离散课后习题答案5.docx
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离散课后习题答案5
第十四章部分课后习题参考答案
5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至
G
∆、
少有多少个顶点在最少顶点的情况下，写出度数列、
解：
由握手定理图G的度数之和为：
21020
（）（G）。
3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。
其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2,
所以，G至少有7个顶点,出度数列为3,3,4,4,2,2,2,∆（
）4,
（）2.
GG
7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求
∆（D）,（D），
∆（D）,
（）,∆
D
（D）,
（D）.
解：
D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.
∆（）3,（）2,∆
DD
（D）2,
（）1,∆
D
（D）2,
（D）1
8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少
个顶点
解：
由握手定理图G的度数之和为：
2612
设2度点x个，则31512x12，x2，该图有4个顶点.
14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的对可图化的数列，试给出3种非同
构的无向图，其中至少有两个时简单图。
（1）2,2,3,3,4,4,5
（2）2,2,2,2,3,3,4,4解：
（1）2+2+3+3+4+4+5=23是奇数，不可图化；
（2）2＋2+2+2+3+3+4+4=16,是偶数，可图化；
18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。
证明：
4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列
1
为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。
但3，3，1，1对应的图不是简单图。
所以
从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：
所以，G1、G2、G3至少有两个是同构的。
20、已知n阶无向简单图G有m条边，试求G的补图G的边数m′。
−
解：
′n（n−1）
m2m
21、无向图G如下图
（1）求G的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥；
（2）求G的点连通度k（G）与边连通度（G）。
ae1
e2d
e
be5
解：
点割集:
{a,b},（d）
e3e4
c
边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}
k
（）=（
GG
）=1
k
23、求G的点连通度（
G
）、边连通度（
G
）与最小度数（）。
G
k
解：
（G）2、（G）3
、（）4
G
28、设n阶无向简单图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m问这样的无向图有几种
非同构的情况
⎨
3
解：
⎧
n2m
得n=6,m=9.
⎩2n−3m
2
31、设图G和它的部图G的边数分别为m和m，试确定G的阶数。
解：
mm
n（n1）
2
−1
得n
18（mm）
2
45、有向图D如图
（1）求v到v长度为1，2，3，4的通路数；
（2）求v到v长度为1，2，3，4的回路数；
（3）求D中长度为4的通路数；
（4）求D中长度小于或等于4的回路数；
（5）写出D的可达矩阵。
v1v4
v5
v2v3
解：
有向图D的邻接矩阵为：
⎛0000
⎜1
0
1
0
0⎟
⎜0
0
0
0
2⎟
⎜0
2
0
2
0⎟
⎜
0
⎝
⎜0101
1⎞
⎟
1⎟，A
⎟
⎠
⎛01
⎜
⎜
A⎜0
0
0
0
⎟
⎜
1
0
1
⎟
⎜
0
2
0
⎟
⎜1
0
1
0
0⎟
⎜0
0
0
0
2⎟
⎜0
2
0
2
0⎟
⎜0
⎜
⎝20
010⎞
⎟
0⎟A
⎟
0
20⎠
⎛20200⎞
⎜⎟
⎜20⎟
4
⎜⎟
⎝0000⎠
⎛00004⎞
⎜⎟
⎜40400⎟
⎜00004⎟
A⎜⎟
⎜40400⎟
0
⎜⎟
⎝0404⎠
AA
AA
⎛01
⎜
⎜52
⎜21
⎜
⎜42
⎜
⎝25
215⎞
⎟
522⎟
215⎟
⎟
522⎟
⎟
4
25⎠
（1）v到v长度为1，2，3，4的通路数为0,2,0,0；
（2）v到v长度为1，2，3，4的回路数为0,0,4,0；
（3）D中长度为4的通路数为32；
（4）D中长度小于或等于4的回路数10；
3
⎛1
⎜
⎜1
（4）出D的可达矩阵⎜1
P⎜
⎜1
⎜
⎝1
1111⎞
⎟
1111⎟
1111⎟
⎟
1111⎟
1
⎠
111⎟
第十六章部分课后习题参考答案
1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.
2、一棵无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，问T有
几个顶点
解：
设3度分支点x个，则
51323x2（53x−1），解得x3
T有11个顶点
3、无向树T有8个树叶，2个3度分支点，其余的分支点都是4度顶点，问T有几个4
度分支点根据T的度数列，请至少画出4棵非同构的无向树。
解：
设4度分支点x个，则
81234x2（82x−1），解得x2
度数列
4
4、棵无向树T有
n
几片树叶
（i=2，3，…，k）个i度分支点，其余顶点都是树叶，问T应该有
解：
设树叶片，则
x
i
nix12（n
x−1），解得x（
−2）n2
评论：
2，3，4题都是用了两个结论,一是握手定理，二是mn−1
至
5、n（n≥3）阶无向树T的最大度
少为几最多为几
解：
2，n-1
6、若n（n≥3）阶无向树T的最大度
=2，问T中最长的路径长度为几
解：
n-1
7、证明：
n（n≥2）阶无向树不是欧拉图.证明：
无向树没有回路，因而不是欧拉图。
8、证明：
n（n≥2）阶无向树不是哈密顿图.证明：
无向树没有回路，因而不是哈密顿图。
9、证明：
任何无向树T都是二部图.
证明：
无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。
10、什么样的无向树T既是欧拉图，又是哈密顿图解：
一阶无向树
14、设e为无向连通图G中的一条边，e在G的任何生成树中，问e应有什么性质
解：
e是桥
15、设e为无向连通图G中的一条边，e不在G的任何生成树中，问e应有什么性质
解：
e是环
23、已知n阶m条的无向图G是k（k≥2）棵树组成的森林，证明：
m=n-k.；证明：
数学归纳法。
k=1时,m=n-1，结论成立；
设k=t-1（t-1≥1）时，结论成立，当k=t时,无向图G是t棵树组成的森林,任取两棵
树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。
则所得新图有t-1棵树，所以m=n-（k-1）.
所以原图中m=n-k
得证。
24、在图所示2图中，实边所示的生成子图T是该图的生成树.
（1）指出T的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.
5
（2）指出T的所有树枝，及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.
（a）（b）
图
解：
（a）T的弦：
c,d,g,h
T的基本回路系统:
S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}}
T的所有树枝:
e,a,b,f
T的基本割集系统:
S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}
（b）有关问题仿照给出
25、求图所示带权图中的最小生成树.
（a）（b）
图
解：
注：
答案不唯一。
37、画一棵权为3，4，5，6，7，8，9的最优2叉树，并计算出它的权.
6
38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码
A1={0，10，110，1111}是前缀码A2={1，01，001，000}是前缀码A3={1，11，101，001，0011}不是前缀码A4={b，c，aa，ac，aba，abb，abc}是前缀码A5={b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba}不是前缀码
41.设7个字母在通信中出现的频率如下:
a:
35%b:
20%c:
15%d:
10%e:
10%f:
5%
g:
5%
用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.
并指出传输10n（n≥2）个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字.
解：
a:
01b:
10c:
000d:
110e:
001f:
1111g:
1110
W（T）=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255
传输10n（n≥2）个按上述频率出现的字母，需要255*10n-2个二进制数字.
7
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