专题十五空间向量的应用.docx

1、专题十五空间向量的应用辅导讲义学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 (基础知识点梳理)（空间向量应用专题） （能力提升）授课日期时段 教学内容教学目标: 1、理解直线的方向向量与平面的法向量；2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；3、能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理；4、能解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究立体几何问题中的应用。导入 回顾:1.直线的方向向量与法向量？ 2.平面的法向量？注：通过提问的方式引入课题，让学生能够迅速进入课堂。知识梳理 1. 平面的法向量（1） 若直线垂直平面，取直

2、线的方向向量，则向量叫做平面的法向量；（2） 若直线的方向向量，平面的法向量，则；（3） 若直线的方向向量，平面的法向量，则；（4）若平面的法向量，平面的法向量，则2. 空间的角（1） 若异面直线的方向向量为，；与所成的角为，则（2） 已知直线的方向向量为，平面的法向量，与平面的夹角为，则；（3） 已知二面角的两个面和的法向量分别为，则与该二面角相等或互补；3空间的距离（1）一个点到它在一个平面内射影的距离，叫做点到这个平面的距离；（2）已知直线平行平面，则上任一点到的距离都相等，且叫做到的距离；（3）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面

3、的公垂线段，两平行平面的任两条公垂线段的长度都相等，共垂线段的长度叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离；（4）若平面的一个法向量为，P是平面外一点，A是内任一点，则点P到平面的距离空间向量应用专题教学目标1. 掌握与直线平行的方向向量和平面的法向量的概念，会把线面的平行及垂直关系转化为向量关系；2. 会用向量方法证明简单空间图形中直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直、平行，以及解决一些简单的几何证明问题；3. 会在简单的空间图形中用向量方法进行有关距离、角（包括异面直线所成角）的度量的计算.知识梳理 1. 已知空间两点，则_； _； _；若，的夹角为，则_2. 已知

4、平面外一点，面，面，则点到平面的距离_；若与平面斜交，面，且是平面的法向量，则的几何意义为_3. 已知空间两异面直线，设两直线的方向向量的夹角为，则两直线的夹角_， _4. 已知直线与平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角_， _5. 已知二面角，设，的法向量夹角为，则二面角的平面角_， _；若，分别是在，平面内与垂直的向量，设，的夹角为，则二面角的平面角_， _【答案】1. ； 2.（1） （2）到平面的距离3.或， 4.或， 5.或，或 或，或典例精讲 （）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且.（1）求异面直线与的夹角

5、；（2）求直线与平面所成的角；（3）求二面角的平面角的余弦值；（4）求点到平面的距离.【本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力。其中（2）如果不用空间向量会非常繁琐。】解法1：（1）建立如图所示的空间直角坐标系：，设与的夹角为，则。（2）设平面的一个法向量为，不妨设，得，设与的夹角为，则，所求线面角为。（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则，,， ，所以，,.因为,所以,同法可得.故为的二面角故所求二面角的平面角的余弦值为.(4)设为平面的一个法向量， 则由得故可取. 设与的夹角为，则.所以到平面的距离为.解法2：

6、（1）（2）同解法1（1）（2）.（3）因为是底面边上的中点， 所以，又,所以面，从而, ，所以为二面角的平面角.又， =,连，得，在中，由余弦定理得.故所求二面角的平面角的余弦值为.（4）过在面内作直线，为垂足.又平面，所以. 于是平面，故即为到平面的距离.在中， .故点到平面AMN的距离为1.例1. （）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面射影恰好为，又（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求二面角的大小（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面.解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系.,所以两异面直线所成的角为,（2）求的平面的一个法向量，平面的一个法向量

7、为,，二面角的大小为（3）由条件可得，设，得, ,由，此时平面.课堂检测1. （）如图平面平面，四边形与都是直角梯形， ， （1）证明：四点共面；（2）设，求二面角的大小.【解1】：（1）延长交的延长线于点，由得 延长交的延长线于,同理可得 故，即与重合 因此直线相交于点，即四点共面.（2）设，则， 取中点，则，又由已知得，平面故，与平面内两相交直线都垂直.所以平面，作，垂足为，连结，为二面角的平面角.，故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（1）设，则,故，从而由点，得故四点共面（2）设， 则， 在上取点，使，则。从而又，在上取

8、点，使，则从而故与的夹角等于二面角的平面角， 所以二面角的大小【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键.2. （）如图，在长方体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，（1）求证： /面；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积解法一： 1.证明：取的中点，连结 分别为的中点 , 面，面， 面面, 面2.设为的中

9、点，为的中点 ， ,面，作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角.在中，从而.在中， 故：二面角的大小为.（3）.作，交于，由，得，.在中，.解法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则 分别是的中点（1）, 取，显然面， ，又面，面，过作，交于，取的中点，则设，则,又由，及在直线上，可得:,解得, 即与所夹的角等于二面角的大小 故：二面角的大小为（）设为平面的法向量， 则，. 又，.，即，可取点到平面的距离为.，.，.学法提炼空间坐标系是对平面坐标系的扩展，即由平面坐标系的二维扩展到三维。空间坐标系在解决规则图形时是万能的。也就是说，只要能建立空间坐标系，就能解

10、决线线、线面以及面面之间的平行、垂直、夹角等几乎所有的相关问题。用空间坐标系解决线面问题的优点是：1、方法是绝对的，只要能建立坐标系就能解决。2、不用具体去分析图形，掌握方法就可以立即下笔。3、不用作辅助线。缺点是计算过程比较繁琐，有时候不容易建立坐标系，而且空间坐标系只限于规则的几何图形。但作为一种方法，“一条必然可以达到成功彼岸的路”，值得我们去学习和掌握。空间坐标系并不难掌握，只要我们联系平面坐标系，比较起来学习，就会有事半功倍的效果。例1在四棱锥中，底面为矩形，且，分别为的中点，求证：（1）；（2）。小结：常见类题需要学生能自己动手作图，并且用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基

11、线不在平面内。例2(辽宁理19）已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；注：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1, ,0）,因为， 所以CMSN . 例2(天津理19) 在长方体中，、分别是棱,上的点， =, =.证明平面注：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得, , ,已知, ,于是=0，=0.因此，, ,又所以平面 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量