中考数学专题指导4新定义概念问题.docx
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中考数学专题指导4新定义概念问题
中考数学专题指导
第四讲新定义概念问题
（一）考点解析：
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点.
解题关键要把握两点：
一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
（二）考点训练
考点1：
定义新数
【典型例题】：
（2017重庆B）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：
F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：
k=
，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【分析】
（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=
中，找出最大值即可．
【解答】解：
（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴
或
或
或
或
或
．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴
或
或
，
∴
或
或
，
∴
或
或
，
∴k的最大值为
．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；
（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程．
方法归纳总结：
对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分理解，结合相应知识，才能顺利解答．
考点2：
定义新运算
【典型例题】：
（2017广西百色）阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：
“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=11×（﹣1）+2×3=51×（﹣3）+2×1=﹣11×1+2×（﹣3）=﹣5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：
（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：
3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4） ．
【考点】57：
因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．
【解答】解：
3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：
（x+3）（3x﹣4）
【变式训练】：
（2017日照）阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：
d=
．
例如：
求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：
由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d=
=
．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：
点P1（3，4）到直线y=﹣
x+
的距离为 4 ；
问题2：
已知：
⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣
x+b相切，求实数b的值；
问题3：
如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
【考点】FI：
一次函数综合题．
【分析】
（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：
（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=
=4，
故答案为4．
（2）∵⊙C与直线y=﹣
x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，
∴
=1，
解得b=5或15．
（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d=
=3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值=
×2×4=4，S△ABP的最小值=
×2×2=2．
方法归纳总结：
理解新运算法则是解题的关键．
考点3：
定义新概念
【典型例题】：
经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 113°或92° ．
【考点】S7：
相似三角形的性质；KH：
等腰三角形的性质．
【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．
【解答】解：
∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=
=67°，
∴∠ACB=67°+46°=113°，
②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，
∴∠ACB=46°+46°=92°，
故答案为113°或92°．
【变式训练】：
（2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量
可以用点P的坐标表示为
=（m，n）．
已知：
=（x1，y1），
=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么
与
互相垂直，下列四组向量：
①
=（2，1），
=（﹣1，2）；
②
=（cos30°，tan45°），
=（1，sin60°）；
③
=（
﹣
，﹣2），
=（
+
，
）；
④
=（π0，2），
=（2，﹣1）．
其中互相垂直的是 ①③④ （填上所有正确答案的符号）．
【分析】根据向量垂直的定义进行解答．
【解答】解：
①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以
与
互相垂直；
②因为cos30°×1+tan45°•sin60°=
×1+1×
=
≠0，所以
与
不互相垂直；
③因为（
﹣
）（
+
）+（﹣2）×
=3﹣2﹣1=0，所以
与
互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以
与
互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：
①③④．
【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形．解题的关键是掌握向量垂直的定义．
方法归纳总结：
解题关键是理解新定义，再结合已学知识解答．
考点4：
定义新法则
【典型例题】：
（2017内蒙古赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=
，则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C，
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．
解：
S△DEF=
EF×DFsin∠F= 6
；
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 49 ．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：
S1+S2=S3+S4．
【考点】KY：
三角形综合题．
【分析】
（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；
（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；
方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．
【解答】解：
（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S△DEF=
EF×DFsin∠F=
×3×8×sin60°=6
，
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，
故答案为：
6
，49；
（2）证明：
方法1，∵∠ACB=60°，
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，
两边同时乘以
sin60°得，
AB2sin60°=
AC2sin60°+
BC2sin60°﹣
AC•BCsin60°，
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S1=
AC•BCsin60°，S2=
AB2sin60°，S3=
BC2sin60°，S4=
AC2sin60°，
∴S2=S4+S3﹣S1，
∴S1+S2=S3+S4，
方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴S1=
absin∠C=
absin60°=
ab
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S2=
c•c•sin60°=
c2，S3=
a•a•sin60°=
a2，S4=
b•b•sin60°=
b2，
∴S1+S2=
（ab+c2），S3+S4=
（a2+b2），
∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，
∴a2+b2=c2+ab，
∴S1+S2=S3+S4．
【变式训练】：
（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们
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