版优化方案高一数学人教版必修三学案第一章算法初步111算法的概念.docx
《版优化方案高一数学人教版必修三学案第一章算法初步111算法的概念.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版优化方案高一数学人教版必修三学案第一章算法初步111算法的概念.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
版优化方案高一数学人教版必修三学案第一章算法初步111算法的概念
1．1 算法与程序框图
1．1.1 算法的概念
1．问题导航
（1）我国古代盛行一时的计算工具是什么？
（2）求解一般的二元一次方程组分几个步骤？
（3）请同学们总结算法的特征是什么？
（4）怎样判断整数n（n＞2）是否为质数？
2．例题导读
通过对例1的学习，学会写判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法；
通过对例2的学习，学会写求任意一个方程的近似解的算法．
通过以上两例，体会到算法具有以下特性：
①有穷性；②确定性；③有序性；④不唯一性；⑤普遍性．
1．算法的概念
12世纪的算法
指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程．
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
2.设计算法的目的
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
1．判断下列各题．（对的打“√”，错的打“×”）
（1）算法就是某个问题的解决过程；（ ）
（2）算法执行后可以不产生确定的结果；（ ）
（3）解决某类问题的算法是唯一的．（ ）
解析：
算法是某一类问题的解决步骤，不是某个问题的解决过程，它的每一步是确定的，产生的结果也是确定的．
答案：
（1）×
（2）× （3）×
2．下列语句表达的是算法的有（ ）
①拨本地电话的过程为：
1提起话筒；2拨号；3等复话信号；4开始通话或挂机；5结束通话；
②利用公式V＝Sh计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积；
③x2－2x－3＝0；
④求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….
A．①②B．①②③
C．①②④D．①②③④
解析：
选A.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个纯数学问题，不是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．
3．输入一个x值，利用y＝|x－1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步：
输入x；
第二步：
________；
第三步：
当x<1时，计算y＝1－x；
第四步：
输出y.
解析：
以x－1与0的大小关系为分类准则知第二步应填当x≥1时，计算y＝x－1.
答案：
当x≥1时，计算y＝x－1
4．任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积．
（链接教材P5练习1）
解：
算法步骤：
第一步，给定一个正实数r；
第二步，计算以r为半径的圆的面积S＝πr2；
第三步，得到圆的面积S.
算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言．
写算法应注意以下几点：
1．写出的算法，必须能解决一类问题（如：
判断一个整数n（n>1）是否为质数；求任意一个方程的近似解；…），并且能够重复使用．
2．要使算法尽量简单、步骤尽量少．
3．要保证算法正确，且计算机能够执行，如：
让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．
算法的概念
以下关于算法的说法正确的是（ ）
A．描述算法可以有不同的方式，可用自然语言也可用其他语言
B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果
D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果
[解析] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题，故B不正确．
算法过程要一步一步执行，每一步执行操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，故C、D都不正确．
描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言等，故A正确．
[答案] A
方法归纳
（1）算法有如下特点：
确定性、有序性、有穷性、普遍性、不唯一性．
（2）算法实际上就是解决问题的一种程序化方法，它通常是指解决某一类问题，而解决的过程是程序性和构造性的，正确理解算法的概念和特点是解决此类问题的关键．
扫一扫 进入91导学网（）
算法的概念
1．下列语句表述为算法的是（ ）
①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；
②利用公式S＝
ah计算底为1，高为2的三角形面积；
③
x>2x＋4；
④求M（1，2）与N（－3，－5）两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．
A．①②③ B．①③④
C．①②④D．②③④
解析：
选C.算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都表达了一种算法．
计算类问题的算法设计
写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
[解] 法一：
算法如下．
第一步 将方程左边因式分解，得（x－3）（x＋1）＝0；①
第二步 由①得x－3＝0，②或x＋1＝0；③
第三步 解②得x＝3，解③得x＝－1.
法二：
算法如下．
第一步 移项，得x2－2x＝3；①
第二步 ①式两边同时加1并配方，得（x－1）2＝4；②
第三步 ②式两边开方，得x－1＝±2；③
第四步 解③得x＝3或x＝－1.
法三：
算法如下．
第一步 计算方程的判别式并判断其符号Δ＝（－2）2＋4×3＝16＞0；
第二步 将a＝1，b＝－2，c＝－3，代入求根公式x1，x2＝
，得x1＝3，x2＝－1.
方法归纳
本题体现了算法的不唯一性，比较以上三个算法，可以看出法三中的算法最简单、步骤最少，并且具有通用性．因此，在设计算法时，首先考虑是否有公式可用，利用公式解决问题是最理想的方法；其次要综合各方面的因素，选择一种较好的算法．
2．
（1）已知平面直角坐标系中点A（－2，0），B（3，1），写出求直线AB方程的一个算法．
解：
法一：
算法如下．
第一步 求出直线AB的斜率k＝
＝
；
第二步 选定A（－2，0），用点斜式写出直线AB的方程y－0＝
[x－（－2）]；
第三步 将第二步的运算结果化简，得到方程x－5y＋2＝0.
法二：
算法如下．
第一步 设直线AB的方程为y＝kx＋b；
第二步 将A（－2，0），B（3，1）代入第一步设出的方程，得到
第三步 解第二步所得的方程组，得到k＝
，b＝
；
第四步 把第三步得到的结果代入第一步所设的方程中，得到y＝
x＋
；
第五步 将第四步所得的结果整理，得到方程x－5y＋2＝0.
（2）已知球的表面积为16π，写出求球的体积的一个算法．
解：
法一：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算R＝
（由于S＝4πR2）．
第三步，计算V＝
πR3.
第四步，输出运算结果．
法二：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算V＝
π（
）3.
第三步，输出运算结果．
非计算类问题的算法设计
请你设计一个算法，找出a，b，c，d四个互不相同的数中的最小值．
[解] 算法如下：
第一步，定义最后求得的最小数为min，使min＝a.
第二步，如果b＜min，则min＝b；如果b＞min，则min＝原min.
第三步，如果c＜min，则min＝c；如果c＞min，则min＝原min.
第四步，如果d＜min，则min＝d；如果d＞min，则min＝原min.
第五步，输出min，则min就是a、b、c、d中的最小值．
[互动探究] 本例若改为求a、b、c、d四个互不相同的数中的最大值，设计一个算法．
解：
算法如下：
第一步，定义最后求得的最大数为max，使max＝a.
第二步，如果b＞max，则max＝b；如果b＜max，则max＝原max.
第三步，如果c＞max，则max＝c；如果c＜max，则max＝原max.
第四步，如果d＞max，则max＝d；如果d＜max，则max＝原max.
第五步，输出max，则max就是a、b、c、d中的最大者．
方法归纳
算法原理与平时的解题原理不能等同，要注意两者之间的区别．在设计此题算法时，每一步都必须是比较两个数的大小，直至找到众多数中的最小（大）者为止．
3．
（1）早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个过程．则下列选项中最好的一种算法是（ ）
A．S1洗脸刷牙；S2刷水壶；S3烧水；S4泡面；S5吃饭；S6听广播
B．S1刷水壶；S2烧水同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭；S5听广播
C．S1刷水壶；S2烧水同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭同时听广播
D．S1吃饭同时听广播；S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶
解析：
选C.因为A选项共用时间36min，B选项共用时间31min，C选项共用时间23min，D选项的算法步骤不符合常理．
（2）假如你要乘火车去外地办事，请写出从自己房间出发到坐在车厢内的主要三步：
第一步：
________；第二步：
________；第三步：
________．
答案：
去火车站 买火车票 凭票上车、对号入座
规范解答
求分段函数的函数值
（本题满分12分）已知函数
y＝
试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
[解] 算法如下：
第一步，输入x；2分
第二步，当x≤－1时，计算y＝2x－1，否则执行第三步；5分
第三步，当x＜2时，计算y＝log3（x＋1），否则执行第四步；8分
第四步，计算y＝x4；10分
第五步，输出y.12分
[规范与警示]
在解题过程中注意输入及输出语句．
分段函数求函数值的算法要注意运用分类讨论的思想，本步是整个解题的关键所在．
（1）算法步骤一定要完整、清晰．对算法的特征理解不全面，认为直接判断x的值即可，从而缺少输入语句；或求出y的值就算完成了算法．实际上，任何一个算法必须有输入、输出语句，才能得到所需的数据或结果．
（2）分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．
1．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是（ ）
A．这个算法可以求方程所有的零点
B．这个算法可以求任何方程的零点
C．这个算法能求方程所有的近似零点
D．这个算法并不一定能求方程所有的近似零点
解析：
选D.二分法求方程零点的算法中，仅能求方程的一些特殊的近似零点（满足函数零点存在性定理的条件），则D正确．
2．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，________．
第三步，________．
第四步，输出计算结果．
解析：
要计算平均分，应先计算出三科的总分．第二步应为：
计算总分D＝A＋B＋C.第三步应为：
计算平均成绩E＝
.
答案：
计算总分D＝A＋B＋C 计算平均成绩E＝
3．下面给出一个问题的算法：
第一步，输入a.
第二步，若a≥4，则执行第三步；否则，执行第四步．
第三步，输出2a－1；
第四步，输出a2－2a＋3.
则这个算法解决的问题是________，当输入的a＝________时，输出的数值最小．
解析：
这个算法解决的问题是求分段函数
f（x）＝
的函数值的问题．
当x≥4时，f（x）＝2x－1≥7；
当x<4时，f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2.
∴f（x）min＝2，此时x＝1.
∴当输入的a的值为1时，输出的数值最小．
答案：
求分段函数f（x）＝
的函数值 1
[A.基础达标]
1.下列关于算法的说法错误的是（ ）
A．一个算法的步骤是可逆的
B．描述算法可以有不同的方式
C．设计算法要本着简单方便的原则
D．一个算法不可以无止境地运算下去
解析：
选A.由算法定义可知B、C、D对，A错．
2.下列可以看成算法的是（ ）
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
解析：
选A.A是学习数学的一个步骤，所以是算法．
3．阅读下面的四段话，其中不是算法的是（ ）
A．求1×2×3的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，最终结果为6
B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C．方程x2－1＝0有两个实数根
D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，6＋4＝10，10＋5＝15，最终结果为15
解析：
选C.A、B、D中，都是解决问题的步骤，则A、B、D是算法．
4．（2015·东营高一检测）一个算法步骤如下：
S1，S取值0，i取值1；
S2，如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；
S3，计算S＋i并将结果代替S；
S4，用i＋2的值代替i；
S5，转去执行S2；
S6，输出S.
运行以上步骤后输出的结果S＝（ ）
A．16 B．25
C．36D．以上均不对
解析：
选B.由以上计算可知：
S＝1＋3＋5＋7＋9＝25，答案为B.
5．有如下算法：
第一步，输入不小于2的正整数n.
第二步，判断n是否为2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除，则n满足条件．
则上述算法满足条件的n是（ ）
A．质数B．奇数
C．偶数D．约数
解析：
选A.根据质数、奇数、偶数、约数的定义可知，满足条件的n是质数．
6．下列各式中S的值不能用算法求解的是________．
①S＝12＋22＋32＋42＋…＋1002；
②S＝
＋
＋
＋
＋…＋
；
③S＝1＋2＋3＋4＋5＋…；
④S＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100.
解析：
根据算法的有限性知③不能用算法求解．
答案：
③
7.写出作y＝|x|图象的算法．
第一步，当x＞0时，作出第一象限的角平分线．
第二步，当x＝0时，即为原点．
第三步，________________________．
解析：
依据算法解决的问题知，第三步应为“当x＜0时，作出第二象限的角平分线”．
答案：
当x＜0时，作出第二象限的角平分线
8.如下算法：
第一步，输入x的值；
第二步，若x≥0，则y＝x；
第三步，否则，y＝x2；
第四步，输出y的值．
若输出的y值为9，则x＝________．
解析：
根据题意可知，此为求分段函数y＝
函数值的算法，当x≥0时，x＝9；当x＜0时，x2＝9，所以x＝－3.
答案：
9或－3
9.写出求方程组
的解的算法．
解：
法一：
第一步，①－②得：
2x＝14＋2； ③
第二步，解方程③得：
x＝8;④
第三步，将④代入②得：
8＋2y＝－2;⑤
第四步，解⑤得：
y＝－5；
第五步，得到方程组的解为
.
法二：
第一步，由②式移项可得：
x＝－2－2y;③
第二步，把③代入①得：
y＝－5;④
第三步，把④代入③得：
x＝8；
第四步，得到方程组的解为
.
10.试设计一个判断圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法．
解：
第一步，输入圆心的坐标（a，b）、直线方程的系数A、B、C和半径r.
第二步，计算z1＝Aa＋Bb＋C.
第三步，计算z2＝A2＋B2.
第四步，计算d＝
.
第五步，如果d>r，则输出“相离”；如果d＝r，则输出“相切”；如果d[B.能力提升]
1.（2015·青岛质检）结合下面的算法：
第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
第三步，输出x－1.
当输入的x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为（ ）
A．－1，0，1 B．－1，1，0
C．1，－1，0D．0，－1，1
解析：
选C.根据x值与0的关系选择执行不同的步骤．
2．对于求18的正因数，给出下面的两种算法：
算法1：
第一步，1是18的正因数，将1列出．
第二步，2是18的正因数，将2列出．
第三步，3是18的正因数，将3列出．
第四步，4不是18的正因数，将4剔除．
…
第十八步，18是18的正因数，将18列出．
算法2：
第一步，18＝2×9.
第二步，18＝2×32.
第三步，列出所有的正因数1，2，3，32，2×3，2×32.
则这两个算法（ ）
A．都正确
B．算法1正确，算法2不正确
C．算法1不正确，算法2正确
D．都不正确
解析：
选A.算法1是用1～18的整数逐一验证，得出的正因数．算法2利用因数分解得到18的正因数．两种算法都正确．故选A.
3．求过P（a1，b1）、Q（a2，b2）两点的直线斜率有如下的算法，请将算法补充完整：
S1 取x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2.
S2 若x1＝x2，则输出斜率不存在；否则，________．
S3 输出计算结果k或者无法求解信息．
解析：
根据直线斜率公式可得此步骤．
答案：
k＝
4.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，该船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊．该人将动物转移过河的算法如下．请在横线上填上适当的步骤：
第一步，人带两只狼过河，并自己返回．
第二步，人带一只狼过河，自己返回．
第三步，________________________________________________________________________.
第四步，人带一只羚羊过河，自己返回．
第五步，人带两只狼过河．
解析：
因为没有人在的时候，狼的数量应少于羚羊的数量，因此第三步人应带两只羚羊过河，且再带回两只狼．
答案：
人带两只羚羊过河，并带两只狼返回
5．国际奥委会宣布2020年夏季奥运会主办城市为日本的东京；据《中国体育报》报道：
对参与竞选的5个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是：
首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后进行第二轮投票；如果第二轮投票仍没选出主办城市，将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个主办城市为止，写出投票过程的算法．
解：
算法如下：
第一步，投票．
第二步，统计票数，如果一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权，否则淘汰得票数最少的城市转第一步．
第三步，宣布主办城市．
6.（选做题）“韩信点兵”问题：
韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋．据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：
①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．
解：
第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：
2.
第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：
2，5，8，11，14，17，20，….
第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：
8.
第四步，然后在自然数内在8的基础上依次加上15，得到8，23，38，53，….
第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数：
53.
即士兵至少有53人．
升级会员 