT
T
371
］时，x_
12
，专,
2K
],
）€[_
V3
1],
时，g（x）取得最小值是-
&在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,
3
c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=--
5
（I）求
b和sinA的值;
（n）求
sin（2A+-—
）的值.
【解答】
解：
（I）在厶ABC中，Ta>b,
故由sinB=「，可得cosB=
由已知及余弦定理，有ac2-2accosB=25+3^-2x5x=13,
5
a
sinA
~sinB
由正弦定理
，得sinA=
asinB
13
•-b=I.,sinA=.;
13
（n）由（I）及avc,得cosA=
；,•sin2A=2sinAcosA=
cos2A=1-2sin2A=-丄
13
故sin（2A+晋）=吕讯2尿o日宁"匸皿舉sirr^j=善冥穿令x%^^.
?
9.△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为——
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.
【解答】解：
（1）由三角形的面积公式可得Gab=1acsinB=_:
23sinA
•••3csinBsinA=2a,
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,
■/sinA丰0,
•sinBsinC=^
（2）T6cosBcosC=1,
•-cos（B+C）=-
二
厂,
cosA=Z,
2
•/0VAvn,
•bc=8,
222
■/a=b+c-2bccosA,
22
•-b+c-bc=9,
2
（b+c）=9+3cb=9+24=33,
b+c=._；
周长a+b+c=3+g「；.
10.AABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（A+C）=8sint_.
2
（1）求cosB；
（2）若a+c=6,△ABC的面积为2，求b.
【解答】解：
（1）sin（A+C）=8sin世,
2
.sinB=4（1-cosB）,
22
■/sinB+cosB=1,
/、22
.16（1-cosB）+cosB=1,
22
16（1-cosB）+cosB-1=0,
2
•••16（cosB-1）+（cosB-1）（cosB+1）=0,
•••（17cosB-15）（cosB-1）=0,
•cosB=
15
（2）由
（1）可知sinB=
8
17
'/S^ABC=
•ac=
ac^inB=2,
2
17
2
22222J.715
•b=a+c-2accosB=a+c-2冷，和
222
=a+c-15=（a+c）-2ac-15=36-17-15=4,
•b=2.
11.已知函数f（x）=|［：
、；cos（2x-
）-2sinxcosx.
（I）求f（x）的最小正周期;
（II）求证：
当x€[-
JT
7
］时，f（x）>-y
JT
■3
【解答】解：
（I）f（x）=.；cos（2x
）-2sinxcosx,
（丄co2x+
3
sin2x）-sin2x,
=——cos2x+丄sin2x,
22
兀
=sin（2x+——
3
）,
=
2兀
2
n,
n,
•'•f（x）的最小正周期为
•-丄wsin（2x+——）<1,
23
•f（x）>~~^
12.已知向量3=（cosx,sinx）,b=（3，—帀），x€[0,n.
（1）若F'■/"：
■!
，求x的值;
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.
【解答】解：
（1）•••□=（cosx,sinx）,
•—订‘；cosx=3sinx,
当cosxm0时,
tanx=—會，
x€[o,n,
|5兀
•-x=6,
（2）f（x）=
x€[o,n,
a
•b=3cosx-sinx=
jr
兀
7^,
•-x^rpl
6
6],
••—1wcos（x+
Jw亚，6丿2，
当cosx=0时，sinx=1,不合题意,
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3,
当x=丄时，f（x）有最小值，最小值-2一<
X
3^3
2
14
a,
由正弦定理可得曲=鼻映需
13
14
•.S^ABC=
acsinB=
=6寸■.
X7X3
Vs
7
1
\+
14
2
2
时=昨
147,
13.在△ABC中，/A=60°,c=
（1）求sinC的值;
（2）若a=乙求厶ABC的面积.
【解答】解：
（1）ZA=60°,c=
（2）a=7,贝Uc=3,
•••CvA,
22
■/sinC+cosC=1，又由
（1）可得cosC=
•sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
14.已知函数f（x）=2sinwxcoswx+cos2wx（w>0）的最小正周期为n
（1）求w的值;
（2）求f（x）的单调递增区间.
【解答】解：
f（x）=2sin^xcoswx+cos2wx,
=sin2wx+cos2wx,
）,
由于函数的最小正周期为
n,
27T
）,
解得：
w=1.
37Ur7T
所以函数的单调递增区间为：
兀，石-十k兀］（k€Z）.
QO
15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
（1）证明：
A=2B；
（2）若cosB=二，求cosC的值.
3
【解答】
（1）证明：
Tb+c=2acosB,
/•sinB+sinC=2sinAcosB,
■/sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,
/•sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）,由A,B€（0,n）,
•-0VA-Bvn,•B=A-B,或B=n-（A-B）,化为A=2B,或A=n（舍去）.
•••A=2B.
解：
4二,
sinB=ii-
Vs
3
cosA=cos2B=2cosB-1,sinA=
9
•cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=
16.设f（x）=2_:
sin（n-x）sinx-（sinx-cosx）2.
（I）求f（x）的单调递增区间;
（n）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得
到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g
兀
（T
）的值.
【解答】解：
（I）：
f（x）=2：
sin（n-x）
sinx—（sinx—cosx）
2=2:
:
sin,-1+sin2x
=2.-----
—1+sin2x
=sin2x-tFcos2x+z「：
-1=2sin（2x-
7T
+.■-1,
令2knW2x-
--W2kn+丄
32
，求得knWxWkn+
12
5兀
-rr,
TV
12
12
],k€Z
可得函数的增区间为［kn-
（n）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
—）+卜；-1的图象；
=2sin（x-
（纵坐标不变），可得y
再把得到的图象向左平移
7T
y
个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+.=-1的图象,
兀
—）=2si
7T
n—+
17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=•「；bsinA.
（1）求B;
（2）已知cosA=」-,求sinC的值.
【解答】解：
（1）•••asin2B=UbsinA,
•2sinAsinBcosB=:
-:
sinBsinA,
•-cosB=B=
2
（2）TcosA=L,「.sinA=
3
2V2
3
•••sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
3
c,
18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,
已知b+c=2acosB.
（I）证明：
A=2B;
（□）若厶ABC的面积
【解答】（I）证明：
T
求角A的大小.
b+c=2acosB,
•sinB+sinC=2sinAcosB,
•sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
•sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
•sinB=sinAcosB—cosAsinB=sin（A—B）
•/A,B是三角形中的角,
•B=A—B,
•A=2B;
（n）解：
•••△ABC的面积
•—bcsinA=
2
•2bcsinA=a,
•2sinBsinC=sinA=sin2B,
•sinC=cosB,
•B+C=90°，或C=B+90
•A=90°或人=45°.
19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是
a,b,
casA
1
cosB
sinC
a
+
b
c
c,
（I）证明：
sinAsinB=sinC;
（n）若b2+e2-a2=”.be,求tanB.
5
【解答】（I）证明：
在厶ABC中,
+
b
•••由正弦定理得：
--■
sinA
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