理论力学基本概念.docx
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理论力学基本概念
静力学基础
静力学就是研究物体平衡一般规律得科学。
这里所研究得平衡就是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。
物体得静止状态就是物体运动得特殊形式、根据牛顿定律可知,物体运动状态得变化取决于作用在物体上得力。
那么在什么条件下物体可以保持平衡,就是一个值得研究并有广泛应用背景得课题,这也就是静力学得主要研究内容。
本章包括物体得受力分析、力系得简化、刚体平衡得基本概念与基本理论。
这些内容不仅就是研究物体平衡条件得重要基础,也就是研究动力学问题得基础知识。
一、力学模型
在实际问题中,力学得研究对象（物体）往往就是十分复杂得,因此在研究问题时,需要抓住那些带有本质性得主要因素,而略去影响不大得次要因素,引入一些理想化得模型来代替实际得物体,这个理想化得模型就就是力学模型。
理论力学中得力学模型有质点、质点系、刚体与刚体系。
质点:
具有质量而其几何尺寸可忽略不计得物体。
质点系:
由若干个质点组成得系统。
刚体:
就是一种特殊得质点系,该质点系中任意两点间得距离保持不变。
刚体系:
由若干个刚体组成得系统。
对于同一个研究对象,由于研究问题得侧重点不同,其力学模型也会有所不同。
例如:
在研究太空飞行器得力学问题得过程中,当分析飞行器得运行轨道问题时,可以把飞行器用质点模型来代替;当研分析飞行器在空间轨道上得对接问题时,就必须考虑飞行器得几何尺寸与方位等因素,可以把飞行器用刚体模型来代替、当研究飞行器得姿态控制时,由于飞行器由多个部件组成,不仅要考虑它们得几何尺寸,还要考虑各部件间得相对运动,因此飞行器得力学模型就就是质点系、刚体系或质点系与刚体系得组合体。
二、基本定义
力就是物体间相互得机械作用,从物体得运动状态与物体得形状上瞧,力对物体得作用效应可分为下面两种。
外效应:
力使物体得运动状态发生改变。
内效应:
力使物体得形状发生变化（变形）。
对于刚体来说,力得作用效应不涉及内效应。
刚体上某个力得作用,可能使刚体得运动状态发生变化,也可能引起刚体上其它力得变化。
例如一重为W得箱子放在粗糙得水平地面上（如图1－１a所示）,人用力水平推箱子,当推力F为零时,箱子静止,只受重力W与地面支撑力得作用、当推力由小逐步增大时,箱子可能还保持静止状态,但地面作用在箱子上得力就不仅仅就是支撑力,还要有摩擦力得作用（如图1-1ｂ）。
随着推力得逐步增大,箱子得运动状态就会发生变化,箱子可能平行移动,也可能绕A点转动,或既有移动又有转动。
静力学就就是要研究物体在若干个力作用下得平衡条件、为此,需要描述作用于物体上力得类型与有关物理量得定义等。
力系:
作用在物体上若干个力组成得集合,记为。
力偶:
一种特殊得力系,该力系只有两个力构成,其中 （大小相等,方向相反）,且两个力得作用线不重合。
有时力偶也用符号表示,如图1—２所示。
（b）
（a）
（c）
图1-2
等效力系:
若力系与力系对同一刚体产生相同得作用效果（运动、约束力等）,称这两个力系就是等效力系,记为。
平衡力系:
不产生任何作用效果得力系。
例如一个刚体上没有力得作用并且在惯性系下处于静止,那么这个刚体将永远保持静止状态;若这个刚体在某个力系作用下仍然保持静止,这样得力系就就是平衡力系。
由于平衡力系作用得效果与没有任何力作用得效果相同,所以平衡力系也称为零力系、通常平衡力系表示成、
合力:
与一个力系等效得力称为该力系得合力、记为
如力就是力系得合力,则力称为得分力、将一个力系用其合力来代替得过程称为力得合成,将合力代换成几个分力得过程称为力得分解。
矢量矩:
设就是一个矢量,就是由参考点O到矢量始端得矢径（如图１－3a所示）,矢量对Ｏ点得矩定义为:
（1-1）
O
O
由上式可以瞧出,矢量矩也就是一个矢量。
应用矢量矩得概念,如果把矢量置换成力得矢量,就是由O点到力得作用点得矢径（如图1-３b所示）,就可以得到力对Ｏ点之矩得定义、
力对O点得矩:
。
设就是作用在某一刚体上得力系,力系得主矢与对O点得主矩定义成:
主矢:
主矩:
一般情况,力系对不同点得主矩就是不相同得,设与分别就是力系对任意两点A、B得主矩,若用表示从Ｂ点到Ａ点得矢径,根据主矢与主矩得定义,利用矢量运算可以推导出得下列关系:
（１—2）
当力系给定后,力系得主矢就是一个不变量,称为第一不变量。
力系对某一点得主矩随着取矩点得不同而变化,并有关系式（１—2）,将该式两边点积力系得主矢可得
由于A、B就是任意两点,这说明力系对任意一点得主矩与力系主矢得点积就是一个不变量,这个量称为第二不变量、
力偶就是一种特殊得力系（如图1－2所示）,这个力系得主矢,由（1-2）式可知,力偶对任意点得主矩都就是相同得、因此我们把力偶对任意一点得主矩称为力偶矩,力偶矩得矢量运算可根据力系对某点O得主矩定义得到:
（1-3）
三、静力学公理
静力学公理就是从实践中得到得,就是静力学得基础。
根据这些公理并利用数学工具可以推导出力系得平衡条件、
公理一（二力平衡原理）刚体在二个力作用下平衡得充分必要条件就是此二力大小相等,方向相反,作用线重合。
该原理还可表示成、
对于刚体,二力平衡原理总就是成立得,但对于非刚体（变形体或某些刚体系）则不一定成立、例如图1-４ａ所示得系统,在Ａ、B两点作用有等值、反向、共线得两个力,当这两个力得大小均为（其中为常值）时,此时系统就是不平衡得,因为即使系统得初始状态就是静止得,那么在这两个力得作用下,系统得运动状态会发生变化。
如果把弹簧换为刚性连杆（图１—４b）,则系统可视为一个刚体。
在这两个力得作用下,系统得运动状态不会发生变化（若初始静止,在这个力系得作用下还将保持静止）。
F
F
F
F
A
B
A
B
（a）（b）
图1－4
公理二（加减平衡力系原理）在作用于刚体上得任意力系中,加上或减去任何平衡力系,都不改变原力系对刚体得作用效应。
该原理可表示成:
若,则
公理三（力得平行四边形合成法则）作用在物体上某一点得两个力可以用作用在该点得一个合力来代替,此合力得大小与方向可由这两个力为邻边所构成得平行四边形得对角线来确定。
公理四（作用与反作用定律）任何两个物体间得相互作用力总就是同时存在,并且等值、反向、共线,分别作用在两个物体上。
公理四实际上就就是牛顿第三定律,该定律与参考系得选取无关,也就就是说,对于惯性参考系与非惯性参考系,公理四都就是成立得。
公理五（刚化原理）变形体在某一力系作用下处于平衡时,如将该变形体刚化为刚体,则平衡状态保持不变、
图1-4a所示系统,如果在两个力作用下处于平衡,那么若使弹簧刚度系数,也就就是将弹簧换成刚性杆（如图1—４ｂ所示）,系统仍然可以保持平衡。
但反之不成立。
公理五说明,刚体得平衡条件,只就是变形体平衡得必要条件,而不就是充分条件。
上述5个公理中,有些对刚体就是成立得,有些对物体就是成立得,对物体成立得公理对刚体一定成立,反之则不然。
四、约束与约束力
工程中得一些物体可在空间自由运动,这些物体称为自由体,例如空中得飞机、卫星等。
另一些物体其运动受到某些限制,这些物体称为非自由体,如跑道上得飞机、公路上得汽车、铁道上得火车等。
约束:
限制物体运动得条件、
构成约束得物体称为约束体,约束体对物体得作用力称为约束力、那些大小与方向与约束无关得力称为主动力、
工程中常见得约束有柔索类约束、光滑面约束、各种铰链约束、二力杆约束与固定端约束等。
不同类型得约束,对物体运动得限制条件则不同,所产生得约束力得方向也有所不同,如绳索产生得约束力就是沿着绳索得方向,且只能受拉力;二力构件产生得约束力得方向就是沿二力构件上两个力得作用点得连线,既可以受拉力也可以受压力;除滑动铰链支座外,铰链得约束力得方向就是不能确定得;固定端得约束力实际上就是一个分布力（可简化成一个力与一个力偶）。
掌握各种类型约束得特点,画出研究对象得受力图,就是研究力学问题（包括静力学与动力学）得必要基础。
值得注意得就是,约束力（或力偶）就是根据约束类型得特点画得,除绳索与光滑面约束外,仅根据约束类型得特点,无法确定约束力（或力偶）得具体方向,更不能确定其大小,只有利用平衡原理或平衡条件才能最终确定它们得大小与方向。
五、静力学定理
在此,我们把由静力学中得定义与公理（或定律）推出得一些结论称为定理。
定理１作用在刚体上得力沿其作用线移动到任一点,不改变其作用效应。
这个定理实际上就是公理一与公理二得推论。
对于物体,力得作用效应与力得三要素（大小、方向与作用点）有关、根据定理１可知,作用在刚体上得力,其三要素就是力得大小、方向与作用线,力对刚体得作用效应则与这三个要素有关。
对同一个刚体而言,力得三个要素不同,力得作用效应也就不同。
力可以用矢量表示为
,
其中为力在x、y、ｚ轴上得投影,或表示力矢量得模,为力矢量与三个坐标轴得夹角。
因此,力这个矢量得模可以表示其大小,矢量得方向可以用来表示力得方向（指向）,但不能确定作用线得位置,还应该用另它一个量来确定力得作用线、
力矢量与力对O点之矩就是力对刚体作用效应得度量。
给定了矢量,就能确定力得大小与指向,再给定刚体在空间得位置与取矩点O得位置后,根据矢量就可以确定力得作用线（无论力得作用点就是作用线上得哪一点,力对O点得矩都就是不变得,如图1—5所示）。
O
r
F
d
图1－5
定理2（合力矩定理）设作用在刚体上得力系存在合力,则有:
定理3（力对点之矩与力对轴之矩得关系定理）力对某一轴得矩等于力对这一轴上任一点之矩在该轴上得投影。
在数学上有这样得定理,即某一矢量对任意轴得矩等于该矢量对这一轴上任一点之矩在该轴上得投影、定理3只就是这个定理在力学中得一个应用,同样在研究动量矩时,也会有类似得应用。
定理４（力得平移定理）作用于刚体上任意一点得力可平移到刚体上其它任何一点,若不改变对刚体得作用效应,必须增加一个附加力偶,其力偶矩等于原力对新作用点得矩、
定理5（力系等效定理）作用于刚体上得两个力系与等效得条件就是:
该定理可根据牛顿定律与有关力系等效得定义推导出来。
实际上该定理就是力系等效得基本定理,定理1与定理4都可由该定理推导出来。
由定理5还可以推导出力偶得等效条件,由于力偶就是一个特殊得力系,它得主矢恒等于零,而且对任意一点得主矩也相同,因此可由定理5推出力偶等效得条件。
定理6（力偶等效条件）作用于刚体上得两个力偶等效得条件就是它们得力偶矩相等。
由这个定理可以得到力偶得下列性质。
力偶得性质:
性质一力偶不能与一个力等效（即力偶无合力）,因此也不能与一个力平衡。
性质二 力偶可在其作用面内转动,或平移到另一平行面上,而不改变对刚体得作用
效应（如图1-6a、b所示）。
性质三若改变力偶中得力与力偶臂得大小,而不改变力偶得转向与力偶矩得大小,
则力偶对刚体得作用效应不会改变（如图1－6c所示,其中）。
F
F’
d
F
F’
d
F
F’
d
F
F’
d
F
F’
d
（ａ）
（ｂ）
（ｃ）
图1-6
定理７（三力平衡定理）作用于刚体上得三个力若平衡,则这三个力得作用线必共面,或就是平行,
或就是相交于一点。
由该定理可推出这样得结论:
作用于刚体上共面得三个力若平衡,如果它们不平行,则必汇交于一点。
六、力系得简化
作用在刚体上力系向某一点A简化实际上就是确定一个与原力系等效得简化力系,这个简化力系一般由一个作用线通过简化点A得力与一个力偶构成,这个力得大小与指向由原力系得主矢确定,而这个力偶得力偶矩由原力系对A点得主矩来确定,将该简化力系记为、同理原力系也可以向另一个简化点Ｂ简化,得到另一个简化力系就是。
这两个简化力系均就是由一个力与一个力偶构成,这两个简化力系中得力（不包括力偶）得大小与指向都就是相同得,只就是作用线不同,一个过简化点A,另一个过简化点B,在一般情况下,两个简化力系中得力偶与得力偶矩就是不同得,但它们满足关系式（1-２）。
力系简化得最后结果有以下四种情况:
（1）力系简化为一合力偶
若,则力系等价于一个力偶,其力偶矩等于该力系对简化点O得主矩。
（2）力系简化为一合力
若,则该力系等价于一个力,力得大小与方向由力系得主矢确定,力得作用线过Ｏ点。
若,则该力系等价于一个力,力得大小与方向由力系得主矢确定,力得作用线不过Ｏ点,而过Ｏ’点（Ｏ’点如何确定请读者自己思考）、
（3）力系简化为力螺旋
若且互不垂直,则力系等价于一个力螺旋。
（4）力系平衡
若,则力系等价于一个零力系（平衡力系）。
由此可知力系就是平衡力系得充分必要条件就是:
力系得主矢与对某一点得主矩均为零。
同理,根据定理６与平衡力系得定义,也可以得到上述力系得平衡条件、
刚体得定点运动与一般运动
刚体得定点运动与一般运动属于刚体得三维运动,在本章首先研究其运动学,然后在研究其动力学
一、定点运动刚体得运动学
刚体得定点运动:
刚体在运动时,如果其或其延展体上有一点不动,则称这种运动为刚体得定点运动。
（1）刚体定点运动得运动方程。
确定定点运动刚体在空间得位置可用欧拉（Ｅuler）角表示,它们分别就是进动角,章动角,自转角。
刚体定点运动得运动方程为
（12－１）
（2）刚体定点运动得角速度与角加速度。
定点运动刚体得角速度可表示成
（１2—2）
刚体角速度矢量平行于瞬时转轴、定点运动刚体得角加速度定义为:
（１2－3）
一般情况下角速度矢量得大小与方向都随时间变化,因此角加速度矢量与角速度矢量不平行。
（3）定点运动刚体上各点得速度与加速度。
定点运动刚体上任意点Ｍ得速度可表示成
（12－4）
其中:
r为由定点O引向点Ｍ得矢径。
定点运动刚体上任意点Ｍ得加速度可表示成
（12－5）
上式中等号右端第一项定义为转动加速度,第二项定义为向轴加速度。
（4）刚体定点运动得位移定理:
定点运动刚体得任何有限位移,可以绕过定点得某一轴经过一次转动而实现。
二、定点运动刚体得动力学
（1）定点运动刚体得动量矩、定点运动刚体对固定点O得动量矩定义为:
（12－6）
其中:
分别为刚体上得质量微团得矢径与速度,为刚体得角速度。
当随体参考系得三个轴为惯量主轴时,上式可表示成
（１2－7）
（2）定点刚体得欧拉动力学方程。
应用动量矩定理可得到定点运动刚体得欧拉动力学方程
（1２-8）
（3）陀螺近似理论。
绕质量对称轴高速旋转得定点运动刚体成为陀螺。
若陀螺绕得自旋角速度为,进动角速度为,为陀螺对质量对称轴得转动惯量,则陀螺得动力学方程为
（12—9）
其中就是作用在陀螺上得力对O点之矩得矢量与、
三、刚体得一般运动
（1）刚体一般运动得运动学、确定一般运动刚体在空间得位置,需要确定刚体上任意一点O’（基点）得坐标与刚体相对基点作定点运动得三个欧拉角,,。
一般运动刚体得运动方程为
（１２－10）
（2）一般运动刚体上任意一点得速度与加速度。
一般运动刚体上任意一点M得速度可表示成
（12—11）
其中为基点得速度,为由引向M点得矢径,为刚体得角速度、一般运动刚体上任意一点M得加速度可表示成
（12－１2）
其中为基点得加速度。
（3）刚体一般运动得运动微分方程。
刚体一般运动得运动微分方程可由质心运动定理与相对质心得动量矩定理得到、
静力学理论得应用
应用静力学得基本理论与方法研究物体系统得平衡就是本章得基本内容,其中包括:
刚体系统得平衡问题;桁架得平衡问题,考虑摩擦时物体得平衡问题等。
一、静定与静不定问题
在研究刚体或刚体系统得平衡问题中,如果未知量（包括:
约束力,平衡位置等）得数目等于系统独立得平衡方程得数目时,所有未知量均可由平衡方程唯一地求解出来,这样得问题称为静定问题;如果未知量得数目大于系统独立得平衡方程得数目时,未知量不能由平衡方程唯一地求解出来（有时只能求出部分未知量）,这样得问题称为静不定问题。
从数学角度来瞧,判断系统得静定与静不定问题,就是根据系统未知量得数目与独立平衡方程数目得关系来确定、从力学角度来瞧,静不定问题,一般就是系统存在某种多余得约束。
例如图3－1所示系统就是静定得,因为铰链Ａ、B处得约束力（三个未知量）可由三个独立得平衡方程完全确定;而图３-2所示系统就是静不定得,因为在水平方向存在多余得约束,A、B处得约束力为四个未知量,独立得平衡方程只有三个,不能唯一地求出所有得未知量,但可以求出部分未知量,如可以求出约束力在铅垂方向得两个分量,而在水平方向得两个分量不能唯一地确定。
A
B
A
B
图3－2
图3－1
二、刚体系统得平衡问题
在一般情况下,对于静定得刚体系统,其独立得平衡方程数目等于系统中每个刚体得独立平衡方程数目之与,由这组平衡方程可求得刚体系统中所有未知量,但求解联立得代数方程组,计算量较大,通常利用计算机进行数值求解。
在理论力学得课程学习中,则侧重强调基本理论与基本方法得理解与掌握。
在求解刚体系统得平衡问题时,突出强调灵活恰当地选取研究对象,对研究对象进行受力分析,建立平衡方程,并尽量避免求解联立方程,最好一个方程求解一个未知量。
三、平面桁架得平衡问题
桁架就是特殊得刚体系统,其特点就是构成桁架得各个部件均抽象成二力杆、求解杆件内力或约束力时得思想方法与求解刚体系统平衡问题得相同,只就是在分析过程中要利用二力杆得特点。
求解桁架平衡问题得基本方法有:
（1）节点法:
以桁架得节点为研究对象,通过求解平衡方程,确定杆件内力得方法。
（2）截面法:
将桁架沿某一面截出一部分作为研究对象,应用平衡方程求解杆得内力得方法。
四、考虑摩擦时得平衡问题
1、滑动摩擦
两个相接触得物体有相对滑动或滑动趋势时,在接触处有阻碍其滑动得力,这种力称为滑动摩擦力。
滑动摩擦得分类及其特点:
（1）物体处于静止但有滑动趋势时,存在静滑动摩擦力F。
摩擦力得方向:
与相对滑动趋势得方向相反。
摩擦力得大小:
由平衡方程确定。
最大静摩擦力得大小由库仑定律确定,即:
其中为静滑动摩擦因数（可由手册查出）,为法向约束力得大小。
当摩擦力达到最大值时,摩擦点即将产生滑动,这种状态称为临界状态
（2）当物体滑动时,存在动滑动摩擦力F'。
摩擦力得方向:
与相对滑动得方向相反、
摩擦力得大小:
其中为动滑动摩擦因数,为法向约束力得大小。
２、摩擦角与摩擦自锁
将约束面对物体得全反力得作用线与法向约束力作用线得夹角记为,如图3-3a所示;达到临界状态时得全反力得作用线与法向约束力作用线得夹角记为,称为摩擦角,如图3—3b所示,并有关系式。
（a）（b）
图3-3
由前述可知,全反力得作用线总在摩擦角以内。
当作用在物体上主动力得作用线也在摩擦角得范围内时,无论主动力得大小如何变化,物体总保持平衡而不滑动,这种现象称为摩擦自锁、摩擦自锁条件就是、
３、滚动摩阻
当两个相接触得物体有相对滚动或滚动趋势时,在接触处除了有摩擦力外,还存在滚动摩擦力偶M,这个力偶称为滚阻力偶。
（1）物体处于静止但有滚动趋势时,存在滚阻力偶Ｍ。
滚阻力偶得转向:
与滚动趋势得转向相反。
滚阻力偶矩得大小:
由平衡方程确定。
最大滚阻力偶矩得大小由关系式确定,其中为滚阻系数（可由手册查出）,为法向约束力得大小、当滚阻力偶达到最大值时,物体即将滚动,这种状态也称为临界状态。
（2）当物体滚动时,存在滚阻力偶M。
滚阻力偶得转向:
与滚动转向相反。
滚阻力偶矩得大小:
近似地由关系式确定、
虚位移原理
虚位移原理提供了静力学问题得一种全新得解法,它还就是分析力学得基础。
虚位移原理就是设计用来消除平衡方程中得约束力,主要就是用来求解平衡系统得主动力之间得关系或平衡位置。
另外,通过解除约束,将内力或约束力转化为主动力,则虚位移原理也可用来求解内力与约束力,而且这比以前得列平衡方程得常规方法更有效。
一、力得功
元功:
力在微小位移上所做得功称为元功。
其数学表达式为:
或,其中与分别为力作用点得速度与微小位移、
变力在曲线路径上做得功可以用曲线积分计算、
等效力系做功定理:
等效力系在刚体得位移上所做得功相等。
即:
若,则。
在计算力得功时,为计算方便,可以利用上述定理。
例如:
图４-1（a）所示鼓轮上缠绕有柔索,在力Ｆ（大小与方向不变）作用下在地面上纯滚动。
计算在轮心沿直线移动距离过程中力Ｆ所做得功。
ﻩ（a）ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（b）
图4—1
由于力F得作用点得位移不易计算,我们可将Ｆ平移到轮心,同时附加一力偶（其力偶矩得大小为,如图４－1ｂ所示）以保持力系等效,即。
新得力系在轮心沿直线移动S距离过程中所作得功较易计算:
其中:
为圆盘轮心移动S距离时,圆盘转动得角度,即,于就是上式可写成
它等于在轮心沿直线位移距离过程中力F所做得功。
二、约束及其分类
约束:
对质点或质点系运动所加得限制。
如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就就是受到了约束。
约束体对被约束体得运动就是通过力得作用（称为约束力）来加以限制得,但就是约束与受力就是应区别对待得两个不同概念,这可以通过下面得例子来区分。
A
A
A
x
y
O
O
O
（a）ﻩ ﻩﻩ（b） ﻩﻩ ﻩ（c）
图4-2
对图4—2中所示得系统:
在（ａ）中,质点A被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点ｏ、显然质点A受到了约束,因为质点A得运动被限制在一个固定球面上（球面中心在o点,半径为杆长ｌ）,它得运动受到了限制。
在（ｂ）中,将刚杆换成了一条不可伸长得柔索,则质点Ａ仍然受到了约束,因为质点A被限制在一个固定球面内运动（这就是一个单面约束,约束方程用不等式表示）,它不能运动到球面之外、
在（ｃ）中,刚杆又换成了弹簧,则质点A就变成了一个自由质点。
尽管它受弹簧力得作用,但它得运动没有受到限制,理论上它可以运动到空间中任何一个位置,所以图（c）中得质点Ａ没受到约束。
总而言之,受约束质点必然受力,但受力不等于受约束。
三、约束得分类
约束如按系统得实际结构进行分类,也就就是从物理方面来进行分类,就有了柔索类、铰链类、光滑面支撑类、固定端类等。
另外,约束得理想与非理想之分,也就是从物理方面来分类得。
约束如按约束方程得形式,也就就是从数学方面来进行分类,我们就有单面与双面之分、定常与非定常之分
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