北京高考数学及答案.docx
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北京高考数学及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试
结束后,将本试卷和答题卡一并交回•
第部分(选择题共40分)
一、选择题共
8小题,每小题
5分,
共40分.
1.已知集合A
x|x
2,
B
2,0,1,2,则AB(
)
A0,1
B.
1,0,1
C.2,0,1,2D.
1,0,1,2
2.在复平面内,
复数-
1
1
1的共轭复数对应的点位于()
i
A第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4•“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率
为()
A32fB.322fC.1225fD.1227f
5.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为
值为(
、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的
离心率为.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程
1
15.(本小题13分)在ABC中,a7,b8,cosB
7
(I)求A;
(n)求AC边上的高.
16.(本小题14分)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC,平面ABC,D,E,F,G分别为AA,,AC,AG,BB,
的中点,ABBC、5,ACAA2.
(I)求证:
AC平面BEF;
(n)求二面角BCDC1的余弦值;
17.(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(n)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(川)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“k1”表示第k类电影得
到人们喜欢,“k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2
D3,D4,D5,D6的大小关系.
18.(本小题13分)设函数fxax24a1x4a3ex.
(i)若曲线yfx在点1,f1处的切线与x轴平行,求a;
(n)若fx在x2处取得极小值,求a的取值范围.
2
19.(本小题14分)已知抛物线C:
y2px经过点P1,2.过点Q0,1的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(i)求直线I的斜率的取值范围;
一一——11
(n)设0为原点,QMQO,QNQ0,求证:
为定值.
20.(本小题14分)设n为正整数,集合A|
0,1,k1,2,,n,对于集合A中的
任意元素
XZ,
Xn和
1
2X1y1
X1y1
(I)当
3时,若
1,1,0,
y1,y2,
yn
,记
X2y2
X2
y2
Xn
yn
Xn
0,1,1
求
M,
和M
7
的值;
t1,t2,,tn,tn
yn
(□)当
4时,设
B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素
,当
相同时,M
奇数;当
是偶数•求集合B中元素个数的最大值;
(川)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素
M,0•写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
、选择题
1.A
2.D3.B4.D
5.C6.C
7.C
二、填空题
9.an6n
310.1.2
11.-
3
12.3
13.y=sinx
(答案不唯一)
14.31;2
三、解答题
(15)(共13分)
解:
(I)在厶ABC中,•••cosB=--,•••B€(n,n),「•sinB=Jicos2B空3.
7
8
2
7
由正弦定理得-^―
b
•7广匸3
•sinA=—3.
sinA
sinB
sinA-
2
7
tb€(n,n,•
A€(0,
n),•/
八n
A=—.
2
2
3
(n)在厶ABC中,TsinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=—3(-4-3=.
272714
如图所示,在△ABC中,•••sinC=丄,•h=BCsinC=7沁沁BC142'
•AC边上的高为出.
2
(16)(共14分)
解:
(I)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
tCC1丄平面ABC,
•四边形A1ACC为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点,
•AC丄EF.
•/AB=BC.
•••AC丄BE,•••AC丄平面BEF.
(□)由(I)知AC丄EF,AC丄BE,EFIICG.
又CC丄平面ABC,:
EF丄平面ABC.
•/BE平面ABC,•EF±BE
如图建立空间直角坐称系E-xyz.
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,
Bi
D
C
(1,0,1),F(0,
0),D
0,2),G(0,2,1).
uuiuir
•CD=(2,0,1),CB=(1,2,0),
设平面BCD的法向量为n(a,b,c),
•平面BCD的法向量n(2,1,4),
uir
又•••平面CDC的法向量为EB=(0,2,0),
uir
•-cosnEB
uir—
nEB.21
=-"
|n||EB|21
(17)
(共12分)
第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50
故所求概率为匹J0025.2000
(n)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(ABAB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:
P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25X0.8+0.75X0.2=0.35
(山)D1>D4>D2=D5>D3>D6.
(18)(共13分)
解:
(I)因为f(x)=[ax2(4a1)x4a3]ex,
所以f'(x)=:
2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex(x€R)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.
f
(1)=(1-a)e.
由题设知f
(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.
此时f
(1)=3e^0.
所以a的值为1.
(n)由(I)得f'(x)=:
ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-)(x-0ex.
11
若a>—,则当x€(-,2)时,f(x)<0;
2a
当x€(2,+s)时,f'(x)>0.
所以f(x)<0在x=2处取得极小值.
11
若aw—,则当x€(0,2)时,x-2<0,ax-<-x-1<0,
22
所以f'(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(1,+R).
2
(19)(共14分)
解:
(I)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线I的斜率存在且不为0,
设直线
I的方程为y=kx+1(k老).
4X得k2x2(2k4)x
kx1
依题意
22
(2k4)4k1
解得k<0或0又PA
PB与y轴相交,故直线
I不过点(1,
-2).从而k3.
所以直线I斜率的取值范围是(
-g,-3)U
(-3,0)
U(0,1).
(n)设a(xi,
yi),B(X2,
y2).
由(I)知X1X2
2k4
2~k
直线PA的方程为
y-2=y
1
~.
k
y12
21(x1).
为1
XX2
令x=0,得点M的纵坐标为
同理得点
N的纵坐标为yN
y12
yM
X11
kx21
kx11
x11
X2
uuu
由QM=
uuu
QO,
uuuQN=
uuuQO得
=1
yN.
所以-
1_
1yM
1
1yN
X2
(k1)x1
(k1)x2
2^x2(X1X2)
X1X2
22k4丄亡丁=2.k1丄
所以-
1
—为定值.
(20)
(共14分)
解:
(
I)因为a=
(1,1,
0),3=(0,1,1)
,所以
M(a,
1
性[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2
M(a,
[(1+0-1-0|)+(1+1-1-|)+(0+1-0-1|)]=1.
设a=
(X1,X2,X3,X4)€B,贝yM(a,a)=X1+X2+X3+X4.
由题意知X1,
X2,X3,X4€{0,1},且M(a,a为奇数,
所以X1,X2,
X3,X4中1的个数为1或3.
所以B{(1,
0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,
1),(0,1,1,1),(1,0,
1,1),
(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组:
1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).
经验证,对于每组中两个元素a,伏均有M(a,3)=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,
所以集合B中元素个数的最大值为4.
(川)设Sk=(X1,X2,…,xn)|(X1,X2,…,Xn)€A,Xk=1,X1=X2=・・・=Xk-=O)(k=1,2,…,n),
Sn+1={(X1,X2,…,Xn)|X1=X2=・・・=Xn=0},
则A=SiuS1U…USn+1.
对于S.(k=1,2,…,n-1)中的不同元素a,3经验证,M(a,3)生
所以3(k=1,2,…,n-)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以B中元素的个数不超过n+1.
取ek=(X1,X2,…,Xn)€Sk且Xk+1=・・・=Xn=0(k=1,2,…,n-).
令B=(e1,e2,…,en-)USUS+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.