频率与概率单元同步测试题含答案8.docx
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频率与概率单元同步测试题含答案8
频率与概率综合检测
（典型题汇总）
一、知识概括：
本章的主要内容是通过实验体会概率的意义，在具体情境中，了解频率与概率的关系，会用实验的方法估计一个事件发生的概率。
知道在大量重复实验时，实验发生的频率可以作为事件发生概率的估计值；同时在具体情境中学习运用列举法（包括列表、画树状图等）来计算简单事件发生的概率。
经历“猜测结果–––进行实验––––分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉，进一步丰富对概率知识的认识。
1.当实验的次数很大时，我们会发现事件发生的频率稳定在相应的概率附近。
因此，我们可以通过大量实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率；同时能运用列举法（列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
2.一般地我们用实验的方法来估计一个事件发生的概率，但有时通过实验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度时，我们可以通过模拟实验的方法来估计该事件发生的概率的大小。
3.求概率的方法：
（1）列表；
（2）画树状图；（3）实验或模拟实验的方法
二、要点分析：
1.通过实验体会概率的意义，了解频率与概率的关系。
随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量地重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。
如：
通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率，在具体的实验活动中，对频率与概率之间的这种关系进行体会，通过实验感受到大量重复实验时频率可以作为事件发生概率的估计值，并可以利用这种方法来估计一些事件发生的概率。
2.经历“猜测结果→进行实验→分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉。
生活经验是学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的，因此建立正确的概率直觉是非常重要的，必须亲自经历对随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。
如下面掷硬币游戏的公平性问题：
小明和小亮在做掷硬币的游戏。
任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜。
这个游戏公平吗？
小刚认为不公平，他认为小明获
结果认为两正和两反的次数比一正一反的次数多，实际上澄清小刚误解的一个重要方法是亲身经历实验，通过实验结果修正自己的想法。
同时在实验的过程中可以发现，每一次实验的结果事先是无法预料的，收集到的实验数据都带有不确定性，但大量实验后，四种情况（两正、两反、一正一反、一反一正）出现的频率都是稳定在同一数值上，所以小刚的猜测是不正确的。
3.学习利用列举法计算简单事件发生的概率。
了解概率的意义，理解现实世界中随机现象的特点是本章的重点和难点，通过现实生活中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验，探索计算概率的方法，体会随机观念的特点。
如：
即使告诉
水概率为10％，后天的降水概率是90％，但却有可能明天下雨了，而后天没有下雨。
从这些例子可以说明我们不能在实验之前预知实验的确切结果，只能知道每个结果发生的概率，这就是随机观念。
4.学会用实验的方法估计一个事件发生的概率，并会设计一个方案来估计一个事件发生的概率。
用模拟实验的方法来估计一个事件发生的概率是本章的一个难点。
如某种“36选6”的彩票规定：
从1～36这36个数字中选择6个（可以重复），如果其中有2个与所公布的中奖号码（不妨设为3，1，8，6，6）相同，即可获取四等奖，我们就可以利用计算器模拟实验估计获得四等奖的概率，利用计算器产生1～36之间的随机数，并记录下来，每产生6个随机数为一次实验，通过多次实验来看看有与上面中奖号码中2个相同的数的频率是多少，从而估计出四等奖的中奖概率。
5.运用统计与概率的知识和方法解决一些简单的实际问题。
通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题，如：
统计一段英文中字母“A”或“G”出现的频率，从而了解键盘的设计原理和破译某种密码的方法；又如调查学校周围道路交通状况，为交通方面提出合理的建议等；将统计与概率有机地结合起来，学会运用概率的相关知识解决日常生活中的一些问题，从而提高自己解决问题的能力。
三、典型例题
例1.两袋分别盛着写有0，1，2，3，4，5六个数字的六张卡片，从每袋中各取一张，求所得之和等于6的概率，现有小刚和小颖分别给出了下述两种不同解答：
小刚的解法：
两数之和共有0，1，2，3……10，这11种不同的结果，因此所求
小颖的解法：
从每袋中各任取一张卡片共有36种取法，其中和数为6的情况共有5种。
（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）
请问哪一种解法正确？
为什么？
解：
小刚的解法是错误的；小颖的解法是正确的。
因为从每袋中各取一张组成两数之和的可能结果有36种情况，且每种情况发生的可能性相同，而出现和为6的情况共5次，
可能性。
例2.小华和小明做抛掷两枚硬币的游戏，每人各抛10次，看看不确定事件“出现两个正面”的次数。
下表是小华和小明的实验记录：
在小华的10次实验中，“出现两个正面”的次数是2次，“出现两次正面”的频率是
华和小明“出现不是两个正面”的频率是多少？
小华和小明“出现两个正面”的频率之差是多少？
并说明两人的“出现两个正面”的频率为什么不相同？
解：
小明在10次实验中，“出现两次正面”的次数只有1次，所以“出现两次正面”的频率是10％。
小华“出现不是两次正面”的频率是（1－20％）＝80％。
小明“出现不是两次正面”的频率是（1－10％）＝90％。
小华和小明“出现两个正面”的频率之差是（20％－10％）＝10％。
在实验过程中，实验频率存在着偶然性、随机性。
例3.用列表的方法求下列概率
1.已知|a|＝2，|b|＝5，求|a+b|的值为7的概率
2.袋中有1个红球和1个黄球，它们除了颜色外其余都相同，任意摸出一球，再放回袋中再摸，求至少一次摸到红球的概率。
解：
1.因为|a|＝2，所以a＝±2
因为|b|＝5，所以b＝±5
2.
练习与测试
1.某位同学抛掷两枚硬币，分10组实验，每组20次，下面是共计200次实验中记录下的结果。
（1）在他的每次实验中，抛出的________、________、________都是不确定事件。
（2）在他10组实验中，抛出“两个正面”的次数最多的是他的第________组实验，抛出“两个正面”的次数最少的是他的第________组实验。
（3）在他的第1组实验中，抛出“两个正面”的频率是________，在他的前2组实验中，抛出“两个正面”的频率是________，在他的前8组实验中，抛出的“两个正面”的频率是________，从这些数据中可以说明______________。
（4）在他的10组实验中，抛出“两个正面”的频率是___________，抛出“一个正面”的频率是_________，抛出“没有正面”的频率是________，这三个频率之和是________。
2.小亮和小明在玩游戏，游戏规则如下：
投掷两个正方体的骰子，把两个骰子的点数相加，如果掷出“和为7”，则小亮赢；如果掷出“和为9”，则小明赢，你认为这个游戏公平吗？
为什么？
如果不公平，请用列表方法说明谁的概率大。
3.在不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色。
每次从袋中摸出1个球，然后放回搅匀再摸，在多次的摸球实验中得到下列表中部分数据：
（1）请将数据表补充完整;
（2）画出频率折线图;
3）观察上面的图表可以发现：
随着实验次数的增大，出现红色小球的频率接近于_____.
4.利用计算器产生1～6的随机数（整数），连续两次随机数相同的概率是多少？
试用列表法说明。
5.准备20张大小相同的小卡片，上面分别写好数字1到20，然后将卡片放在袋子里搅匀。
每次从袋中抽出一张卡片，记录下结果，然后放回搅匀再抽。
（1）将实验结果填入下表：
（2）根据上表中的数据绘制频率折线图。
（3）从实验数据中可以发现什么规律？
（4）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值？
（5）从袋中抽出一张卡片是5的倍数的概率是多少？
答案:
1.
（1）“两个正面”，“一个正面”，“没有正面”
（2）7，9
（3）30％，20％，30％，随着实验次数的增多，出现“两个正面”的频率趋于一个稳定值
（4）26.5%52%21.5%100%
2.不公平，P（和为7）＝
P（和为9）＝
列表略
3.
（1）28.75%33.5%35.8%33.3%34%
（2）略；
（3）34％
4.
列表略
5.
（1）略
（2）略
（3）随着实验次数的增加，出现5的倍数的频率趋于一个稳定值
（4）
（5）P（5的倍数）
.
频率与概率综合检测
（典型题汇总）
（120分,90分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.九张同样的卡片分别写有数字－4,－3,－2,－1，0,1,2,3,4，任意抽取一张，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是（）
A.
B.
C.
D.
2.绿豆在相同条件下的发芽试验结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是（）
A.0.96B.0.95C.0.94D.0.90
3.暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加综合实践活动的概率为（）
A.
B.
C.
D.
4.有五张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）
A.
B.
C.
D.
5.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，
点E,F分别是矩形ABCD的两边AD，BC上的点，EF∥AB，点M,
N是EF上的任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（）
A.
B.
C.
D.
6.有三张正面分别写有数字－1,1,2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a,b）在第二象限的概率为（）
A.
B.
C.
D.
7.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为
，遇到黄灯的概率为
，那么他遇到绿灯的概率为（）
A.
B.
C.
D.
8.一纸箱内有红、黄、蓝、绿四种颜色的纸牌，如图所示为各颜色纸牌数量的统计图，若小华从纸箱内抽出一张纸牌，且每张纸牌被抽出的机会相等，则他抽出红色纸牌或黄色纸牌的概率为（）
A.
B.
C.
D.
9.“庆元旦”联欢会上，班长准备了若干张相同的卡片，上面写的是联欢会上同学们要回答的问题.联欢会开始后，班长问小明：
你能设计一个方案来估计联欢会上共准备了多少张卡片吗？
小明用20张空白卡片（与写有问题的卡片相同）和全部写有问题的卡片洗匀，从中随机抽取10张.发现有2张空白卡片，马上正确估计出了写有问题卡片的数目，小明估计的数目是（）
A.60张B.80张C.90张D.110张
10.〈山东德州〉一项“过关游戏”规定：
在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于
n2，则算过关；否则不算过关，则能过第2关的概率是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题4分，共32分）
11.一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同，若夏明从中随机摸出一枚棋子，多次试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则n很可能是.
12.盒子里有三张形状、大小等完全相同，且分别写有整式x+1,x+2,3的卡片，现从中随机抽取两张，把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是.
13.如图，有四张背面相同的纸牌A,B,C,D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形.小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的纸牌的正面所画图形是中心对称图形的概率是.
14.如图所示，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路的概率是.
15.〈重庆〉从3,0,－1,－2,－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5－m2）x和关于x的方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为.
16.有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1,2,3.从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是.
17.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的
次数n
100
200
300
500
800
1000
2000
摸到白球
的次数m
65
124
178
302
481
599
1202
摸到白球的频率
0.650
0.620
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：
当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率约为.
18.〈湖北黄石〉甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：
有四个数字0,1,2,3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n，若m,n满足|m－n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是.
三、解答题（21题10分，23,24题每题12分，其余每题8分，共58分）
19.某商场为了吸引顾客，举行了一种促销活动，在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，在球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样，规定：
顾客在本商场同一天内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）.商场根据两小球所标金额的和，返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费.某顾客刚好消费200元.
（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.
20.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1,2,3,4.小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：
当x＞y时，小明获胜，否则小强获胜.
（1）若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；
（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问这个游戏规则公平吗？
请说明理由.
21.〈重庆〉减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措.某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时内”、“2小时~3小时”、“3小时~4小时”、“4小时以上”四个等级，分别用A,B,C,D表示，根据调查结果绘制成了如图5所示的两幅不完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，九年级
（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人参加学校的知识抢答赛，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同小组的概率.
图5
22.〈湖北武汉〉有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果；
（2）求一次打开锁的概率.
23.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一只球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是试验进行中的一组统计数据：
摸球的
次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球
的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球
的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：
当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：
在一个不透明的口袋里装有若干只白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的只数（可以借助其他工具及用品）？
请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.
24.假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A,B,C,D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票.如图1是未制作完成的关于车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
图1图2
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图；
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），每人一张，那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取转动转盘的方式来确定.其中甲转盘被分成四等份且标有数字1,2,3,4，乙转盘被分成三等份且标有数字7,8,9，如图2所示.具体规定是：
同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在等分线上重转）.试用“列表法”或“画树状图法”分析这个规定对双方是否公平.
参考答案及点拨
一、1.B点拨：
∵绝对值小于2的数有－1,0,1共3个，∴任意抽取一张，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是
=
.
2.B
3.B点拨：
利用列举的方法可以得到小明和小亮参加综合实践活动选取的社区有如下情形：
（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙）,
（乙，甲），（乙，乙），（乙，丙）,
（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）,
在所列举的9种情形中，在同一社区的情形有3种：
（甲，甲）、（乙，乙）、（丙，丙），所以小明和小亮选到同一社区参加综合实践活动的概率为
=
.
4.B
5.C点拨：
易求得阴影部分的面积是矩形ABCD面积的一半，故飞镖落在阴影部分的概率是
.
6.B点拨：
根据题意，画出树状图如答图1所示：
一共有6种情况，在第二象限的点有（－1，1）,（－1，2）共2个，所以所求概率为
=
.
7.D点拨：
∵他在该路口遇到红灯的概率为
，遇到黄灯的概率为
，∴他在该路口遇到绿灯的概率是1－
－
=
.故选D.
8.B点拨：
共有纸牌3+3+5+4=15（张），其中红色纸牌有3张，黄色纸牌有3张，故抽出红色纸牌或黄色纸牌的概率为
=
.故选B.
9.B10.A
二、11.8
12.
点拨：
画树状图如答图所示：
∵共有6种等可能的结果，能组成分式的有4种情况，∴能组成分式的概率是
=
.
13.
14.
点拨：
闭合五个开关中的两个，可能出现的结果有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de,其中能形成通路的有6种，所以所求概率为
=
.
15.
点拨：
∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴5－m2＞0,∴m2＜5,∴3,0,－1,－2,－3中，3和－3均不符合题意，将m=0代入（m+1）x2+mx+1=0中，得x2+1=0,Δ＜0,无实数根；将m=－1代入（m+1）x2+mx+1=0中，得－x+1=0,x=1；将m=－2代入（m+1）x2+mx+1=0中，得x2+2x－1=0,Δ＞0，有实数根.∴所求概率为
.
16.
17.
（1）0.6
（2）0.6
18.
点拨：
共有16种情况，其中|m－n|≤1的共有10种情况，所以所求概率为
=
.
三、19.解：
（1）10；50
（2）画树状图如答图：
由树状图可以看出，共有12种等可能的结果，其中两球所标金额之和不低于30元的共有8种，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率为
=
.
20.解法一：
（1）由题意知：
（x,y）有（1,2），（1，3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）共12种情况，其中x＞y有6种情况，
∴小明获胜的概率为
=
.
（2）不公平，理由如下：
由题意知（x,y）除
（1）中的情形外，还有（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），故共有16种情况，其中x＞y有6种情况，∴小明获胜的概率为
=
∴小强获胜的概率为1－
=
，∵
≠
∴这个游戏规则不公平.
解法二：
（1）画出树状图如答图
∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4，3），共6种结果，∴小明获胜的概率为
=
.
（2）不公平，理由如下：
画出树状图如答图
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2,1），（3,1），（3，2），（4,1），（4,2），（4,3），共6种结果，
∴P（小明获胜）=
=
P（小强获胜）=1－
=
.∵
≠
∴这个游戏规则不公平.
21.解：
（1）∵1－45%－10%－15%=30%,∴x=30.补全条形统计图如答图所示.
（2）用A、B表示两小组，列表如下：
A1
A2
B1
B2
A1
—
A1A2
A1B1
A1B2
A2
A2A1
—
A2B1
A2B2
B1
B1A1
B1A2
—
B1B2
B2
B2A1
B2A2
B2B1
—
由表可知共有12种情况，2人来自不同小组（记为事件C）共有8种，∴P（C）=
=
.
点拨：
本题考查了扇形统计图、条形统计图和概率的知识，综合应用扇形统计图和条形统计图中的信息是解题的关键.
22.解：
（1）分别用A与B表示锁，用A、B、C、D表示钥匙，
画树状图如答图
则共有8种可能的结果.
（2）∵8种情况中一次打开锁的有2种情况，∴一次打开锁的概率为
=
.
23.解
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