最新中考数学专题复习相似图形.docx

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最新中考数学专题复习相似图形

中考数学专题复习相似图形

【基础知识回顾】

一、成比例线段：

1、线段的比：

如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：

=

2、比例线段：

四条线段a、b、c、d如果

=那么四条线段叫做同比例线段，简称

3、比例的基本性质：

=

<＝>

4、平行线分线段成比例定理：

将平行线截两条直线

【提醒：

表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。

】

二、相似三角形：

1、定义：

如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似

2、性质：

⑴相似三角形的对应角对应边

⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于

⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于

1、判定：

⑴基本定理：

平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似

⑵两边对应且夹角的两三角形相似

⑶两角的两三角形相似

⑷三组对应边的比的两三角形相似

【名师提醒：

1、全等是相似比为的特殊相似

2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】

三、相似多边形：

1、定义：

各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形

2、性质：

⑴相似多边形对应角对应边

⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于

【名师提醒：

相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】

一、位似：

1、定义：

如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为

2、性质：

位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于

【名师提醒：

1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或

2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】

【典型例题解析】

考点一：

比例线段

例1 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）

考点：

黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

分析：

可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；

过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．

点评：

△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．

对应训练

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点二：

相似三角形的性质及其应用

例2已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为9：

1

．

对应训练

2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：

4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为8

．

考点三：

相似三角形的判定方法及其应用

例3如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=

BC．图中相似三角形共有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

考点：

相似三角形的判定；正方形的性质．

例4

（1）如图

（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：

GC：

EB的结果（不必写计算过程）；

（2）将图

（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图

（2），求HD：

GC：

EB；

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．

对应训练

3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：

相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．

4.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

专题：

几何综合题．

分析：

（1）由由旋转的性质可得：

∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；

（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

解答：

解：

（1）由旋转的性质可得：

∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分）

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴

，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1．

∴

，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=

；

（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

，

当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：

EP1=BP1-BE=BD-BE=

-2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：

EP1=BC+BE=2+5=7．

点评：

此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．

考点四：

位似

例5如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3

，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

位似变换；坐标与图形性质．

分析：

延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的

对应训练

5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：

，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）

A．（

，0）B．（

C．

D．

考点：

位似变换；坐标与图形性质．

【聚焦中考】

1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）

A．

B．

C．

D．2

考点：

相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．

2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的

，那么点B′的坐标是（　　）

A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）或（-2，3）D．（-2，3）或（2，-3）

考点：

相似多边形的性质；坐标与图形性质．

3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则

的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

相似三角形的判定与性质；菱形的性质．

4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：

①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组F

考点：

相似三角形的应用；解直角三角形的应用．

5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）

．

考点：

位似变换；坐标与图形性质．

6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：

用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．

考点：

作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．

【备考真题过关】

一、选择题

1．已知

，则

的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　）

A．2B．3C．

D．

3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．

4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　）

A．FGB．FHC．EHD．EF

考点：

相似图形．

5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：

1，则下列结论正确的是（　　）

A．∠E=2∠K

B．BC=2HI

C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长

D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL

6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．

D．

考点：

相似三角形的判定．

8．如图，在△ABC中，EF∥BC，

，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　）

A．9B．10C．12D．13

考点：

相似三角形的判定与性质．

9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=

AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．

10．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）

A．点MB．点NC．点OD．点P

11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（　　）

A．（2，4）B．（-1，-2）C．（-2，-4）D．（-2，-1）

考点：

位似变换；坐标与图形性质．

二、填空题

14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．

考点：

相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．

15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为。

考点：

相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

16.如图，E是▱ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，

，则CF的长为2

．

考点：

相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

17.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是2

．

考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．

18．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为12

m．

19.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=3.42

米．

考点：

相似三角形的应用．

20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=5.5

m．

考点：

相似三角形的应用．

21. 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：

2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是12

．

考点：

位似变换．

三、解答题

22．己知：

如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：

BE=DF；

（2）当

时，求证：

四边形BEFG是平行四边形．

考点：

平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质．

23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．

求证：

△ABC∽△MED．

考点：

相似三角形的判定．

24．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．

（1）求证：

△COM∽△CBA；     

（2）求线段OM的长度．

考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．

25.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？

并求出这个最大值．

考点：

相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．

①利用主体结构钢筋作避雷引下线工程量计算：

  计算利用主体结构钢筋作避雷引下线工程量时，应按设计要求计算，当设计要求利用其中两根主筋时，工程量应按被利用主筋总长度计。

　　例：

某大楼高85m，此楼有6处利用主体钢筋作避雷引下线，每处要求利用两根主筋，试计算工程量：

　　引下线工程量85×6×2=1020m

②设计利用基础钢筋作接地网，其工程量计算方法：

　　其工程量计算方法：

⑴、被利用主钢筋单根延长米L乘以设计要求利用基础钢筋根数n：

　　　　L×n---------（a）钢筋全长

⑵、被利用钢筋全长除以6（按平均为6m焊接一处）

　　　　（L×n）/6--------（b）连接处

⑶、被利用钢筋单根长度乘利用根数n减一再除以6（按平均每6m两根主筋间跨接一处）

　　　　［L×（n－1）]/6--------（c）跨接处

⑷、（b）+（c）=（d）--------焊接处总量

　　注：

以上式中6为建筑钢筋单根长度平均米数，实际平均长度不同，可以换算，跨接处间隔如设计有要求亦可换算。

　　例：

设计要求利用基础两根主筋作接地网，单长350m，要求4m跨接一次，试计算总焊接处：

　　　　d＝b＋c

　　　　＝（L×n）/4＋[L×（n－1）]/4

　　　　＝（350×2）/4＋[350×