专题十五空间向量的应用.docx
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专题十五空间向量的应用
辅导讲义
学员编号：
年级：
高三课时数：
3
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
授课主题
（基础知识点梳理）
（空间向量应用专题）
（能力提升）
授课日期时段
教学内容
教学目标:
1、理解直线的方向向量与平面的法向量；
2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
3、能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理；
4、能解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究立体几何问题中的应用。
导入
回顾:
1.直线的方向向量与法向量？
2.平面的法向量？
注：
通过提问的方式引入课题，让学生能够迅速进入课堂。
知识梳理
1.平面的法向量
（1）若直线
垂直平面
，取直线
的方向向量
，则向量
叫做平面
的法向量；
（2）若直线
的方向向量
，平面
的法向量
，则
；
（3）若直线
的方向向量
，平面
的法向量
，则
；
（4）若平面
的法向量
，平面
的法向量
，则
2.空间的角
（1）若异面直线
的方向向量为
，；
与
所成的角为
，则
（2）已知直线
的方向向量为
，平面
的法向量
，
与平面
的夹角为
，则
；
（3）已知二面角
的两个面
和
的法向量分别为
，
，则
与该二面角相等或互补；
3．空间的距离
（1）一个点到它在一个平面内射影的距离，叫做点到这个平面的距离；
（2）已知直线
平行平面
，则
上任一点到
的距离都相等，且叫做
到
的距离；
（3）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两平行平面的任两条公垂线段的长度都相等，共垂线段的长度叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离；
（4）若平面
的一个法向量为
，P是平面
外一点，A是
内任一点，则点P到平面
的距离
空间向量应用专题
教学目标
1.掌握与直线平行的方向向量和平面的法向量的概念，会把线面的平行及垂直关系转化为向量关系；
2.会用向量方法证明简单空间图形中直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直、平行，以及解决一些简单的几何证明问题；
3.会在简单的空间图形中用向量方法进行有关距离、角（包括异面直线所成角）的度量的计算.
知识梳理
1.已知空间两点
，
，则
_______；
_______；
_______；若
，
的夹角为
，则
_______．
2.已知平面
外一点
，
面
，
面
，则点
到平面
的距离_______；若
与平面
斜交，
面
，且
是平面
的法向量，则
的几何意义为_______________．
3.已知空间两异面直线，设两直线的方向向量的夹角为
，则两直线的夹角
_______，
_______．
4.已知直线与平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为
，则直线与平面的夹角
_______，
_______．
5.已知二面角
，设
，
的法向量夹角为
，则二面角的平面角
_______，
_______；若
，
分别是在
，
平面内与
垂直的向量，设
，
的夹角为
，则二面角的平面角
_______，
_______．
【答案】
1.
；
；
；
2.
（1）
（2）
到平面
的距离
3.
或
，
4.
或
，
5.
或
，
或
或
，
或
典例精讲
（★★★）如图，已知正三棱柱
的侧棱长和底面边长均为1，
是底面
边上的中点，
是侧棱
上的点，且
.
（1）求异面直线
与
的夹角；
（2）求直线
与平面
所成的角；
（3）求二面角
的平面角的余弦值；
（4）求点
到平面
的距离.
【本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力。
其中
（2）如果不用空间向量会非常繁琐。
】
解法1：
（1）建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，
，
，
，
，设
与
的夹角为
，则
。
（2）
设平面
的一个法向量为
，
，
，
不妨设
，得
，
，
设
与
的夹角为
，则
，所求线面角为
。
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
所以，
，
.
因为
所以
同法可得
.
故﹤
﹥为
的二面角
∴
﹤
﹥＝
故所求二面角
的平面角的余弦值为
.
（4）设
为平面
的一个法向量，则由
得
故可取
.设
与
的夹角为
，
则
.
所以
到平面
的距离为
.
解法2：
（1）
（2）同解法1
（1）
（2）.
（3）因为
是底面
边上的中点，所以
，
又
所以
面
，从而
，
所以
为二面角
的平面角.
又
，
=
连
，得
＝
，
在
中，由余弦定理得
.
故所求二面角
的平面角的余弦值为
.
（4）过
在面
内作直线
，
为垂足.
又
平面
，所以
.于是
平面
，
故
即为
到平面
的距离.
在
中，
＝
.故点
到平面AMN的距离为1.
例1.（★★★）如图，已知四棱锥
的底面
为等腰梯形，
与
相交于点
，且顶点
在底面射影恰好为
，又
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值
（2）求二面角
的大小
（3）设点
在棱
上，且
，问
为何值时，
平面
.
解：
（1）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立直角坐标系.
所以两异面直线所成的角为
（2）求的平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量为
，二面角
的大小为
（3）由条件可得
，设
，
，得
由
，此时
平面
.
课堂检测
1.
（★★★）如图平面
平面
，四边形
与
都是直角梯形，
，
（1）证明：
四点共面；
（2）设
，求二面角
的大小.
【解1】：
（1）延长
交
的延长线于点
，由
得
延长
交
的延长线于
同理可得
故
，即
与
重合
因此直线
相交于点
，即
四点共面.
（2）设
，则
，
取
中点
，则
，又由已知得，
平面
故
，
与平面
内两相交直线
都垂直.所以
平面
，
作
，垂足为
，连结
，
为二面角
的平面角.
，故
所以二面角
的大小
【解2】：
由平面
平面
，
，得
平面
，以
为坐标原点，射线
为
轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（1）设
，
则
故
，从而由点
，得
故
四点共面
（2）设
，则
，
在
上取点
，使
，则
。
从而
又
，
在
上取点
，使
，则
从而
故
与
的夹角等于二面角
的平面角，
所以二面角
的大小
【点评】：
此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；
【突破】：
熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键.
2.
（★★★）如图，在长方体
中，
、
分别是
、
的中点，
、
分别是
、
的中点，
，
．
（1）求证：
//面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求三棱锥
的体积．
解法一：
1.证明：
取
的中点
，连结
∵
分别为
的中点
∵
∴
面
，
面
，∴面
面
∴
面
2.
设
为
的中点，∵
为
的中点，∴
∴
面
，
作
，交
于
，连结
，则由三垂线定理得
从而
为二面角
的平面角.在
中，
，
从而
.在
中，
故：
二面角
的大小为
.
（3）
.
作
，交
于
，由
，得
，∴
.
在
中，
，
∴
.
解法二：
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立直角坐标系，
则
∵
分别是
的中点
∴
（1）
取
，显然
面
，
，
∴
，又
面
，∴
面
，∴过
作
，交
于
，
取
的中点
，则
设
，则
又
由
，及
在直线
上，可得:
解得
∴
∴
即
∴
与
所夹的角等于二面角
的大小
故：
二面角
的大小为
（Ⅲ）设
为平面
的法向量，则
，
.
又
，
，
.
∴
，即
，∴可取
∴
点到平面
的距离为
.
∵
，
.
∴
，
∴
.
学法提炼
空间坐标系是对平面坐标系的扩展，即由平面坐标系的二维扩展到三维。
空间坐标系在解决规则图形时是万能的。
也就是说，只要能建立空间坐标系，就能解决线线、线面以及面面之间的平行、垂直、夹角等几乎所有的相关问题。
用空间坐标系解决线面问题的优点是：
1、方法是绝对的，只要能建立坐标系就能解决。
2、不用具体去分析图形，掌握方法就可以立即下笔。
3、不用作辅助线。
缺点是计算过程比较繁琐，有时候不容易建立坐标系，而且空间坐标系只限于规则的几何图形。
但作为一种方法，“一条必然可以达到成功彼岸的路”，值得我们去学习和掌握。
空间坐标系并不难掌握，只要我们联系平面坐标系，比较起来学习，就会有事半功倍的效果。
例1在四棱锥
中，
底面
为矩形，且
，
分别为
的中点，求证：
（1）
；
（2）
。
小结：
常见类题需要学生能自己动手作图，并且用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内。
例2（辽宁理19））已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：
CM⊥SN；
注：
本题空间坐标系易建立，可用坐标法.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,
），N（
0,0），S（1,
0）
因为
，所以CM⊥SN.
例2（天津理19）在长方体
中，
、
分别是棱
上的点，
=
=
=
.
证明
平面
注：
本题空间坐标系易建立，可用坐标法.
解析：
如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设
依题意得
已知
于是
·
=0，
·
=0.因此，
又
所以
平面
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量
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